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辽宁省丹东市2020 届高三上学期期末教学质量监测试题数学（理）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合Ax|x22x3 0，B x|x 20，则ABA(1，2)B(2，3)C(3，1)D(，2)2复数z3i1i的模|z|A 1 B2 C2 D5 3某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中 A点表示 P产品 2 月份销售额约为20 万元，B点表示 Q产品 9 月份销售额约为 25 万元根据图中信息，下面统计结论错误的是A P产品的销售额极差较大BP产品销售额的中位数较大C Q产品的销售额平均值较大DQ产品的销售额波动较小4(1 2x2)(1 x)4的展开式中x3的系数为A 12 B16 C20 D24 5设a 0.60.6，b0.61.5，c 1.50.6，则a，b，c的大小关系是AabcBbcaCbacDcba6若 sin2cos，则 cos2sin2A125B95C1 D457已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为A6B3C23D568设，是两个平面，m，n是两条直线，下列命题错误的是A如果m，n，那么mnB如果，m，那么mC如果mn，m，n，那么D如果内有两条相交直线与平行，那么9甲乙两队进行排球决赛，赛制为 5 局 3 胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3:1获胜的概率为A316B14C38D1210下列函数中，其图象与函数ylg x的图象关于点(1，0)对称的是Aylg(1 x)Bylg(2 x)Cylog0.1(1 x)Dylog0.1(2 x)11关于函数f(x)|sinx|sin|x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间(2，0)单调递减f(x)在，有 4 个零点f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是ABCD12抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1 的直线与C交于A，B两点，若|AB|8，则pA12B1 C2 D4 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13已知函数f(x)在 R单调递减，且为奇函数，则满足f(x1)f(x3)0 的x的取值范围为14ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为a2b2c24，则A15设F为双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点，若|PQ|OF|，则C的渐近线方程为16已知正三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，AB3，异面直线AC1与BC所成角的余弦值为310，则AA1，球O的表面积为（本题第一空2 分，第二空3 分）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）设Sn是数列 an 的前n项和，且a1 1，an1SnSn1（1）证明：数列 1Sn 是等差数列；（2）求 an 的通项公式18（12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500 元，未售出的产品，每1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X(单位：t，100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，例如：若X100，110)，则取X105，且X 105 的概率等于需求量落入100，110）的概率求利润T的数学期望19（12 分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为 30，求PC与平面PAM所成角的正弦值20（12 分）已知圆O1：x2y2 2x7 0，动圆O2过定点F(1，0)且与圆O1相切，圆心O2的轨迹为曲线C（1）求C的方程；（2）设斜率为 1 的直线l交C于M，N两点，交y轴于D点，y轴交C于A，B两点，若|DM|DN|DA|DB|，求实数的值21（12 分）已知函数f(x)1x1xlnx（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：在(1，)上存在唯一的x0，使得曲线ylnx在xx0处的切线l也是曲线yex的切线（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点M(2，4)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos，（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且|MA|MB|40，求倾斜角的值23 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知a0，b0（1）证明：a3b3a2bab2；（2）若ab2，求a3b3的最小值一、选择题1 A 2 D 3B 4A 5C 6C 7 B 8 C 9A 10D 11A 12 C 二、填空题13(1，)143415yx164，28三、解答题：17解：（1）因为an1Sn1Sn，所以Sn1SnSnSn1两边同除以SnSn1得1Sn11Sn 1因为a1 1，所以1S1 1因此数列 1Sn 是首项为 1，公差为 1 的等差数列【以上教育部考试中心试题分析解法】（6 分）（2）由（1）得1Sn 1(n1)(1)n，Sn1n当n2 时，anSn1Sn1n(n1)于是an1，n1，1n(n1)，n2，N*（12 分）18解：【教育部考试中心试题分析解法】（1）当X100，130)时，T500X300(130 X)800X39000当X130，150 时，T500130 65000所以T800X39000，1 00X130，65000，130X150（4 分）（2）由（1）知T57000 元当且仅当120X150由直方图知X120，150 的频率为0.3 0.25 0.15 0.7，所以下一个销售季度内利润T不少于 57000 元的概率估计值为0.7（8 分）（3）依题意可得T的分布列为T45000 53000 61000 65000 P0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET4500 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4 59400（12 分）19解法 1：【教育部考试中心试题分析解法1】（1）因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以POAC，且PO23 连结OB因为ABBC22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB12AC2由OP2OB2PB2知POOB由POAC，POOB知PO平面ABC（4 分）（2）过C作平面PAM的垂线，垂足为E在平面PAM内过E作EDPA，垂足为D，连接CD，则PA平面CDE，于是CDPA所以CDE是二面角MPAC的平面角因为二面角MPAC为 30，所以CDE30在正三角形PAC中，CD23，所以CECD23所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3PC34（12 分）解法 2：【教育部考试中心试题分析解法2】（1）同解法1（2）在平面ABC内作MDAC，垂足为D，连接 OB 由（1）知PO平面ABC，故PO OB 又 AC OB，所以OB平面PAC，从而MD平面PAC在平面PAC内作DEPA，垂足为E，连接ME由DEPA，MDPA，得MEPA从而DEM是二面角MPAC的平面角因为二面角MPAC为 30，所以DEM30，于是DCDM33DE，DE32AD32(4 DC)解得DC43，AD83从而PAM面积为SPADcos30o12832323163设点C到平面PAM距离为d，用两种方法计算三棱锥CPAM的体积得1312443 2313163d，解得d3所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3PC34（12 分）解法 3：【教育部考试中心试题分析解法3】（1）同解法1（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，AP(0，2，23)取平面PAC的法向量为OB(2，0，0)设M(a，2a，0)(0a2)，则AM(a，4a，0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由APn0，AMn0 得2y23z 0，ax(4a)y0，可取n(3(a4)，3a，a)，所以 cosOB，n23(a4)23(a4)23 a 2a 2由已知得|cos OB，n|32，所以23(a4)23(a4)23 a 2a 232，解得a 4（舍去），a43，所以n(833，433，43)又PC(0，2，23)，所以 cosPC，n34所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34（12 分）20解：（1）圆O1的圆心为(1，0)，半径为22，点F在圆O1内，故圆O2与圆O1相内切设圆O2的半径为r，则|O2F|r，|O2O1|22r，从而|O2O1|O2F|22因为|FF|222，所以曲线C是以点F(1，0)，F(1，0)为焦点的椭圆由a2，c1，得b1，故C的方程为x22y21（6 分）（2）设l：yxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则D(0，t)，|DM|(x1 0)2(y1t)22|x1|，|DN|(x20)2(y2t)22|x2|yxt与x22y21 联立得 3x2 4tx2t220当 8(3 t2)0 时，即3t3时，x1x22t2 23（8 分）所以|DM|DN|2|x1x2|4|t21|3由（1）得A(0，1)，A(0，1)，所以|DA|DB|t1|t1|t2 1|等式|DM|DN|DA|DB|可化为4|t21|3|t21|当3t3且t 1 时，43当t 1 时，可以取任意实数综上，实数的值为43（12 分）21解：（1）f(x)定义域为(0，1)(1，)，f(x)x21x(1x)20因此f(x)在(0，1)单调递增，在(1，)单调递增（4 分）（2）曲线在ylnx在xx0处切线l的方程为y1 x0 xlnx01（6 分）设l与曲线yex相切于点(x1，e1x)，则e1x1 x0，e1x1 x0 x1lnx01消去x1得1x01x0lnx00，即f(x0)0于是当且仅当x0是f(x)的零点时，l是曲线yex的切线因为f(e)22e0，f(e2)3e21e20，f(x)在(1，)单调递增，所以f(x)在(1，)上存在唯一零点所以在(1，)上存在唯一的x0，使得曲线ylnx在xx0处的切线l也是曲线yex的切线（12 分）22解：（1）因为l的倾斜角为，l过点M(2，4)，所以直线l的参数方程是x 2tcos，y 4tsin(t是参数)因为sin22cos，所以2sin22cos，由cos x，sin y得曲线C的直角坐标方程是y22x（5 分）（2）把l的参数方程代入y22x，得t2sin2(2cos 8sin)t200当(2cos 8sin)280sin2时，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则|MA|MB|t1t2|20sin2由20sin24 0，0，0，得4（10 分）23解：（1）a3b3a2bab2a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)因为a0，b0，所以(ab)0，而(ab)20，所以(ab)2(ab)0于是a3b3a2bab2（5 分）（2）因为ab2，所以a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2)2(ab)23ab 86ab因为ab(ab2)21，当且仅当ab1 等号成立，所以86ab 2故当ab1 时，a3b3取最小值2（10 分）