高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质学业分层测评苏教版.pdf

精品教案可编辑学业分层测评(七)椭圆的几何性质(建议用时：45 分钟)学业达标 一、填空题1.椭圆(m1)x2my21 的长轴长是 _.【解析】椭圆方程可简化为x211my21m1，由题意知m0，11mb0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为 _.【解析】根据条件可知ca33，且 4a43，a3，c1，b2，椭圆的方程为x23y221.【答案】x23y2215.已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，a21，1a 2，故长轴长 2b0).由2a12，ca13，得a6，c2，由a2b2c2，得b232.故椭圆的方程为：y236x2321.【答案】y236x2321精品教案可编辑7.椭圆x24y231 的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是 _.【解析】如图，当直线xm，过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由x1，x24y231，解得y32，|AB|3.S12 3 23.【答案】38.(2016宿州高二检测)已知椭圆方程是x29y24 1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为 _.【导学号：24830033】【解析】方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y1k(x1)，由y1kx1，x29y241，得(49k2)x218k(k1)x9k218k27 0，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1x218kk149k22，解得k94，则所求的直线方程为y149(x1)，即 4x9y13 0.精品教案可编辑方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x219y2141x229y2241得x1x2x1x29y1y2y1y24ky1y2x1x24x1x29y1y2429249.直线l的方程为y149(x1)，即 4x9y13 0.【答案】4x9y13 0二、解答题9.(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率.(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.【解】(1)由题意得：bc，e2c2a2c2b2c2c22c212，e22.(2)由题意得：2bac，4b2(ac)2又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即 3a22ac5c20，3 2ca 5ca20，即 5ca2 2ca30，eca35.10.过椭圆x216y241 内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.【解】方法一：依题意，该直线l的斜率存在.设所求直线方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)216 0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1x282k2k4k21.精品教案可编辑又M为AB的中点，x1x2242k2k4k2 12，解之得k12.故所求直线的方程为x2y40.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点.x1x24，y1y22.又A、B两点在椭圆上，则x214y2116，x224y2216.两式相减得(x21x22)4(y21y22)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.y1y2x1x2x1x24y1y212，即kAB12.故所求直线方程为x2y 40.能力提升 1.点A(a,1)在椭圆x24y221 的内部，则a的取值范围是_.【解析】点A(a,1)在椭圆x24y22 1 内部，a24121.a2412.则a22，2a2.【答案】2a22.(2016宿迁高二检测)如图 2-2-2，P是椭圆x225y2161 在第一象限上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是F1PF2的平分线上的一点，且F2MMP0，则OM的取值范围是_.图 2-2-2精品教案可编辑【解析】延长F2M交PF1于点N，由已知条件可知OM12NF112(PF1PF2)aPF2，而acPF20，52m52.当m0 时，|AB|最大，此时直线方程为yx.