中考数学专题：二次函数练习题.docx

一、选择题1.若二次函数 = 2 + + （ 0 ）的图象与 轴有两个交点，坐标分别为 ( ,0) ，1( ,0) ，且 < ，图象上有一点 ( , ) 在 轴下方，则下列判断正确的是（）。21200A. > 0B.C. < < 22 4 010D. ( )( ) < 001022.函数 = 2 2 + 1 向左平移 个单位后其图象恰好经过坐标原点，则 的值为（）。A.1B. 1C. 1 或 3D. 1 或 33.定义 , , 为函数 = 2 + + 的特征数，下面给出特征数为 2, 1 , 1 18 的函数的一些结论：当 = 3 时，函数图象的顶点坐标是 ( , ) ；当 > 0 时，3331函数图象截 轴所得的线段长度大于 ；当 < 0 时，函数在 > 时， 随 的24增大而减小；当 0 时，函数图象经过同一个点。其中正确的结论有（）。A. B. C. D. 4.对于二次函数 = 2( + 1)( 3) ，下列说法正确的是（）。A. 图象的开口向下B. 当 > 1 时， 随 的增大而减小C. 当 < 1 时， 随 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线 = 15.若二次函数 = 2 + + （ 0 ）的图象与 轴有两个交点，坐标分别为 ( ,0) ，1( ,0) ，且 < ，图象上有一点 ( , ) 在 轴下方，则下列判断正确的是（）。21200A. > 0B.C. < < 22 4 010D. ( )( ) < 001026.二次函数 = 2 + 的图象如图，若一元二次方程 2 + + = 0 有实数根，则 的最大值为（ ）。 A. 3B.C. 6D.3927.已知二次函数 = 2 + + 4 ，一次函数 = ( 2) ，若它们的图象对于任意4的非零实数 都只有一个公共点，则 ， 的值分别为（）。A. = 1 ， = 2B. = 1 ， = 4C. = 1 ， = 2D. = 1 ， = 28.给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线。有下列命题：直线 = 0 是11抛物线 = 2 的切线；直线 = 2 与抛物线 = 2 相切于点 (2,1) ；若直441线 = + 与抛物线 = 2 相切，则相切于点 (2,1) ；若直线 = 2 与抛物41线 = 2 相切，则实数 = 2 。其中正确命题的是（ ）。4A. B. C. D. 9.将抛物线 = 2( 3)2 2 绕它的顶点旋转 180 ，所得的解析式是（）。A.B.C.D. = 22 + 12 20 = 22 + 12 16 = 22 + 12 19 = 22 12 + 1610.将抛物线 = ( 1)2 1 向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位得到的抛物线是（）。 A.B.C.D. = 2 + 1 = ( 2)2 + 1 = ( 2)2 + 2 = 2 311.在同一直角坐标系中，函数 = + 和 = 2 + 2 + 2 （ 是常数，且 0 ）的图象可能是（ ）。A.B.C.D.12.若抛物线 = ( 2)2 + 3 1 （ 是常数）与直线 = + 1 有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则 的取值范围是（ ）。A. < 2B. > 2 · C. < 94D. > 94二、填空题1.若关于 的函数 = 2 + 2 1 与 轴仅有一个公共点，则实数 的值为_ 。（7）2.二次函数 = 2 6 + 的部分图象如图所示，若关于 的一元二次方程 2 6 + = 0 的一个解为 = 1 ，则另一个解 = _ 。123.如图所示，直线 = + 和抛物线 = 2 + + 都经过点 (1,0) 和 (3,2) ，不等式 2 + + > + 的解集为_ 。4.如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 （单位：m ）与小球运动时间 （单位： s ）之间的关系式为 = 30 52 ，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是秒。三、解答题1.已知：抛物线 = 2 + + 经过 (1,0) 、 (5,0) 两点，顶点为 。求：（1）求 ， 的值；（2）求 的面积；（3）若点 ( , ) 和点 ( , ) 在该抛物线上，则当 0 < < < 1 时，请写出112212 · 与 的大小关系。（5）122.已知抛物线 = 2 + (1 2) + 1 3 与 轴相交于不同的两点 、 。（1）求 的取值范围。（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 ，并求出点 的坐标。（3）当 1 < 8 时，由（2）求出的点 和点 、 构成的的面积是否有4最值。若有，求出最值及相对应的 值；若没有，请说明理由。3.已知抛物线 = 2 + + （ 0 < 2 < ）的顶点为 ( , ) ，点 (1, ) 、00(0, ) 、 (1, ) 在该抛物线上。（1）当 = 1 ， = 4 ， = 10 时。求顶点 的坐标。求的值。 （2）当 0 恒成立时，求的最小值。0 4.如图所示，抛物线 = 2 + + 经过点 (1,0) 和点 (4,0) ，与 轴交于点 。（1）求抛物线所对应的解析式。（2）连接直线 ，抛物线的对称轴与 交于点 ， 为抛物线的顶点，求四边形 的面积。5.如图，已知抛物线 = 2 + + 与 轴交于点 ， ， = 2 ，与 轴交于点 ，对称轴为直线 = 2 。 · （1）求抛物线的函数表达式。（2）设 为对称轴上一动点，求 周长的最小值。（3）设 为抛物线上一点， 为对称轴上一点，若以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则点 的坐标为_ 。6.某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可以退回厂家。经统计销售情况发现，当这种面包的销售单价为 7 角时，每天卖出 160 个。在此基础上，单价每提高 1 角时，该零售店每天就会少卖出 20 个面包。设这种面包的销售单价为 角（每个面包的成本是5 角）。零售店每天销售这种面包的利润为 角。（1）用含 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数。（2）求 与 之间的函数关系式。（3）当这种面包的销售单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大，最大利润为多少元。 · 解析和答案一、选择题1【答案】D【解析】本题主要考查二次函数 = 2 + + 的图象和性质。A项，二次函数 = 2 + + （ 0 ）的图象与 轴有两个交点无法判断 的正负情况。故A项错误。B项，因为 < ，所以抛物线与 轴有两个不同的交点，即 = 2 4 > 0 。故B12项错误。C项，若 > 0 ，则 < < ，若 < 0 ，则 < < 或 < < 。故C102012120项错误。D项，若 > 0 ，则 > 0 ， < 0 ，所以 ( )( ) < 0 ，所以01020102( )( ) < 0 ；若 < 0 ，则 ( ) 与 ( ) 同号，所以 ( 010201020 )( ) < 0 ，综上所述， ( )( ) < 0 是正确的。故D项正确。1020102故本题正确答案为D。2【答案】A【解析】本题主要考查二次函数 = 2 + + 的图象和性质和图形的平移变换。二次函数的解析式为 = 2 2 + 1 ，表示成顶点式为 = ( 1)2 ，向左平移 个单位后，解析式为 = ( 1 + )2 ，平移后的图象过原点，把 (0,0) 代入得 (0 1 +2，解得 = 1 。) = 0故本题正确答案为A。3.【答案】C【解析】本题主要考查函数基础知识和二次函数 = 2 + + 的图象和性质。424项，当 = 3 时， , , = 6,4,2 ，根据顶点坐标公式 ( ,) 得：顶点2 · 18坐标为 ( , ) 。故项正确。33项，当 > 0 时，设抛物线与 轴交点横坐标为 、 ，解方程 22 + (1 ) 12111 = 0 ，得 (2 + 1 + )( 1) = 0 ，解得 = 1 ， = ，且 < 0 ，2122231> 3 。故项正确。故函数图象截 轴所得的线段的长度为 = +12222项，当 < 0 时，抛物线开口向下，对称轴 = =141= 41>14，则对称轴在24 = 1 的右侧，故当 > 1 时，函数 随 的增大而先增大后减小。故项错误。44项，由上述讨论可知，当 > 0 时，对于任意正数 ，函数经过定点 (1,0) ；当 < 0时，函数也经过定点 (1,0) 。故当 0 时，函数图象经过同一个点 (1,0) 。故项正确。综上所述，、项正确。故本题正确答案为C。4.【答案】C【解析】本题主要考查二次函数的基本概念。二次函数 = 2( + 1)( 3) 可变换为 = 2( 1)2 8 的形式。A项，因为二次项系数 = 2 > 0 ，所以图象开口向上。故A项错误。B项，抛物线的开口向上，对称轴为 = 1 ，当 > 1 时， 随 的增大而增大。故B项错误。C项，抛物线的开口向上，对称轴为 = 1 ，当 < 1 时， 随 的增大而减小。故C项正确。D项，由二次函数的解析式可知抛物线的对称轴为 = 1 。故D项错误。故本题正确答案为C。5.【答案】D【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质。A项，根据已知条件并不能判断抛物线的开口方向。故A项错误。B项，因为方程 2 + + = 0 有两个不等的实根，所以判别式 2 4 > 0 。故B项错误。C项，因为抛物线的开口方向不能确定，所以无法确定 ， ， 三者之间的数量关012系。故C项错误。D项，点 ( , ) 在二次函数图象上，则 = 2 + + < 0 ，因为 ( , 0) ，( ,0)0000012是二次函数与 轴的交点，则 = ( )( ) < 0 。故D项正确。00102故本题正确答案为D。6.【答案】B【解析】 · 本题主要考查二次函数与一元二次方程的联系。一元二次方程 2 + + = 0 的实数根即为二次函数 = 2 + 与直线 = 交点的横坐标，由图象可知二次函数图象的纵坐标最小值为 3 ，即当直线 = 与二次函数 = 2 + 有交点时，可取得 值最小值为 3 ，即 的最大值为 3 。故本题正确答案为B。7.B【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质和一次函数的图象与性质。2将两个函数解析式联立得： 2 + + 4 = ( 2) ，去括号、移项得： 2 + 422 + 4 + 2 + = 0 ，合并同类项得： + ( ) + 4 + 2 + = 0 ，因为两个函2442数图象只有一个公共点，即方程有唯一解，故 = ( )2 4(4 + 2 + ) = 0 ，去括4号得：2 2 + 2 16 8 2 = 0 ，合并同类项得：(1 )2 (8 + 2) +2 16 = 0，因为要满足无论 取何值，该式都成立，则，由 得： = 1 ，代入 得： = 4 = 4 ，因为当 = 1 ， = 4 时， 16 = (4) 2216 = 0 成立。故 、 的值分别为 1 、 4 。故本题正确答案为B。8.【答案】B【解析】本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质。1项，直线 = 0 是 轴，抛物线 = 2 的顶点在 轴上，所以直线 = 0 与抛物41线 = 2 只有一个交点且与抛物线的对称轴 = 0 不平行，所以直线与抛物线相切。故4项正确。11项，因为抛物线 = 2 的顶点在 轴上，开口向上，抛物线 = 2 的对称轴为441 = 0 ，直线 = 2 与 = 0 平行，所以抛物线 = 2 与直线 = 2 不相切。故4项错误。11项，已知直线 = + 与抛物线 = 2 相切，所以方程 2 = + ，即441412 = 0只有一个根，所以 = (1) + 4 × = 1 + = 0 ，解得 = 1 ，把24 = 1 代入 1 2 = 0 中，解得 = 2 ，把 = 2 代入抛物线可得 = 1 ，所以41若直线 = + 与抛物线 = 2 相切，则相切于点 (2,1) 。故项正确。4 · 11项，已知直线 = 2 与抛物线 = 2 相切，所以方程 2 = 2 ，即44142 + 2 = 0只有一个根，所以 = 2 = 0 ，解得 = ±2 。故项错误。2综上所述，正确的命题有。故本题正确答案为B。9.【答案】A【解析】本题主要考查图形的旋转变换和二次函数 = ( )2 + 的图象和性质。根据题意，可得抛物线的顶点坐标不变，仍是 (3, 2) 。开口方向变为开口向下。根据旋转后图形的大小和形状不改变的性质，得抛物线解析式为 = 2( 3)2 2 = 2(2 6 + 9) 2 = 2 + 12 20 。2故本题正确答案为A。10.【答案】B【解析】本题主要考查二次函数 = 2 + + 的图象和性质。对于二次函数，若向上平移 个单位，即为 ；若向下平移 个单位，即为 + ；若向左平移 个单位，即为 + ；若向右平移 个单位，即为 。所以2向上平移 2 个单位，再向右平移1 个单位得 2 = ( 1 1) 1 ，2 = ( 1) 1即 = ( 2)2 + 1 ，所以B项正确。故本题正确答案为B项。11.【答案】D【解析】本题主要考查一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数 = 2 + + 的图象和性质。当 > 0 时，一次函数 = + 过第一、二、三象限，抛物线 = 2 + 2 + 2 开口向下，交 轴与正半轴，与对称轴 = 1 > 0 ，无选项符合；当 < 0 时，一次函数 = + 过第二、三、四象限，抛物线 = 2 + 2 + 2 开口向上，交 轴与正半轴，对称轴 = 1 < 0 ，D项符合。综上所述，符合题意的为选项D。故本题正确答案为D。12.【答案】A【解析】本题主要考查二次函数与一元二次方程。抛物线 = ( 2)2 + 3 1 与直线 = + 1 有两个不同的交点，即一元二次方程2存在两个不相等的实根。化简方程得： 2 (4 + 1) +( 2) + 3 1 = + 12，利用根的判别式2可知： (4 + 1) 4 × (4 +224 + 3 2 = 0 = 4 > 0 · 3 2) > 0 ，解不等式得： < 9 。又知抛物线 = 4 + 4 + 3 1对称轴224为 = 2 ，抛物线与直线的两个交点分别位于抛物线对称轴的两侧，故当 = 2 时，抛物线位于直线的下方，即 (2 2)2 + 3 1 < 2 + 1 ，解得 < 2 。综上， 的取值范围是 < 2 。故本题正确答案为A。二、填空题1.【答案】0 或 1【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质和一次函数的图象与性质。若函数为一次函数，即 = 0 ，则函数解析式为 = 2 1 ，故其图象与 轴仅有一个公共点；若函数为二次函数，即 0 ，要使其图象与 轴仅有一个公共点，则2时， = 2 + 4 = 0 ，解得 = 1 。2 + 2 1 = 0故本题正确答案为“ 0 或 1 ”。2.【答案】5【解析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的联系。由图可知，抛物线对称轴为 = = = 3 ，一元二次方程 2 6 + = 0 的解即622为二次函数 = 2 6 + 与 轴交点的横坐标。根据二次函数的对称性可知，1+21+2= 3 ，解得： = 5 。222故本题正确答案为 5 。3.【答案】 < 1 或 > 3【解析】本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质。由图可知， 2 + + > + 表示取相同的 值时， = 2 + + 对应的函数值大于 = + 对应的函数值，即二次函数图象在一次函数图象上方。由题意可知，两图象的交点为点 (1,0) 和 (3,2) ，所以 的取值范围为 < 1 或 > 3 。故本题正确答案为“ < 1 或 > 3 ”。4.【答案】6【解析】本题主要考查二次函数的应用。本题结合物理中的运动问题考查了二次函数，当小球抛出时高度为 0 ，回落到地面后高度仍为 0 ，则求所需时间只需令函数关系式等于 0 ，即 30 52 = 0 ，方程两边同时除以 5 得 6 2 = 0 ，分解因式得 (6 ) = 0 ，解得 = 0 ， = 6 。故所需时间12为 = 6s 。21 · 故本题正确答案为 6 。三、解答题1.【答案】0 = 1 + 0 = 25 + 5 + （1）把点 (1,0) 、 (5,0) 分别代入 = 2 + + ，得 ，解 = 4 = 5得 ；（2）由（1）得抛物线解析式为 = 2 + 4 + 5 ，即 = ( 2)2 + 9 ，得 (2,9) ，1因为 (1,0) 、 (5,0) ，所以 = 6 ，所以 = × 6 × 9 = 27 ；2（3）因为抛物线开口向下，所以在对称轴直线 = 2 的左侧 随着 的增大而增大，所以 < 。12【解析】本题主要考查二次函数 = 2 + + 的图象和性质。（1）将 、 两点代入解析式，可得二元一次方程组 0 = 1 + ，解得 = 4 = 5；0 = 25 + 5 + （2）因为 (1,0) 、(5,0) ，所以 = 6 且在 轴上，求得点 的纵坐标为 9 ，1所以 的 边对应的高为 9 ，所以 = × 6 × 9 = 27 ；2（3）因为 1 < 0 ，所以该函数图象开口向下，在对称轴左侧 随着 的增大而增大，所以 < 。122.【答案】（1）因为二次函数与 轴交于不同的两点，可知 2 + (1 2) + 1 3 = 0 有两个不等的实数根， = ， = 1 2 ， = 1 3 ，所以 = 2 4 = (1 2)2 12，化简得2，所以 ，又因为4(1 3) = 16 8 + 1 > 0 = (4 1) > 041 0 ，故 的取值范围是 且 0 。4（2）抛物线 = 2 + (1 2) + 1 3 = (2 2 3) + + 1 。因为抛物线一定经过一点 ，则抛物线的解析式与 无关，即 前的系数为 0 ，则 2 2 3 = 0 ，化简得 ( 3)( + 1) = 0 ，解得 = 1 ， = 3 。将 = 1 代入抛物线解析式121得到 = 1 + 1 = 0 ， = 3 代入抛物线解析式得到 = 3 + 1 = 4 ，所以抛物线一122定经过两个点，这两点坐标为 (1,0) ，(3,4) 。因为点 为非坐标轴上一点，故 (3,4) 。（3）设 、 两点的坐标为 ( ,0) 、( ,0) ，则 和 为 2 + (1 2) +121212131 3 = 0 的两根，根据韦达定理得 + = ， =。 = | 121221213 | = ( )2 = ( + )2 4 = ()2 4 121211 214+424+1222(41)2241141= = = | 。因为 < 8 ，所以 =。由4 · 141= 8 2(3,4) 得则 的 边上的高为 4 ，所以 = × 4 = 2 ×，214在< 8 范围内随 的增大而增大。故当 = 8 时，面积最大，231最大值为 8 =。84【解析】本题主要考查一元二次方程和二次函数的图象与性质。（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以 = 2 4 > 0 ，从而解得 的取值范围。（2）抛物线恒过的点，即一元二次方程 2 + (1 2) + 1 3 = 0 的解与 无关。将方程化为以 为自变量的函数，并使 的系数为零。解出 的值并代入一元二次函数求出 的值。（3）的底边为 的长度，高为点 的纵坐标。通过韦达定理，将面积化简为与 有关的函数，并进行求解。3.【答案】（1）若 = 1 ， = 4 ， = 10 ，此时抛物线的解析式为。因为 = 2 + 4 + 10 = ( + 2)2 + 6 ，所以抛物线的顶点 的坐标为 (2,6) 。因为点 (1, ) 、(0, ) 、(1, ) 在抛物线上，所以 = 15 ，15 = 10 ， = 7 ，所以= 5 。 107（2）如图所示，由 0 < 2 < ，得 = < 1 ，过点 作 轴于点 ，0112则 = ， = 1 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，则 = ，11 = 1 ，过点 作 / ，交抛物线于点 ( , ) ，交 轴于点 ( , 0) ，则121= 112 = ，所以 ，所以，即= 1 111= ，即 ，过点 作 于点 ，所以 ，所以21 1 ，因为点 (1, ) 、 (0, ) 、 (1, ) 、 ( , ) 在抛物线112上，得 = + + ， = ， = + ， = + + 1 12 = + + 2(+)( +) ，所以1= 1 ，化简得： + 2 = 0 ，解得：1 = 2 ，2 = 11 1 12(+)（舍去），因为 0 恒成立，根据题意得： < 1 ，则 1 1 ，即021211 3 ，所以的最小值为 3 。2 · 【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数与一元二次方程的联系。（1）将 ， ， 代入解析式，即可得到二次函数的解析式。将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标。将 = 1 、 = 0 和 = 1 分别代入解析式，即可求出、和 的值，代入并计算代数式的值即可。（2）根据 0 < 2 < ，求出 = < 1 ，作出图中辅助线：过点 作 轴012于点 ，则 = ， = 1 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，则111 = ， = 1 ，过点 作 / ，交抛物线于点 ( , ) ，交 轴于112点 ( ,0) ，根据三角形角角相等证明 ，得到= 1 21 12 ，再根据 得到 1 ，然后求出、 、 的1 表达式，然后因为 0 恒成立，从而利用不等式即可求出的最小值。0 4.【答案】（1）因为抛物线 = 2 + + 经过点 (1,0) 和点 (4,0) ，所以可得1 + + = 0， 得 3 = 15 ，未知数系数化为 1 得 = 5 ，代入24 + 4 + = 0 得 = 1 = 1 5 = 4 ，故 = 5 。所以抛物线的解析式为 = + 5 2 = 44 。55（2）将抛物线化为顶点式： = (2 5) 4 = 2 5 + ( )2 ( )2 422525594。故二次函数的对称轴为 = 5 ，顶点坐标为22= ( ) + 4 = ( ) +242259( , ) 。当 = 0 时， = + 5 4 = 42，所以 点坐标为 (0, 4) 。设直线 24 · 4 + = 0的解析式为 = + ，将 、 坐标代入可得 ，解得 = 1 ，所以 = 4 = 4直线 的解析式为 = 4 。当 = 5 时， = 4 = ，所以点 的坐标为532225393154( , ) 。 = ( ) =， = 4 1 = 3 ，因为 、 垂直，所以四边形2242111 的面积为 四边形 = + = + = ( +22211154458) = = × 3 ×=。22【解析】本题主要考查求二次函数的解析式和二次函数的应用。（1）根据点在函数上，用待定系数法求出二次函数的一次项系数和常数项，即可得到函数的解析式。（2）根据二次函数的图象和性质求出直线 的解析式，再分别求出四边形 四个点的坐标，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和求出四边形的面积即可。5.【答案】（1）由对称轴为 = 2 可得 = 2 ，解得 = 4 ，又因为 = 2 ，所以设 的21+2坐标为 ( , 0) ，设 的坐标为 ( , 0) ，则= 2 ， = 2 ，解得 = 1 ，2 1 1122 = 3 ，因此 坐标为 (1,0) ，将 (1,0) 代入 = 4 + 2得 0 = 1 4 + ，解得2 = 3 。故抛物线的函数表达式为 = 4 + 3 。2（2）如图所示，连接 、 ， 交对称轴于点 ，连接 。因为对称轴垂直平分 ，所以 = ，所以 + = + ，由两点间线段最短可知，此时 的周长取得最小值。在 中， = = 3 ， = 1 ，由勾股定理得 = 2 + 2 = 32 + 12 = 10 ，在 中， = 3 ， = 3 ，由勾股定理得 = 2 + 2 = 32 + 32 = 32 ，所以 周长的最小值为 + =10 + 32 。（3） (2, 1) 。【解析】本题主要考查求二次函数的解析式和二次函数的应用。（1）根据对称轴公式 = ，可以求出 的值，再根据 点坐标 (1,0) 可求出 的2 · 值，则可写出抛物线函数表达式。（2）根据对称轴是线段 垂直平分线的性质，可知当 + 的值