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陕西省榆林市2020 届高三第二次模拟考试试题数学（文）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3,2,2,4,6A，|250Bxxx，则AB（）A.2,4B.2,2,4C.2,2D.3,2,2【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B，由此求得AB.【详解】因为|250|25Bxxxxx，所以2,4AB.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z满足2313i zi，则 z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算求得z，由此求得z 对应的坐标，进而求得z 在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为13231332232323iiiziiii，对应点为3,2，所以 z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3.数列na为递增的等比数列，且3513aa，2636a a，则公比q（）A.43或34B.32或32C.32D.43【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质，由已知条件求得35,aa的值，由此求得q的值.【详解】因为263536a aa a，3513aa，且数列na为递增教列，所以34a，59a，而253aaq，294q，从而32q.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4.已知向量0,2a，2 3,bx，且a与b的夹角为3，则x=（）A-2 B.2 C.1 D.-1【答案】B【解析】【分析】由题意cos3a ba b，代入解方程即可得解.【详解】由题意221cos32212a bxa bx，所以0 x，且2212xx，解得2x.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量数量积求向量的夹角，属于基础题.5.为培养学生分组合作能力，现将某班分成、ABC三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A.甲、丙、乙B.乙、甲、丙C.乙、丙、甲D.丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低所以甲、乙都不在B组，所以丙在 B组.假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选 C.6.若双曲线221(0,0)mxnymn的一条渐近线方程为2yx，则其离心率为（）A.5B.52C.6D.62【答案】A【解析】【分析】由双曲线221mxny的一条渐近线方程为2yx，求得2ba，再结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线221(0,0)mxnymn的一条渐近线方程为2yx，即2ba，所以双曲线的离心率为221()125cbeaa.故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质和双曲线的离心率的定义是解答的关键，着重考查了计算能力.7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31 时，则图中判断框处应填入的是（）A.3?iB.4?iC.5?iD.6?i【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S时，9i；当1910S时，8i；当19818S时，7i；当198725S时，6i；当1987631S时，5i.此时输出31S.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8.已知fx是定义在R上的奇函数，当0 x时，32fxx，则不等式0fx的解集为（）A.33,0,22B.33,22C.3 3,2 2D.33,0,22【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得fx的图象，据此分析可得答案.【详解】解：因为fx是定义在R上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且00f，已知当0 x时，32fxx，作出函数图象如图所示，从图象知：33022ff，则不等式0fx的解集为33,0,22.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.9.某班 45 名同学都参加了立定跳远和100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100 米跑合格的人数分别为 30 和 35，两项都不合格的人数为5.现从这 45 名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100 米跑合格、两项都不合格四种）抽出9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（）A.1 人B.2人C.5 人D.6 人【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25 人中应该抽取的人数.【详解】由题意知两项都不合格的有5 人，两项都合格的有25 人，仅立定跳远合格的有5 人，仅 100 米跑合格的有10 人.从 45 人中抽取 9 人进行复测，则抽样比为91455，故两项都合格的25 人中应该抽取25155人.故选：C.【点睛】本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.10.在正方体1111ABCDA B C D中，E，F分别为1CC，1DD的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为（）A.14B.154C.2 65D.15【答案】D【解析】【分析】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD的中点为G，连接EG，在等腰BED中，求出3cos5EGBEGBE，在利用二倍角公式，求出cosBED，即可得出答案.【详解】连接BE，BD，因为/BE AF，所以BED为异面直线AF与DE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则5BEDE，2 2BD，在等腰BED中，取BD的中点为G，连接EG，则523EG，3cos5EGBEGBE，所以2coscos22cos1BEDBEGBEG，即：31cos2155BED，所以异面直线AF，DE所成角的余弦值为15.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.11.将函数()3sin36fxx的图象向右平移6个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A.()g x是奇函数B.()g x是偶函数C.()g x的图象的一条对称轴方程为18xD.()g x的图象的一个对称中心为5,018【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，得到函数()3sin(3)3g xx，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()3sin36f xx的图象向右平移6个单位长度，得到函数()3sin3()3sin(3)663g xxx，由三角函数的性质，可得g x为非奇非偶函数，所以A、B不正确；令18x，则31832，所以18x是函数g x的一条对称轴，所以C正确.由当518x时，531832，此时5()3sin()3182g，所以D不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力.12.已知函数()exf xa（0a）与2()2g xxm（0m）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为（）A.24,eB.28,eC.240,eD.280,e【答案】D【解析】【分析】设切点为00,A xy，则00200e2,e4,xxaxmax通过代入法将m用0 x表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.【详解】设切点为00,A xy，则00200e2,e4,xxaxmax整理得200042,0,0,xxmxm由200240mxx，解得02x.由上可知004exxa，令4()exxh x，则4(1)()xxh xe.因为2x，所以4(1)()0exxh x，4()exxh x在(2,)上单调递减，所以280()eh x，即280,ea.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在等差数列na中，21a，3716aa，则na公差 d_.【答案】3【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，根据21a，3716aa，列出方程组，即可求解.【详解】设等差数列na的公差为d，因21a，3716aa，可得1112816adad，解得14,3ad.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，其中解答中根据等差数列的通项公式和题设条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.小林手中有六颗不同的糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为_.【答案】25【解析】【分析】先求得糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人共有20 种分法，再求得这两个孩子都分到三种口味的糖果分法的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，价格牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味的六颗不同的糖果，将糖果随机地平均分给他儿子与女儿两人，共有3620C种分法，其中这两个孩子都分到三种口味的糖果共有1112228C C C种分法，所以这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为82205P,故答案为：25.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用排列、组合的知识求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.已知M是抛物线2:2(0)Cypx p上一点，F是C的焦点，过M作C的准线的垂线，垂足为N，若120MFO（O为坐标原点），MNF的周长为12，则NF_.【答案】4【解析】【分析】由120MFO，得到60FMN，进而得到FMN为等边三角形，即可求解.【详解】如图所示，因为120MFO，所以60FMN，又由M是抛物线C上的一点，可得FMMN，所以FMN为等边三角形，因为FMN的周长为12，所以4NF.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.16.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB底面BCD，BCCD，且3ABCD，2BC，利用张衡的结论可得球O的体积为_.【答案】503【解析】【分析】将此三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得半径，进而结合球的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，将此三棱锥放置在一个长方体中，可得长方体的长、宽、高分别为：3,2,3，所以球的直径为2222(3)2(3)10R，即102R，又由题意，可得10，所以球的体积为3344105010()3323VR.故答案为：503.【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的几何结构特征的应用，其中把三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力.三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且25 csin2 cosaBbC.（1）求cosB；（2）若点D是线段AC的中点，7BD，5ca，求ABC的面积.【答案】（1）53；（2）5.【解析】【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的公式及题设条件，化简得到2iosnc5 sBB，进而利用三角函数的基本关系式，即可求解cosB的值；（2）由（1）得2sin3B，在结合余弦定理和向量的运算，列出方程，求得23a，根据三角形的面积，即可求解.【详解】由题意，因为25 csin2 cosaBbC，根据正弦定理，可得2sin5sinsin2sincosACBBC，由ABC，则sinsin()sincoscossinABCBCBC，可得25sinsicsinnosCBBC，又由(0,)C，则sin0C，所以2iosnc5sBB，因为(0,)B，则sin0B，所以cos0B，又由22sincos1BB，可得224coscos15BB，解得5cos3B.（2）由（1）知，5cos3B，所以2sin3B因为D为线段AC的中点，所以2BABCBD，所以2222cos4BABCBA BCBBD，即225525283aaaa，解得23a，所以三角形的面积为215sin52ABCSaB.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：考试分数85,9595,105105,115115,125125,135135,145频数5 10 15 5 10 5 赞成人数4 6 9 3 6 4（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1 问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出 22 列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：22()()()()()n adbcKa b cd ac bd，nabcd.20P Kk0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.706 3.841 5.024 6.635【答案】（1）125 分（2）列联表见解析；没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系【解析】【分析】（1）根据题意，测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50 30%15，即可得答案；（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.【详解】（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50 30%15，所以优秀分数线应定为125 分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有50 0.315人，其中“赞成的”有10 人；测试成绩不优秀的学生有501535人，其中“赞成的”有22 人.22 列联表如下：赞成不赞成合计优秀10 5 15 不优秀22 13 35 合计32 18 50 2250(10 13522)250.0662.7063218 1535378K因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【点睛】本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，四棱锥EABCD的侧棱DE与四棱锥FABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，ADCD，ABCD，AB3，AD4，AE5，3 2AF（1）证明：DF平面BCE（2）求A到平面BEDF的距离，并求四棱锥ABEDF的体积【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）由DE平面ABCD推出DEAD，勾股定理求出DE，同理由BF平面ABCD求出BF，利用线面垂直的性质推出DEBF，结合DEBF推出/DFBE，即可证明线面平行；（2）等体积法列出EADBABDEVV，即可求得A到平面BEDF的距离，四棱锥ABEDF的体积VEABDFABDVV，代入相应值求解即可.【详解】（1）证明：DE平面ABCD，DEAD，AD4，AE5，DE22AEAD3，BF平面ABCD，BFAB，AB3，AF3 2，可得BF22AFAB3，又DE平面ABCD，BF平面ABCD，DEBF，又BFDE，四边形BEDF为平行四边形，故DFBE，BE?平面BCE，DF平面BCE，DF平面BCE；（2）设A到平面BEDF的距离为h，由已知可得，DAB是以DAB为直角的直角三角形，且AB3，AD4，则BD5，又DE平面ABCD，且DE3，由VE ADBVABDE，得1111343533232h，得h125，即A到平面BEDF的距离为125；四棱锥ABEDF的体积V1123 4332EABDFABDVV12【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的性质，点到平面的距离的求法，多面体体积，属于中档题.20.已知函数32427xaxfx.（1）若fx在1,3aa上存在极大值，求a的取值范围；（2）若x轴是曲线yfx的一条切线，证明：当1x时，2327fxx.【答案】（1）9,00,1；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得fx的导函数fx，对a分成0,0,0aaa三种情况，结合fx在1,3aa上存在极大值，求得a的取值范围.（2）首先根据x轴是曲线yfx的一条切线求得a的值，构造函数2327gxxxf，利用导数求得g x在区间1,上的最小值为0，由此证得0g x，从而证得不等式成立.【详解】（1）解：23232fxxaxxxa，令0fx，得10 x，223ax.当0a时，0fx，fx单调递增，fx无极值，不合题意；当0a时，fx在23ax处取得极小值，在0 x处取得极大值，则103aa，又0a，所以01a；当0a时，fx在23ax处取得极大值，在0 x处取得极小值，则2133aaa，又0a，所以90a.综上，a的取值范围为9,00,1.（2）证明：由题意得00f，或203af，即4027（不成立），或34402727a，解得1a.设函数3223127g xfxxxxx，311gxxx，当113x或1x时，0gx；当113x时，0gx.所以g x在1x处取得极小值，且极小值为10g.又10g，所以当1x时，0g x，故当1x时，2327fxx.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21.已知O为坐标原点，(2,0)A，(2,0)B，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为34.记点G的轨迹为曲线C.（1）若射线2(0)xy与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：/OD AE.（2）直线:(0)lykx k与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点.试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在定点(3,0)T，使得以PQ为直径的圆恒过点T.【解析】【分析】（1）设点()G x y,，根据34GAGBkk，求得点G的轨迹方程为221(2)43xyx，联立方程组，解答,D E坐标，结合斜率公式，即可求解.（2）设00(,)M xy，则00(,)Nxy，解得0022Pyyx,0022Qyyx，假设顶点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则2OPOQOT，求得22020434Tyxx，即可得到结论.【详解】（1）设点()G x y,，因为34GAGBkk，即3224yyxx，整理得点G的轨迹方程为221(2)43xyx，联立方程组221432(0)xyxy，解得6(2,)2D且(0,3)E，所以32ODAEkk，所以/OD AE.（2）设00(,)M xy，则00(,)Nxy，所以直线AM的方程为00(2)2yyxx，令0 x，解得0022Pyyx,同理可得0022Qyyx,假设定点T，使得PQ为直径的圆恒过点T，则2OPOQOT,即2TPQxy y，又由2200143xy，可得22020434Tyxx，所以(3,0)T，即在x轴上存在定点(3,0)T，使得以PQ为直径的圆恒过点T.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，已知点31,2M，1C的参数方程为123xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2232cos.（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设曲线1C与曲线2C相交于A，B两点，求11MAMB的值.【答案】（1）332yx；22213yx（2）4【解析】【分析】（1）消去1C参数方程中的参数t，求得1C的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得2C的直角坐标方程.（2）求得曲线1C的标准参数方程，代入2C的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得11MAMB的值.【详解】（1）由1C的参数方程123xtyt（t为参数），消去参数可得332yx，由曲线2C的极坐标方程为232cos，得2222cos3，所以2C的直角坐方程为22323xy，即22213yx.（2）因为31,2M在曲线1C上，故可设曲线1C的参数方程为1123322xtyt（t为参数），代入22323xy化简可得23820tt.设A，B对应的参数分别为1t，2t，则1283tt，1 223t t，所以12121214111tttttMAtMB.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题.23.设函数1()1|1|2f xxx（xR）的最小值为m.（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且1112233mambmc，证明：21993abc.【答案】（1）32m（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论，去绝对值求出函数fx的解析式，根据一次函数的性质，得出()f x 的单调性，得出()f x取最小值，即可求m的值；（2）由（1）得出111123abc，利用“乘1 法”，令11123(23)23abcabcabc，化简后利用基本不等式求出239abc的最小值，即可证出21993abc.【详解】（1）解：1()1|1|2f xxx3,2,212,21,23,1,2x xxxx x当(,1)x时，()f x 单调递减；当1,x时，()f x 单调递增.所以当1x时，()f x 取最小值32m.（2）证明：由（1）可知111123abc.要证明：21993abc，即证232319999abcabc，因为a，b，c为正实数，所以11123(23)23abcabcabc223332332aabbccbcacab232332332abacbcbacacb32229.当且仅当23abc，即3a，32b，1c时取等号，所以21993abc.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1 法”和分类讨论思想，属于中档题.