高中数学4_4参数方程13平摆线与圆的渐开线学业分层测评苏教版选修4-4.pdf

精品教案可编辑【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 4.4 参数方程 13 平摆线与圆的渐开线学业分层测评苏教版选修 4-4 (建议用时：45 分钟)学业达标 1求平摆线xtsin t，y1cos t(0 t 2)与直线y 1 的交点的直角坐标【解】由题意知，y1cos t1，cos t 0，sin t1，t2k2(kZ)，又0t 2，t2.x2 1.交点的直角坐标为(21,1)2已知圆的渐开线xrcos sin，yrsin cos(为参数，0 2)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积【解】把已知点(3,0)代入参数方程得3rcos sin，0rsin cos，解得 0，r3.所以基圆的面积Sr232 9.3已知摆线的生成圆的直径为80 mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高精品教案可编辑【解】因 为 摆 线 的 生 成 圆 的 半 径r 40 mm，所 以 此 摆 线 的 参 数 方 程 为x 40tsin t，y401cos t.它一拱的拱宽为2r 240 80 (mm)，拱高为2r 2 40 80(mm)4抛物线y22x6ysin 9cos2 8cos 90，求顶点的轨迹的普通方程【解】抛物线方程可化为(y3sin)22(x4cos)，所以其顶点的参数方程为x 4cos，y3sin，普通方程为x216y291.5已知椭圆x5cos，y4sin(为参数)，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不在x轴上的一点，求PF1F2的重心G的轨迹方程【解】F1(3,0)、F2(3,0)，设P(5cos，4sin)、G(x，y)，所以G的轨迹方程为x5cos 3，y4sin 3(为参数，sin 0)6如图4-4-9，已知半圆x2y21(y 0)，定点A(2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线【导学号：98990040】图 4-4-9精品教案可编辑【解】设轨迹上任意一点为P(x，y)，又设D(x0，y0)，xOB(0)，则B(cos，sin)，AB(cos 2，sin)，AD(x02，y0)由ABAD且|AB|AD|，得cos 2x02y0sin 0，cos 22sin2x022y20.解得x0 sin 2，y0cos 2.因为P是BD的中点，所以xcos sin 2222cos41，ycos sin 2222sin41(0)消去，得点P的轨迹方程是(x1)2(y1)212(222x12，12y222)，它表示以(1,1)为圆心，22为半径的半圆的一部分7如图 4-4-10所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度(以弧度为单位)为参数求半径为2 的圆的摆线的参数方程图 4-4-10【解】当圆滚过角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图精品教案可编辑所示，ABM.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2，从而B点坐标为(2，2)，向量OB(2，2)，向量MB(2sin，2cos)，BM(2sin，2cos)，因此OMOBBM(22sin，22cos)(2(sin)，2(1 cos)动点M的坐标为(x，y)，向量OM(x，y)，所以x2sin，y21cos.这就是所求摆线的参数方程能力提升 8求半径为4 的圆的渐开线的参数方程【解】以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记OA和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则AM4.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得精品教案可编辑OA(4cos，4sin)由几何知识知MAB，AM(4sin，4cos)，得OMOAAM(4cos 4sin，4sin 4cos)(4(cos sin)，4(sin cos)又OM(x，y)，因此有x4cos sin，y4sin cos.这就是所求圆的渐开线的参数方程