(最新资料)山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一下学期3月月考试题数学【含解析】.pdf

山东省烟台市第二中学2019-2020 学年高一下学期3 月月考试题数学注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上；卷（选择题）一、选择题（本题共计16 小题，每题5 分，共计80 分）1.设i为虚数单位，则复数321izi的虚部为（）A.iB.iC.-1 D.1【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘除运算求出复数z 的代数形式，然后可得复数的虚部【详解】由题意得212112iiizii，所以复数 z 的虚部为1故选 D【点睛】解答本题容易出现的错误是认为复数zabi的虚部为bi，解题的关键是得到复数的代数形式和熟记相关的概念，属于基础题2.已知ABC的内角,A B C所对的边长分别是,a b c，设向量,sinmabC，3,sinsinacBAn，若/m n，则角B的大小为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】由/m n，得到ABC边角关系，用正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求解.【详解】,sinmabC，3,sinsinacBAn，/m n，()(sinsin)(3)sin0abBAacC，由正弦定理可得22230bacac，2223cos22acbBac，0180,150BB.故选:D.【点睛】本题以向量坐标关系为背景，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.3.设i是虚数单位，则3211ii等于()A.1iB.1iC.1iD.1i【答案】B【解析】【分析】化简复数得到答案.【详解】3221(1)(1)2(1)1221iiiiiiiii故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知平面直角坐标系内的两个向量(3,2),(1,2)am bm,且平面内的任一向量c都可以唯一表示成cab(,为实数),则实数m的取值范围是()A.6,5B.66,55C.(,2)D.(,2)(2,)【答案】B【解析】【分析】根据已知,a b是平面内向量的一个基底,因此不共线，求出,a b不共线满足的条件，即可求出结果.【详解】由题意可知,平面内的任一向量c都可以唯一表示成cab,a b是平面内表示所有向量的一个基底,.,a b不共线,3(2)20mm65m.故m的取值范围是66,55.故选B【点睛】本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题.5.设,m n是两个不共线的向量，若5,28,42,ABmn BCmn CDmn则（）A.,A B D三点共线B.,A B C三点共线C.,A C D三点共线D.,B C D三点共线【答案】A【解析】因为BC+CD=510,mn=2AB，故,A B D三点共线.故答案为A.6.在ABC中.已知D是BC延长线上一点.点E为线段AD的中点.若2BCCD.且34AEABAC.则()A.14B.14C.13D.13【答案】A【解析】【分析】通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由1,2AEAD ADBDBA,ACBCBA,32BDBC,求解AE,结合条件,即可求得答案.【详解】1,2AEAD ADBDBA,ACBCBA,32BDBC,可得:1122AEADBDBA1122BDAB2341BCAB1234BAACAB123344ABACAB1344ABAC由34AEABAC14故选:A【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7.O是平面上一定点，,A B C是平面上不共线的三个点，动点P满足：,0,)ABACOPOAABAC，则P的轨迹一定通过ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.外心【答案】A【解析】【分析】先根据|ABAB、|ACAC分别表示向量AB、AC方向上的单位向量，确定|ABACABAC的方向与BAC 的角平分线一致，可得到()|ABACOPOAAPABAC，可得答案【详解】|ABAB、|ACAC分别表示向量AB、AC方向上的单位向量|ABACABAC的方向与BAC 的角平分线一致又()|ABACOPOAABAC，()|ABACOPOAAPABAC向量AP的方向与BAC 的角平分线一致一定通过ABC的内心故选：A【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义属中档题8.在ABC中，,a b c分别为 A，B，C 的对边，且cba，若向量(,1)mab和(,1)mbc平行，且 sinB 45，当 ABC的面积为32时，则 b（）A.132B.2 C.4 D.2 3【答案】B【解析】【详解】试题分析：由/mn得abbc，即2bac，由cba知B为锐角，所以3cos5B，所以2222cosbacacB222616()55acacacac，即2216(2)5bbac，21615bac，由1sin2SacB得2352ac，154ac，代入得24b，2b故选 B考点：向量平行的坐标表示，余弦定理，三角形的面积9.在ABC中，2BCBAACAC，则ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】D【解析】【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为222BCBAACBCBABCBABCBAAC，所以222acb，即ABC是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论10.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD，若点P为CD的中点，且APABAE，则（）A 3 B.52C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】以向量,AB AD为基底，将,AP AE用基底表示，即可得到,的方程，求解即可.【详解】P为CD的中点，DECD()APABAEABADAB()12ABABDAAD13,2211，52.故选;B.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理，属于基础题.11.在ABC中，60A，1b，3ABCS，则sincC（）A.8 381B.2 393C.26 33D.2 7【答案】B【解析】依题意有1sin 603,42Sbcc，由余弦定理得222cos6013abcbc，由正弦定理得132 39sinsin332caCA.点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑.12.已知单位向量12,e e的夹角为3，则122ee与2e夹角的余弦值为（）A.23B.34C.63D.2 77【答案】D【解析】【分析】分别求出12122(|2|,2)eeeee，应用向量夹角公式，即可求解.【详解】单位向量12,e e的夹角为3，2212121212|2|(2)547,|2|7eeeee eee，212122(2)12eeeee，设122ee与2e夹角为，222112(22 7cos72)|2|7|eeeeee.故选:D.【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.13.若ABC外接圆的半径为1，圆心为O，20OAABAC且OAAB,则CA CB等于（）A.32B.3C.2 3D.3【答案】D【解析】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到OBOC，得到BC为直径，所以ABC为直角三角形，求出三边的长求得ACB 的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得CA CB的值详解：因为20OAABAC，所以0OAABOAAC，所以OBOC，所以,O B C三点共线，且BC为直径，如图所示，所以ABAC，因为1,2,3OAABBCAC，所以6ACB，则3cos2 3362CA CBCACB，故选 D点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出ABC为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力14.（理）已知a与b均为单位向量，其夹角为，则命题:P1ab是命题5:,)26Q的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分且非必要条件【答案】B【解析】【分析】先利用向量数量积求向量夹角范围，再根据包含关系确定选项.【详解】1|11+12 1 1 cos1cos2ab因为0,，所以(,3因为5,)26(,3，所以命题:P|1ab是命题5:,)26Q的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充要关系的判定以及向量夹角计算，考查综合分析求解能力，属基础题.15.某观察站B在A城的南偏西20的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去，行驶了15min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8 10km，则此人到达A城还需要（）A.40minB.42minC.48minD.60min【答案】C【解析】【分析】根据已知，可得45,30,10,8 10ABCCDBD，在BCD中，求出cosC，进而求出sinC，在ABC中，求出AC，再求出AD，即可求解.【详解】B在A城的南偏西20的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25，45A，一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去，从C处行驶了15min后到达D处，10CD，在BCD中，30,10,8 10BCCDBD，2221009006403cos22 10305CDBCBDCBC CD，42 3247 2sin,sinsin(45)5252510CBC，在ABC中，30 2sinsinACBCBA，7 230 242,3210ACAD，326048(min)40，此人到达A城，还需48分钟.故选:C.【点睛】本题考查三角应用问题，转化为余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.16.已知点G是ABC的重心，(,)AGABACR，若120A，2AB AC，则AG的最小值是（）A.33B.22C.23D.34【答案】C【解析】【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得2133AGADABAC,120,2AAB AC，根据向量的数量积的定义可得cos1202AB ACABAC,设,ABx ACy，则4ABACxy，2211233AGABACABACAB AC22112424333xyxy，当且仅当xy，即ABAC，ABC是等腰三角形时等号成立.综上可得AG的最小值是23.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.卷（非选择题）二、填空题（本题共计4 小题，每题5 分，共计20 分）17.已知点G是ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且0578abcGAGBGC，则角B的大小是 _【答案】3【解析】由 向 量 的 平 行 四 边 形 法 则 可 得GAGCBG，代 入0578abcGAGBGC可 得()()05787abcbGAGC，故578abc，则5,7,8at bt ct 由 余 弦 定 理 可 得22222564491cos802tttBt，故3B，应填答案3点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787abcbGAGC，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578abc，最后运用余弦定理求出3B，使得问题获解18.在ABC中，设角,A B C的对边分别是,a b c，且60C，3c，则2 3cossinaAB_.【答案】4【解析】由正弦定理知2sinsinacAC，所以2sinaA，则2 3cossinaAB02sin2 3cos4sin(60)4sinsinAAABB.19.ABC的内角ABC，的对边分别为abc，已知sinsin4 sin sinbCcBaBC，2228bca，则ABC的面积为 _【答案】2 33.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sinsin sin4sin sin sinBCCBABC，化简求得1sin2A，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos8bcA，可以断定A为锐角，从而求得3cos2A，进一步求得8 33bc，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为sinsin4 sin sinbCcBaBC，结合正弦定理可得sin sinsin sin4sin sin sinBCCBABC，可得1sin2A，因为2228bca，结合余弦定理2222abcbccosA，可得2cos8bcA，所以A为锐角，且3cos2A，从而求得8 33bc，所以ABC的面积为11 8 312 3sin22323SbcA，故答案是2 33.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosabcbcA；（2）222cos2bcaAbc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.如图所示，已知点O为ABC的重心，OAOB，6AB，则AC BC的值为 _.【答案】72【解析】【分析】由三角形的重心的性质以及平面向量的线性运算法则可得()OCOAOB,由向量运算的三角形法则可得()()AC BCOCOAOCOB，再由向量垂直的条件、平面向量数量积的运算和勾股定理,计算即可得到所求值.【详解】连接CO延长交AB于M，因为O为重心，所以M为中点,且122()()2OCOMOAOBOAOB,因为,6OAOBAB,所以0,OA OB22236OAOBAB，则()()AC BCOCOAOCOB22(2)(2)52OAOBOBOAOA OBOAOB02 3672,故答案为72.【点睛】本题考查三角形重心的向量表示,考查向量垂直的条件,考查平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cosa ba b；二是向量的平方等于向量模的平方22aa.三、解答题（本题共计4 小题，共计50 分）21.在ABC中，,a b c分别为角,A B C所对的边，已知2sincos2sinsinBCAC.（1）求角B的大小；（2）若ABC外接圆的面积为43，且4ac，求AC边上的高BD的长.【答案】（1）3（2）3BD【解析】【分析】（1）将sinsin()ABC代入已知等式，展开整理，求出cosB，即可求解；（2）根据已知求出外接圆半径，进而求出b，由余弦定理，结合4ac，求出 ac，可得ABCS，即可求出结论.【详解】（1）因为 2sincos2sinsinBCAC，2sincos2sin()sin2sincos2cossinsinBCBCCBCBCC，12cossinsin,0,sin0,cos2BCCCCB0B，3B.（2）设ABC外接圆的半径为R，则243R，故2 33R，由正弦定理知2 332sin2232bRB，22224()3163bacacacacac，解得4ac，所以1sin2ABCSacB134322.又12ABCSAC BD1232BD，故3BD.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.22.若a、b是两个不共线的非零向量，（1）若a与b起点相同，则实数t为何值时，1(b)3atba、三个向量的终点A，B，C在一直线上？（2）若|ab，且a与b夹角为 60，则实数t为何值时，|atb的值最小？【答案】（1）12t（2）12t【解析】【分析】（1）由三点A，B，C共线，必存在一个常数t使得ABAC，由此等式建立起关于，t的方程求出t的值；（2）由题设条件，可以把|atb的平方表示成关于实数t的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值.【详解】（1）12AB,AC33tbaba，AB/AC，即ABAC1233baba，可得113t2213t；故存在12t时，A、B、C三点共线；（2）设|abk2222222213|2|cos60124atbatbt abkttkt，12t时，|atb的值最小.【点睛】本题考查了利用向量解决共线和最值问题，意在考查学生的计算能力.23.如图，在ABC中，D为AB边上一点，且DADC，已知4B，1BC.（1）若ABC是锐角三角形，63DC，求角A的大小；（2）若BCD的面积为16，求AB的长.【答案】（1）3A.（2）523.【解析】【试题分析】(1)在BCD中,利用正弦定理可求得3sin2BDC,得到3BDC,利用等腰的性质可知3A.(2)利用三角形的面积公式可求得BD,利用余弦定理可求得CD,由此求得AB的长.【试题解析】（1）在BCD中，4B，1BC，63DC，由正弦定理得sinsinBCCDBDCB，解得2132sin263BDC，所以3BDC或23.因为ABC是锐角三角形，所以23BDC.又DADC，所以3A.（2）由题意可得11sin246BCDSBC BD，解得23BD，由余弦定理得2222cos4CDBCBDBC BD222512 19329，解得53CD，则523ABADBDCDBD.所以AB的长为523.24.如图，在ABC中，设ABa，ACb，又2BDDC，2a，1b，向量,a b的夹角为3.（1）用,a b表示AD；（2）若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求AF BC?【答案】（1）1233aADb（2）35【解析】【分析】（1）由已知2BDDC，转化为以A为起点的向量表示，整理即可；（2）利用,A F D三点共线和,B F E三点共线，结合向量基本定理，将AF用基底表示，即可求解.【详解】（1）2,22BDDC ADABACAD,121232,3333ADABACADABACab（2）,A F D共线，233AFADab，,B F E共线，1)1(2AFAAaBbE，31223，解得3125,1555AFab，2212121)()55555(abbaAFa bBCab421131255525【点睛】本题考查向量的线性运算、向量基本定理、共线向量的充要条件、向量的数量积，考查计算求解能力，属于中档题.