高中数学第2章平面向量章末知识整合苏教版必修4.pdf

精品教案可编辑【金版学案】2016-2017 学年高中数学第 2 章 平面向量章末知识整合 苏教版必修 4 精品教案可编辑专题一平面向量的线性运算例 1 e1，e2是不共线的向量，已知向量AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值分析：因为A，B，D三点共线，所以存在 R，使AB BD，可由已知条件表示出BD，由向量相等得到关于，k的方程组，求得k值解：BDCDCBe14e2.因为A，B，D三点共线，故存在 R，使AB BD.所以 2e1ke2(e14e2)解得k 8.精品教案可编辑规律方法向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，运用它们的运算法则、运算律，可以解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键变式训练 以向量OAa，OBb为邻边作平行四边形OADB，C为AB与OD的交点，BM13BC，CN13CD.若MNab，求的值解：如图所示，CD12OD12(ab)，精品教案可编辑CN13CD1312(ab)16(ab)，BC12BA12(ab)，MC23BC13(ab)，MNMCCN13(ab)16(ab)12a16b.又MNab，由平面向量的基本定理，12，16.因此121613.专题二向量的坐标运算例 2 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OPOAtAB.(1)当t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由分析：(1)将OP的坐标用t表示出来，然后讨论OP的横、纵坐标(2)若能成为平行四边形，则有OAPB，解出t的值；若t无解，则不能构成平行四边形解：(1)因为OA(1，2)，AB(3，3)，所以OPOAtAB(13t，23t)若点P在x轴上，则23t0，t23；若点P在y轴上，则13t0，t13；精品教案可编辑若点P在第二象限，则13t0，23t0.解得23t13.(2)因为OA(1，2)，PBPOOB(33t，33t)，若四 边形OABP为平行四边形，则OAPB.又33t1，33t2无解，故四边形OABP不能成为平行四边形规律方法向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一运用向量的坐标运算主要可以解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题变式训练 已知点A(3，4)与点B(1，2)，点P在直线AB上，且|AP|2|PB|，求点P的坐标解：设点P的坐标为(x，y)，|AP|2|PB|.精品教案可编辑当P在线段AB上时，AP 2PB.所以(x3，y4)2(1x，2y)所以x3 22x，y442y，解得x13，y0.所以点P的坐标为13，0.当点P在线段AB延长线上时，AP 2PB.所以(x3，y 4)2(1x，2y)所以x322x，y4 42y.解得x 5，y8.综上所述，点P的坐标为13，0 或(5，8)专题三平面向量的数量积例 3 设 0|a|2，且函数f(x)cos2x|a|sin x|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.分析：要求|ab|需知道|a|，|b|，故可利用函数的最值确立|a|，|b|的值解：f(x)1 sin2x|a|sin x|b|sin x|a|22|a|24|b|1.因为 0|a|2，所以当 sin x|a|2时，14|a|2|b|10；当 sin x1 时，|a|b|4.由14|a|2|b|1 0，|a|b|4?|a|2，|b|2.所以|ab|2 842，精品教案可编辑即|ab|222.规律方法平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等 对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键变式训练 (2015重庆卷)若非零向量a，b满足|a|223|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.4B.2C.34D解析：因为(ab)(3a 2b)，所以(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b20.因为|a|223|b|，设a，b，则 3|a|2|a|b|cos 2|b|2 0，所以83|b|2223|b|2 cos 2|b|20.所以 cos 22.精品教案可编辑又因为 0，所以4.答案：A专题四平面向量的应用例 4 如图所示，以ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AMEF.分析：要证AMEF，只需证明AMEF0.将AM用AB，AC表示，EF用AE，AF表示，然后通过向量运算证明证明：因为M是BC的中点，所以AM12(ABAC)，EFAFAE.所以AMEF12(ABAC)(AFAE)12(ABAFACAFABAEACAE)12(0 ACAFABAE0)12(ACAFABAE)12|AC|AB|cos(90 BAC)|AB|AC|cos(90 BAC)0，所以AMEF，即AMEF.精品教案可编辑规律方法平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解 决平面几何中的相关问题解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型变式训练 如图所示，在平面斜坐标xOy中xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OPxe1ye2(其中e1，e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)精品教案可编辑(1)若点P的斜坐标为(2，2)，求点P到点O的距离|OP|；(2)求以O为圆心，以1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程解：(1)因点P的坐标为(2，2)，故OP2e12e2，|OP|2，即|OP|2.(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OMxe1ye2，又|OM|1，所以(xe1ye2)21.所以x2y2 2xye1e21，即x2y2xy1.故所求方程为x2y2xy10.