(最新资料)山东省2020高考数学一轮考点扫描专题14导数的应用(2)-研究函数的极值与最值【含解析】.pdf

山东省 2020 年高考数学一轮考点扫描专题 14 导数的应用（2）研究函数的极值与最值一、【知识精讲】函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.二、【典例精练】考点一利用导数解决函数的极值问题角度 1 根据函数图象判断函数极值【例 11】已知函数f(x)在 R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1 x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D【解析】由题图可知，当x0；当 2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x 2处取得极大值，在x 2 处取得极小值.【解法小结】由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度 2 已知函数求极值【例 12】（2015 山东高考）设函数2ln1fxxa xx，其中aR.（）讨论函数fx极值点的个数，并说明理由；（）若0,0 xfx成立，求a的取值范围.【答案】（I）：当0a时，函数fx在1,上有唯一极值点；当809a时，函数fx在1,上无极值点；当89a时，函数fx在1,上有两个极值点；（II）a的取值范围是0,1.【解析】函数2ln1fxxa xx的定义域为1,2121211axaxafxaxaxx令221g xaxaxa，1,x（1）当0a时，10g x，0fx在1,上恒成立所以，函数fx在1,上单调递增无极值；（2）当0a时，28198aaaaa当809a时，0，0g x所以，0fx，函数fx在1,上单调递增无极值；当89a时，0设方程2210axaxa的两根为1212,(),x xxx因为1212xx所以，1211,44xx由110g可得：111,4x（3）当0a时，0由110g可得：11,x当21,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递增；当2,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递减；因此函数fx有一个极值点综上：当0a时，函数fx在1,上有唯一极值点；当809a时，函数fx在1,上无极值点；当89a时，函数fx在1,上有两个极值点；（II）由（I）知，（2）当819a时，由00g，得20 x所以，函数fx在0,上单调递增，又00f，所以，0,x时，0fx，符合题意；（3）当1a时，由00g，可得20 x所以20,xx时，函数fx单调递减；又00f所以，当20,xx时，0fx不符合题意；（4）当0a时，设ln1h xxx因为0,x时，11011xhxxx所以h x在0,上单调递增，因此当0,x时，00h xh即：ln1xx可得：221fxxa xxaxa x当11xa时，210axa x此时，0,fx不合题意.综上所述，a的取值范围是0,1【解法小结】运用导数求可导函数yf(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数yf(x)的定义域，再求其导数f(x)；(2)求方程f(x)0 的根；(3)检查导数f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度 3 已知函数的极(最)值求参数的取值【例 13】(2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；若f(x)在x 2处取得极小值，求a的取值范围.【解析】因为f(x)ax2(4a1)x4a 3ex，所以f(x)ax2(2a1)x 2ex.f(1)(1 a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e 0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为 1.f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a12，则当x1a，2 时，f(x)0.所以f(x)在x 2处取得极小值.若a12，则当x(0，2)时，x20，ax112x10.所以 2 不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是12，.【解法小结】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.考点二利用导数求函数的最值【例 2】（2018 全国卷 II）已知函数f（x）=exax2（1）若 a=1，证明：当x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【解析】证明：（1）当 a=1 时，函数f（x）=exx2则 f（x）=ex2x，令 g（x）=ex2x，则 g（x）=ex2，令 g（x）=0，得 x=ln2 当（0，ln2）时，h（x）0，当（ln2，+）时，h（x）0，h（x）h（ln2）=eln22?ln2=2 2ln2 0，f（x）在 0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一个零点?方程 exax2=0 在（0，+）只有一个根，?a=在（0，+）只有一个根，即函数 y=a 与 G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0 时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=【解法小结】1.利用导数求函数f(x)在 a，b 上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考点三利用导数求解最优化问题【例 3】在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60 米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为v1031(升)，在水底作业10 个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式；(2)若cv15(c0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.【解析】(1)由题意，下潜用时60v(单位时间)，用氧量为v103160v3v25060v(升)，水底作业时的用氧量为100.9 9(升)，返回水面用时60v2120v(单位时间)，用氧量为120v1.5 180v(升)，因此总用氧量y3v250240v9(v0).(2)y6v50240v23（v32 000）25v2，令y 0得v 1032，当 0v1032时，y1032时，y0，函数单调递增.若c1032，函数在(c，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，当v1032时，总用氧量最少.若c1032，则y在c，15 上单调递增，当vc时，这时总用氧量最少.【解法小结】1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【思维升华】1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.【易错注意点】1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.三、【名校新题】1.(2019 辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)x33x1，在区间 3,2 上的最大值为M，最小值为N，则MN()A 20 B18 C 3 D 0【答案】A【解析】f(x)3x23 3(x1)(x1)，f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减，又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，M1，N 19，MN1(19)20.2.(2019湖北襄阳四校联考)函数f(x)12x2xln x3x的极值点一定在区间()A(0,1)内 B(1,2)内C(2,3)内 D(3,4)内【答案】B【解析】函数的极值点即导函数的零点，f(x)xln x13xln x2，则f(1)10，由零点存在性定理得f(x)的零点在(1,2)内，故选B.3.(2019 皖南八校联考)已知函数f(x)13x3bx2cxbc在x1 处有极值43，则b()A 1 B 1 C 1或 1 D 1 或 3【答案】A【解析】f(x)x22bxc，因为f(x)在x1 处有极值43，所以f1 12bc0，f113bcbc43，4b24c0，解得b 1，c3，故选 A.4.(2019广州高中综合测试)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1 处的极值为10，则数对(a，b)为()A(3,3)B(11,4)C(4，11)D(3,3)或(4，11)【答案】C【解析】f(x)3x2 2axb，依题意可得f10，f110，即32ab0，1aba210，消去b可得a2a120，解得a 3或a4，故a 3，b3或a4，b 11.当a 3，b3时，f(x)3x26x 33(x1)20，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.5.(2019 安庆二模)已知函数f(x)2ef(e)ln xxe(e 是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A.2e 1 B.1eC.1 D.2ln 2【答案】D【解析】由题意知，f(x)2ef（e）x1e，f(e)2f(e)1e，则f(e)1e.因此f(x)2x1e，令f(x)0，得x2e.f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，)上单调递减.f(x)在x2e 处取极大值f(2e)2ln(2e)2 2ln 2.6.(2019 郑州质检)若函数yf(x)存在n1(nN*)个极值点，则称yf(x)为n折函数，例如f(x)x2为 2 折函数.已知函数f(x)(x1)exx(x2)2，则f(x)为()A.2 折函数B.3 折函数C.4 折函数D.5 折函数【答案】C【解析】f(x)(x2)ex(x 2)(3x 2)(x2)(ex3x2)，令f(x)0，得x 2 或ex 3x2.易知x 2 是f(x)的一个极值点，又 ex3x2，结合函数图象，yex与y3x2 有两个交点.又 e23(2)2 4.函数yf(x)有 3 个极值点，则f(x)为 4 折函数.7.(2019 江西阶段性检测)已知函数yax1x2在x 1 处取得极值，则a_.【答案】2 因为ya2x3，所以当x 1 时，a20，所以a2，经验证，可得函数y2x1x2在x 1处取得极值，因此a2.8.(2019“超级全能生”高考全国卷26 省联考)已知函数f(x)t3x332x22xt在区间(0，)上既有极大值又有极小值，则t的取值范围是 _【答案】0，98【解析】f(x)tx23x 2，由题意可得f(x)0 在(0，)上有两个不等实根，即tx23x20 在(0，)有两个不等实根，所以t0，3t0，2t0，98t0，解得 0t98.9.若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是 _.【答案】1，32【解析】因为f(x)的定义域为(0，)，又因为f(x)4x1x，所以由f(x)0 解得x12，由题意得k 112k 1，k10，解得 1k0，当t(2，8)时，V(t)0).当a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0 时，当x 0，1a时，f(x)0，当x1a，时，f(x)0 时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x1a.12.(201 8天津卷选编)设函数f(x)(xt1)(xt2)(xt3)，其中t1，t2，t3R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.(1)若t20，d1，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若d3，求f(x)的极值.【解析】(1)由已知，得f(x)x(x1)(x1)x3x，故f(x)3x21.因此f(0)0，f(0)1，又因为曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0)，故所求切线方程为xy0.(2)由已知得f(x)(xt23)(xt2)(xt23)(xt2)3 9(xt2)x33t2x2(3t229)xt329t2.故f(x)3x26t2x3t229.令f(x)0，解得xt23，或xt23.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极大值为f(t23)(3)39(3)63；函数f(x)的极小值为f(t23)(3)393 63.13.设f(x)xln xax2(2a 1)x(常数a0).(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1 处取得极大值，求实数a的取值范围.【解析】(1)由f(x)ln x 2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，).所以g(x)1x2a1 2axx.又a0，当x 0，12a时，g(x)0，函数g(x)单调递增，当x12a，时，g(x)0，函数g(x)单调递减.函数yg(x)的单调递增区间为0，12a，单调递减区间为12a，.(2)由(1)知，f(1)0.当 0a1，由(1)知f(x)在 0，12a内单调递增，可得当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在1，12a内单调递增.所以f(x)在x 1处取得极小值，不合题意.当a12时，12a1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意.当a12时，012a0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减.所以f(x)在x 1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为12，14.(2019广东五校联考)已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a 1 时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e 上的最大值为3，求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a 1 时，f(x)xln x，f(x)11x1xx，令f(x)0，得x1.当 0 x0；当x1 时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当a 1 时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a1x，x(0，e，1x1e，.若a1e，则f(x)0，从而f(x)在(0，e 上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意.若a0 得a1x0，结合x(0，e，解得 0 x1a；令f(x)0 得a1x0，结合x(0，e，解得1axe.从而f(x)在 0，1a上为增函数，在1a，e 上为减函数，f(x)maxf1a 1ln1a.令 1 ln 1a 3，得 ln1a 2，即a e2.e21e，a e2为所求.故实数a的值为 e2.15.(2019合肥质检)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，2上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)excos xx，f(0)1，f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y10(x0)，即y1.(2)f(x)ex(cos xsin x)1，令g(x)f(x)，则g(x)2exsin x0 在 0，2上恒成立，且仅在x0 处等号成立，g(x)在 0，2上单调递减，g(x)g(0)0，f(x)0 且仅在x0 处等号成立，f(x)在 0，2上单调递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf22.16（2019 年荆州市高三八校联考）已知函数ln()xu xx，不等式1111pxpx对(0,)x恒成立（1）求函数()u x的极值和函数()u x的图象在点(1,(1)u处的切线方程；（2）求实数p的取值的集合T；（3）设0pT，函数02()logpmfxmxxx，22()eg xx，其中e为自然对数的底数，若关于x的不等式4()2()0mg xf xmxx至少有一个解01,6x，求m的取值范围【解析】（1）21ln()xu xx，则(0,)xe时，()0,(,)u xxe时，()0,u x故()u x在(0,)e递增，在(,)e递减，故1()(),u xu ee极大值不存在极小值；又(1)1,(1)0uu，故函数()u x的图象在点(1,(1)u处的切线方程为：1yx（2）显然，0p不合题意。当0p时，由1111pxpx得11ln 11lnppxx，则有1ln 1ln11pxpx，故依题意知1ln 1ln11pxpx对(0,)x恒成立由前面的结论知，当11ex时，1ln 111xx取得最大值1e，故1lnpep又可知，当pe时，ln pp取得最大值1e，故1lnpep故1ln pep，综上得pe（3）设4()()2()mh xg xfxmxx则22()2lnemh xmxxxx当0m时，2121,6,0,2ln0mexmxm xxxxx，所以不存在0 x1,6使得0()0h x成立故0m不合题意。当0m时，2222222222()+emmxmxeh xmxxxx因为2221,6,222(6)0,0 xxeemxm，所以()0h x在1,6恒成立，故()h x在1,6单调递减，2min()662ln 636emh xhm，则依题意有262ln 6036emm解之得2212ln 635em故m的取值范围2212ln 6,35e