(最新资料)福建省厦门外国语学校2020届高三上学期12月月考试题数学(文)【含解析】.pdf

福建省厦门外国语学校2020 届高三上学期12 月月考试题数学（文）一、选择题1.设全集1,2,3,4,5,6,7,82,3,4,61,4,5UMN，则UC MN等于()A.1,5B.1,4,5C.1,2,4,5,7D.1,4【答案】A【解析】【分析】根据全集U及集合M求出M的补集，再找出M的补集与N的交集即可【详解】解：全集1,2,3,4,5,6,7,82,3,4,61,4,5UMN，1,5,7,8UC M则1,5UC MN故选A【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键2.复数(12)(2)zii的共轭复数为（）A.5iB.5iC.15iD.15i【答案】A【解析】复数12i2i5iz，故复数 z 的共轭复数为5i，故选 A.3.袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】试 题 分 析：所 有 不 同 方 法 数 有种,所 求 事 件 包 含 的 不 同 方 法 数 有种,因 此 概 率,答案选 B.考点：古典概型的概率计算4.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且22aaccab，则C()A.3B.6C.23D.56【答案】A【解析】【分析】先由a、b、c成等比数列，得到2bac，再由题中条件，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】解：a、b、c成等比数列，所以2bac，所以222abcab，由余弦定理可知222cos122abcCab，又0C，所以3C.故选A【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.5.设0.7log0.8a，1.1log0.9b，0.91.1c，则a、b、c的大小顺序是()A.bacB.bcaC.abcD.cba【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的性质推导出01a，0b，利用指数函数的性质推导出1c，由此能求出结果【详解】0.70.70.70log1log0.8log0.71a，1.11.1log0.9log10b，0.901.11.11c，bac故选A【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题6.函数sinfxAx（其中0,2A）的图象如图所示，为了得到sing xAx的图象，只需将fx图象（）A.向右平移4个单位长度B.向左平移4个单位长度C.向右平移12个单位长度D.向左平移12个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据函数fx的图象求得1,3,4A，再根据左加右减平移变换，要得到()g x的解析式，观察出如何进行平移变换.【详解】由题意得：1A，5223412463TT，所以sin 3fxx，所以5553sin 312,121242fkkZ，因为2，所以4，所以sin 34fxx图象向右平移12个单位长度可得：sin 3()sin 3()124fxxxg x.故选 C.【点睛】本题考查从三角函数图象提取信息求,A的值，考查“左加右减”平移变换，求解过程中注意是由函数()f x 平移变换到函数()g x，考查数形结合思想的运用.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.4B.2 33C.83D.43【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原立体图形，再计算体积.【详解】如图所示：底面为直角边长为2 的等腰直角三角形，高2DE故114222323V【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，通过三视图还原立体图是解题的关键.8.已知12,FF是两个定点，点P是以1F和2F为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且12PFPF，记1e和2e分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A.22122eeB.22124eeC.2212114eeD.2212112ee【答案】D【解析】【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义122PFPFm由椭圆的定义12|2PFPFa又01290F PF，故22212|4?PFPFc22得222212|22PFPFam将代入得2222amc，即2222112ccam，即2212112ee故选 D【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程9.如图给出的是计算20171242的值的一个程序框图，则其中判断框内应填入的是（）A.2017?iB.2017?iC.2018?iD.2018?i【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，依次执行循环，直至到2018i，从而得出选项.【详解】经过第一次循环得到结果1S，1i，此时不输出，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到结果12S，2i，此时不输出，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到结果2122S，3i，此时不输出，不满足判断框中的条件，经过第 2018 次循环得到结果220171222S，2018i，此时输出，满足判断框中的条件即1i，2，32017 时不满足判断框中的条件，2018i时满足判断框中的条件答案为：2018?i,故选：C【点睛】本题考查补全程序框图的执行条件，对于此类问题，需依次执行循环，直至退出循环，代入条件验证，属于基础题.10.设函数1()ln1xf xxx，则函数的图像可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,A C，再计算11()22ln 30f排除D得到答案.【详解】1()ln1xf xxx定义域为：(1,1)11()lnln()11xxfxxxf xxx，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f，排除D故选B【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.11.如图，在正方体1111ABCDA B C D中，,M N分别是棱111,B CC C的中点，则异面直线1BD与MN所成的角的大小是（）A.30B.45C.60D.90【答案】D【解析】【分析】连结11,B C BC，可得11BCB C，由11D C面11B BCC得111D CB C，可得1B C平面11BC D，则11B CD B，有1MNB C，可得1MND B，即1BD与MN所成的角的大小是90，故选 D项.【详解】连结11,B C BC正方体1111ABCDA B C D，11D C面11BBC C1B C面11BB C C，所以111B CD C正方形11BB C C中，11B CBC111,D CBC面11BD C，1111D CBCC所以1B C面11BD C，而1BD面11BD C所以11BDB C又M为11B C中点，N为1CC中点，可得1MNB C所以1BDMN，即异面直线1BD与MN所成的角的大小是90.故选 D项.【点睛】本题考查正方体内异面直线所成的角，通过线线垂直证明线面垂直，属于中档题.12.已知函数()eexfxaxa，若存在1,1a，使得关于x的不等式()0f xk恒成立，则k的取值范围为A.,1B.,1C.,0D.,0【答案】A【解析】【分析】解法 1：变换主元研究函数xxm aaexaeee ax，进而令xg xeex的单调性.解法 2:按照1,0a和当0,1,a对函数进行求导,讨论单调性.【详解】解法1：（1）当=1x时，110fkk，所以1k；（2）当1x时，令eeeexxm aaxaax，因为存在1,1a，使得0m ak，等价于1eexkmx，所以，存在1,1a，使得关于x的不等式minkfx恒成立，等价于eexxk恒成立.令eexg xx（1x），则e10 xgx，所以g x单调递增，所以11g xgk，即1k；（3）当1x时，因为1,1a，所以eeeeeexxxaxaaxx，所以要存在1,1a，使得关于x的不等式minkfx恒成立，等价于eexxk恒成立.令eexh xx（1x），则h x单调递减，所以1h xk，即1k.综上，得1k.解法 2：e1xfxa，（1）当1,0a时，0fx，所以fx单调递减，且当x趋向于时，fx趋向于，与不等式恒成立矛盾，舍去；（2）当0,1a时，令0fx，1ln,xa，所以fx在区间1ln,a单调递增；令0fx，1,lnxa，所以fx在区间1,lna单调递减；所以存在0,1a，使得min1lnlne1fxfaaka成立.令lne1g aaa，1egaa，所以：当10,ea时，0ga，g a单调递增；当1,1ea时，0ga，g a单调递减.所以max11egagk，即1k.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性进而求最值问题,属于难题.二、填空题：本大题共4 小题把答案填在答题卡中的横线上13.已知向量(1,2)a，(2,)bk，若2aba，则 k_【答案】6【解析】【分析】先求得2ab，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k的值.【详解】依题意22,42,4,4abkk，由于2aba，所以4,41,24820kk，6k.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的加法运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.已知实数,x y满足0200 xyxyy，则34zxy最小值为 _【答案】1【解析】由34zxy，得344zyx,作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线344zyx，由平移可知当直344zyx，经过点B(1,1)时,直线344zyx的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入34341zxy，即目标函数34zxyy的最小值为-1.故答案为-1.15.已知0,2，3tan24，则sincossincos的值为 _【答案】-2【解析】【分析】通过正切的二倍角公式可求tan 的值，再将分子分母同时除以cos，得到关于tan 的式子，代入 tan 的值，即可计算出结果【详解】22tan3tan21tan 4tan 13或 tan 3，又0,2，tan 13且 cos 0，sin111sin costan 1cos32sin1sin costan 111cos3故答案为-2.【点睛】本题主要考查二倍角公式及同角基本关系式的应用，考查了弦化切的技巧，属于基础题16.已知直线l：4yx与圆 C：22(2)(1)1xy相交于 P，Q两点，则CP CQ_【答案】0【解析】【分析】根据题意，分析圆C的圆心以及半径，求出圆心到直线的距离和PQ的长，由直线与圆的位置关系分析可得PCQ90，由数量积的计算公式计算可得答案【详解】根据题意，圆C：（x2）2+（y1）21，圆心为（2，1），半径r1，圆心C到直线l的距离d2 14222，则|PQ|2222rd，则PCQ90，故CP CQ0；故答案为0【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量数量积的计算，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤考生根据要求作答17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1xcosysin（为参数），直线l的参数方程为13xtyt（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m：（0）.（1）求C和l的极坐标方程；（2）设点A是m与C的一个交点（异于原点），点B是m与l的交点，求OAOB的最大值.【答案】（1）2cos，cossin40.（2）214.【解析】（1）曲线C的一般方程为221+1xy，由,cosxsiny得222cos1+sin1，化简得C的极坐标方程为2cos，因为l的一般方程为40 xy，极坐标方程为cossin40.（2）设12,AB，则12OAOBsincos2cos421sin coscos221sin 2444，由射线m与C相交，则不妨设,4 4，则 32,444，所以当2,42即8时，OAOB取最大值，此时214OAOB.18.已知数列na的前n项和为nS，11,2a2nn02nnSa San（1）求证：数列1nS是等差数列；（2）求123111+23nSSSSn【答案】(1)证明见解析；(2)1nn【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnS naSSn化简已知条件，得到1111nnSS，由此证得数列1nS是等差数列.（2）由（1）求得nS的表达式，然后利用裂项求和法求得表达式的值.【详解】（1）证明：因为当2n时，1nnnaSS，所以211()0nnnnnnSSSSSS所以110nnnnSSSS,因为11,2a所以216a，所以10nnSS，所以1111nnSS所以1nS是以112S为首项，以1 为公差的等差数列（2）由（1）可得1211nnnS，所以11nSn所以1111(1)1nSnn nnn所以12311111111+1+232231nSSSSnnn11111nnn【点睛】本小题主要考查已知递推关系式证等差数列，考查裂项求和法，属于基础题.19.某学习小组在研究性学习中，对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究该小组在4月份记录了1 日至 6 日每天昼夜最高、最低温度（如图 1），以及浸泡的100 颗绿豆种子当天内的出芽数（如图 2）根据上述数据作出散点图，可知绿豆种子出芽数（颗）和温差具有线性相关关系附：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，?aybx（1）求绿豆种子出芽数（颗）关于温差的回归方程；（2）假如 4 月 1 日至 7 日的日温差的平均值为11，估计4 月 7 日浸泡的 10000 颗绿豆种子一天内的出芽数【答案】（1）119?42yx（2）4 月 7 日浸泡的10000 颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125 颗【解析】【分析】（1）根 据 最 高（低）温 度 折 线 图 和 出 芽 数 条 形 图 可 得 出 数 据 表，分 别 求 出10 x，32y，61iiixxyy，621iixx，121?niiiniixxyybxx，?aybx，从而得出绿豆种子出芽数（颗）关于温差的回归方程；（2）根据 4 月 1 日至 7 日温差的平均值为11，求出4 月 7 日的温差7x，代入第（1）问所求的回归方程中得 100 颗绿豆种子出芽数（颗），从而估计出4 月 7 日浸泡的10000 颗绿豆种子一天内的出芽数【详解】（1）解：依照最高（低）温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表：日期1 日2 日3 日4 日5 日6 日温差x7 8 12 9 13 11 出芽数y23 26 37 31 40 35 故10 x，32y，ixx322 13 1 iyy965 18 3 62139262 513 8 1 377iiixxyy，62222222132213128iixx，所以，1217711?284niiiniixxyybxx，则119?321042aybx，所以，绿豆种子出芽数y（颗）关于温差x（）的回归方程为119?42yx（2）解：因为4 月 1 日至 7 日温差的平均值为11，所以 4 月 7日的温差77 116 1017x（），所以，7119?1751.2542y，所以，4 月 7 日浸泡的10000 颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125 颗【点睛】本题考查根据样本数据求线性回归方程，并根据线性回归方程估计未知的量，关键在于每个统计数据的实际意义，运算仔细，属于基础题.20.如图，在三棱柱111ABCA B C中，122AAAB，13BAA，D为1AA的中点，点C在平面11ABB A内的射影在线段BD上.(1)求证：1B DCBD平面；(2)若CBD是正三角形，求三棱柱111ABCA B C的体积.【答案】（1）见证明；(2)34【解析】【分析】（1）分别证明1CEB D和1BDB D，结合直线与平面垂直判定，即可（2）法一：计算1A ABS，结合1113CA ABA ABVSCE和11113ABCA BCCA ABVV，即 可 法 二:计 算111ABB APCC QV，结 合11111112ABCA B CABB APCC QVV，计算体积，即可法三：结合11122ABCA B CABCDABDVShSCE，计算结果，即可【详解】(1)证明：设点C在平面11ABB A内的射影为E，则EBD，CECBD平面，且11CEABB A平面，因111B DABB A平面，所以1CEB D.在ABD中，1ABAD，3BAD，则323ABDADB，11A B D中，1111A BA D，1123B A D，则11112326AB DA DB，故1362B DB，故1BDB D.因CEBDE，故1B DCBD平面.(2)法一、11 11133ABCA B CAABCCA ABVVV，由(1)得11CEABB A平面，故CE是三棱锥1CA AB的高，CBD是正三角形，1BDABAD，32CE，111113sin1 2sin2232A ABSABAABAA，111133133224CA ABA ABVSCE，故三棱柱的体积1111334ABCA B CCA ABVV，故三棱柱111ABCA B C的体积为34.法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因PACBACSS且高一样，故11 111ABCAB CAPCA QCVV，故11 11111112ABCA B CAPCA QCABB APCC QVVV，由(1)得11CEABB A平面，故CE是四棱柱111ABB APCC Q的高，故11111133sin1 2sin322ABB APCC QABB AVSCEABAABADCE，故11 11111324ABCAB CABB APCC QVV，故三棱柱111ABCA B C的体积为34.法三、在三棱锥CABDV中，由(1)得CEABD平面，CE是三棱锥CABD的高，6 分记D到平面ABC的距离为Dh，由DABCCABDVV得1133ABCDABDShSCE，即ABDDABCSCEhS，D为1AA的中点，故A到平面ABC的距离为22ABDDABCSCEhS，1111332221 1 sin2324ABCA B CABCDABDVShSCE.故三棱柱111ABCA B C的体积为34.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大21.已知函数()1xfxeax.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有最小值，且最小值不小于221aa时，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1【解析】【分析】（1）就0,0aa分两类讨论导数的符号后可得函数的单调性.（2）因fx有最小值，故由（1）可得min()ln1f xaaa，因2min21fxaa，故ln220aa，令ln22g aaa，利用该函数为单调增函数及10g可得实数a的取值范围.【详解】（1）()xfxea，当0a时，()0 xfxea，所以函数()f x 在R上单调递增；当0a时，令()0fx，解得lnxa，当(,ln)xa时，()0fx，故函数()f x 在(,ln)a上单调递减；当(ln,)xa时，()0fx，故函数()f x 在(ln,)a上单调递增.（2）由（1）知，当0a时，函数()f x 在R上单调递增，没有最小值，故0a.2min()(ln)ln121f xfaaaaaa，整理得2ln220aaaa，即ln220aa.令()ln22(0)g aaaa，易知()g a在(0,)上单调递增，且(1)0g；所以ln220aa的解集为(0,1，所以(0,1a.【点睛】一般地，若fx在区间,a b上可导，且00fxfx，则fx在,a b上为单调增（减）函数；反之，若fx在区间,a b上可导且为单调增（减）函数，则00fxfx函数不等式的证明，往往需要构建新函数并利用新函数的单调性来证明，有时新函数的单调性可由增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数直接到22.已知点F为抛物线2:4Wxy的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线1l，2l，分别交抛物线W于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点（1）求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标；（2）设直线EG交抛物线W于M，N两点，试求MN的最小值【答案】（1）证明见解析，直线EG过定点0,3H（2）MN的最小值为4 3.【解析】【分析】（1）设11,A x y，22,C xy，显然直线1l，2l的斜率是存在的，设直线AC的方程为1ykx，代入24xy可得2440 xkx，可得出AC的中点坐标为22,21Ekk，再根据ACBD，得BD的中点坐标为222,1Gkk，再令222121kk得21k，得出直线EG恒过点0,3H，验证EHGHkk，得E，H，G三点共线，从而直线EG过的定点；（2）由（1）设直线EG的方程为3ytx，代入24yx可得24120 xtx，再设2,4MMxMx，2,4NNxNx，得韦达定理4MNxxt，12MNx x，表示出2MN，由二次函数得出线段MN的最小值【详解】（1）设11,A x y，22,C xy，直线AC的方程为1ykx，代入24xy可得2440 xkx，则124xxk，故212121142yykxkxk，故AC的中点坐标为22,21Ekk由ACBD，得1ACBDkk，所以BD的中点坐标为222,1Gkk令222121kk得21k，此时2221213kk，故直线EG过点0,3H，当时21k，22213120EHkkkkk，2221 3120GHkkkkk所以EHGHkk，E，H，G三点共线，所以直线EG过定点0,3H（2）设2,4MMxMx，2,4NNxNx，直线EG的方程为3ytx，代入24yx可得24120 xtx，则4MNxxt，12MNx x，故2222222116416MNMNMNMNxxMNxxxxxx22141616MNMNMNxxx xxx222211648161616314816tttt（当20t时，取等号）故4 3MN，当0t及直线EG垂直y轴时，MN取得最小值4 3【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合运用，属于难度题.此类题目关键在于联立直线和抛物线的方程，将所需解决的问题转化为直线与抛物线的交点的坐标的韦达定理上，可求解.