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山东省潍坊市诸城市2019-2020 学年高一上学期期末考试试题数学一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合12Axx，13Bxx，则AB()A.1,2B.1,2C.1,3D.1,3【答案】A【解析】【分析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.【详解】依题意AB1,2.故选：A【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2.已知11fxx，则fx的解析式为()A.11fxxB.1xfxxC.11fxxD.11fxx【答案】C【解析】【分析】利用换元法，求得fx的解析式.【详解】fx的定义域为|1x x，令tx，则1,txt，且1,11fttt，所以1,11fxxx.故选：C【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题.3.函数2()logf xxx的零点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性和零点存在性定理，判断出函数fx零点的个数.【详解】由于函数2()logfxxx定义域为0,，fx在定义域上是增函数，211111log1022222f，21log 1 110f，1102ff，根据零点存在性定理，结合fx的单调性可知fx在0,有唯一零点.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查函数单调性的判断，属于基础题.4.函数2yx的单调递增区间为()A.,0B.0,C.0,D.(,)【答案】A【解析】分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y轴,故可得出其单调增区间.【详解】函数2yx,函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y轴函数的单调增区间为,0.故选:A.【点睛】本题考查了一元二次函数的单调区间,掌握一元二次函数的对称轴是解题的关键,属于基础题.5.下列函数中值域为0,的是()A.22xyB.21xyxC.1lgyxD.1()3xy【答案】D【解析】【分析】对选项逐一分析函数的值域，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，由于20 x，所以20122xy，即函数的值域为1,，不符合题意.对于 B选项，1331111xyxx，所以函数的值域为|1y y，不符合题意.对于 C选项，函数1lgyx的值域为0,，不符合题意.对于 D选项，函数1()03xy，即函数的值域为0,，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，属于基础题.6.幂函数121()(3)kf xkx在0,上是增函数，则k的值为()A.0 B.2 C.-1 D.-2【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的概念和单调性，求得k的值.【详解】由于fx为幂函数，所以231k，解得2k或2k，当2k时，1fxx，在0,上递减，不符合题意.当2k时，13fxx，在0,上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据幂函数的定义和单调性求参数，属于基础题.7.以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）中，正确的命题是()A.若/ab，b，则/aB.若/a，/b，则/abC.若/ab，b，则aD.若/a，b，则/ab【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，直线a可能含于平面，所以 A选项错误.对于 B选项，,a b可能异面，所以B选项错误.对于 C选项，由于/ab，b，所以a，所以 C选项正确.对于 D选项，,a b可能异面，所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.8.三个数30.4a，3log 4b，4log 0.3c之间的大小关系是()A.cbaB.cabC.acbD.bca【答案】B【解析】【分析】利用“0,1分段法”比较出三者的大小关系.【详解】由于30.40,1a，33log 4log 31b，44log 0.3log 10c，所以cab.故选：B【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.9.两条直线2yax与(2)2yax互相垂直，则a等于()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据直线垂直的条件列方程，解方程求得a的值.【详解】由于两条直线垂直，所以21aa，即222110aaa，解得1a.故选：C【点睛】本小题主要考查两直线垂直的条件，属于基础题.10.在下面的四个平面图形中，正四面体的展开图可以是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正四面体的展开图判断出正确选项.【详解】根据正四面体的展开图可知，正四面体的展开图可以是，不能构成正四面体.故选：A【点睛】本小题主要考查正四面体展开图的特征，属于基础题.11.三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为2 3，顶点都在一个球面上，则该球的体积为()A.4 3B.28 73C.8 6D.32 73【答案】B【解析】【分析】求得底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的体积.【详解】设底面正三角形的外接圆半径为r，由正弦定理得2sin3ABr，即2 342,232r r，所以求的半径为222212372AARr，所以球的体积为334428 77333R.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.12.如果函数()f x 对任意a，b满足()()()f abf a f b，且(1)2f，则(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)ffffffff()A.504 B.1009 C.2018 D.4036【答案】C【解析】【分析】根据()()()f abf a f b以及(1)2f，找到规律，由此求得所求表达式的值.【详解】由于函数()f x 对任意a，b满足()()()f abf a f b，且(1)2f，令1,1ab，则221111ffffff；令3,1ab，则，443113ffffff；以此类推，可知(2)(4)(6)(2018)1(1)(3)(5)(2017)fffffffff，所以(2)(4)(6)(2018)100912018(1)(3)(5)(2017)fffffffff.故选：C【点睛】本小题主要考查抽象函数有关计算，属于基础题.第 II卷（非选择题，共90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分.13.点3,1到直线2yx的距离为 _.【答案】5【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，求得点到直线的距离.【详解】依题意，点3,1到直线20 xy的距离为2223 1521.故答案为：5【点睛】本小题主要考查点到直线的距离，属于基础题.14.已知0 x，且1x，1log416x，则x_.【答案】12【解析】【分析】根据指数和对数运算，化简求得x的值.【详解】依题意0 x，且1x，1log416x，所以4411162x，由于0 x，且1x，所以12x.故答案为：12【点睛】本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为2，高为 6，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是_.【答案】9【解析】【分析】设出内接圆柱的底面半径，求得内接圆柱的高，由此求得内接圆柱的表面积的表达式，进而求得其表面积的最大值.【详解】设圆柱的底面半径为02xx，高为h，由图可知：226xh，解得3 263hxx.所以内接圆柱的表面积为22226343xxxxx239424x，所以当32x时，内接圆柱的表面积取得最大值为9494.故答案为：9【点睛】本小题主要考查圆锥的内接圆柱表面积有关计算，属于基础题.16.已知函数3,21()21,2xxxf xx，若方程()0f xa有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_.【答案】0,1【解析】【分析】画出函数fx的图像，根据fx图像与ya有三个交点，求得a的取值范围.【详解】画出fx的图像如下图所示，要使方程()0f xa有三个不同的实数根，则需fx图像与ya有三个交点，由图可知，a的取值范围是0,1.故答案为：0,1【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合37AxRx，412324xBxN，|CxR xa或1xa.（1）求,RBAB；（2）若ACC，求实数a的取值范围.【答案】（1）3,4,5,6,7,8,9B，7,8,9ABR；（2）7a或2a.【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合B，进而求得ABR.（2）根据ACC，得到AC，由此列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】（1）245|222,xBxN245x，29x，3,4,5,6,7,8,9B，7,8,9ABR；（2）ACC，AC，|CxR xa或1xa，7a或13a，实数a的取值范围是7a或2a.【点睛】本小题主要考查指数不等的解法，考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据并集的结果求参数，属于基础题.18.已知直线l的倾斜角是直线31yx的倾斜角的12，且l过点3,1P.（1）求l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.【答案】（1）340 xy；（2）320 xy或3100 xy.【解析】【分析】（1）先求得直线31yx的倾斜角，由此求得直线l的倾斜角和斜率，进而求得直线l的方程.（2）设出直线m的方程，根据点P到直线m的距离列方程，由此求解出直线m的方程.【详解】（1）直线的方程为31yx，3k，倾斜角120，由题知所求直线的倾斜角为60，即斜率为3，直线l经过点3,1，所求直线l方程为133yx，即340 xy；（2）直线m与l平行，可设直线m的方程为30 xyc223313(3)1c，即46c，2c或10c所求直线m的方程为320 xy或3100 xy【点睛】本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，考查两直线平行，考查点到直线距离公式，属于基础题.19.已知正四棱台1111ABCDA B C D上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6.（1）求正四棱台的表面积；（2）求三棱锥1BAC D的体积.【答案】（1）116843；（2）8 2.【解析】【分析】（1）求得侧面的高，由此求得正四棱台的表面积.（2）求得正四棱台的高，由此求得三棱锥1BAC D的体积.【详解】如图，（1）1111ABCDA B C D为正四棱台，4AB，1110A B，16AA.在等腰梯形11A B BA中，过A作11AEA B，可得110432A E，求得22113 3AEAAAE，正四棱台的表面积22141044103 311684 32S；（2）连接AC，11AC，可得4 2AC，11102A C，过A作11AGAC，根据正四棱台的性质可知AG平面ABCD，AG平面1111DCBA,114 2,10 2ACAC,所以11024 23 22AG，所以22113 2AGAAAG，11111443 28 2332ABDBAC DCABDVVSAG三棱锥三棱锥.【点睛】本小题主要考查正四棱台表面积的计算，考查锥体体积计算，属于基础题.20.扎比瓦卡是2018 年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本.扎比瓦卡，俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15000 元，每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20 元，根据初步测算，每个销售价格满足函数1320,0450,N2()45000,450,NxxxP xxxx，其中x是“扎比瓦卡”的月产量（每月全部售完）.（1）将利润fx表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）.【答案】（1）2130015000,0450,N23000020,450,Nxxxxfxx xx；（2）当300 x时，该厂所获利润最大利润为 30000 元.【解析】【分析】（1）结合分段函数P x，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润fx的解析式.（2）根据二次函数的性质，求得利润fx的最大值以及此时月产量.【详解】（1）由题意，当0450 x时，2132015000203000.5150002fxx xxxx.当450 x时，4500020150003000020fxxx，2130015000,0450,N23000020,450,Nxxxxfxx xx；（2）当 0450 x时，20.530015000fxxx；根据二次函数的性质可知，当300 x时，max30000fx当450 x时，30000 20fxx为减函数，max45021000fxf，3000021000，当300 x时，该厂所获利润最大，最大利润为30000 元.【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查分段函数最值的求法，属于中档题.21.如图所示，在正方体1111ABCDA B C D中，点E为棱1BB的中点，F为CD中点.求证：（1）/BD平面1A EC；（2）平面11B FC平面1A EC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将平面1A EC延展为平面1CEA G，通过证明/GEBD，证得/BD平面1A EC.（2）通过证明1CGC F、11CGB C，证得CG平面11B FC，由此证得平面11B FC平面1A EC.【详解】（1）取1DD中点G，连接1AG，CG，EG，由正方体1111ABCDA B C D中，22221111=CECBBEADD GAG，取1AA中点M，连接DM，则1/DMAG，/CEDM,1/,CEAG四边形1CEA G为平行四边形，又/GDBE且=GD BE，/GEBD，BD面1A CE，GE面1ACE，/BD面1A EC，（2）在正方形11CDD C中，由1CDGC CF,得1DCGCC F,因为90DCGCGD,190C FCDCG,1CGC F，因为11B C面1CDD C，且CG面11CDD C11CGB C，又因为1111C FB CC，CG平面11B FC，CG平面1A EC，平面11B FC平面1A EC.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.函数2223fxaxxa.（1）当1a时，求函数fx在区间1,3上的值域；（2）若任意12,0,1x x，对任意0,1a，总有不等式212()()21f xf xmam成立，求m的取值范围.【答案】（1）9,202；（2）1m或3m.【解析】【分析】（1）当1a时，利用二次函数的性质，求得fx在区间1,3上的值域；（2）首先求得fx在区间0,1上的最大值和最小值，由此得到对任意01a，不等式22122mama恒成立，构造函数2g()=(21)(22)amama22(1)1mam，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m的取值范围.【详解】（1）当1a时，2219224222fxxxx，对称轴11,32xmin19()()22f xf，max()(3)20f xf，函数fx在1,3上的值域为9,202.（2）0a，对称轴102xa，fx在区间0,1上单调递增，max11fxfa，min03fxfa，maxmin22fxfxa，即对任意01a，不等式22122mama恒成立，设22g()=(21)(22)2(1)1amamamam，由于0g a在区间01，上恒成立，所以则(0)0(1)0gg，即22102110mmm，解得1m或3m.【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.