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广东省广州市天河区2020 届高三 10 月一模考试试题数学（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合2|60Ax xx，集合|1 Bx x，则()RC ABA.3)，B.(1 3，C.(1 3)，D.(3)，【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,再求RC A和RC AB.【详解】由题得A=x|-2x0,31x，进而得到结果.【详解】已知11ln202xln,122xe=10,1e,33lnxex0,31x进而得到123xxx.故答案为：A.【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0 的关系.7.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数1 9的一种方法 例如：3 可表示为“”，26 可表示为“”现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1 9这 9 数字表示两位数的个数为()A.13 B.14 C.15 D.16【答案】D【解析】【分析】6 根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案。【详解】根据题意，现有6 根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7 中，每组可以表示2 个两位数，则可以表示2714个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1 个两位数，则可以表示2 12个两位数；则一共可以表示14216 个两位数；故选：D【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意。8.在矩形ABCD中，3,4,ABADAC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为E，则AE EC（）A.725B.14425C.125D.1225【答案】B【解析】【分析】通过线性运算将AE EC变为AE EOAE AO，由垂直关系可知0AE EO；由数量积定义可求得14425AE AO，代入AE EC得到结果.【详解】如图：由3AB，4AD得：9165BD，125AB ADAEBD又AE ECAEEOOCAE EOAE OCAE EOAE AOAEBD0AE EO又2144cos25AEAE AOAE AOEAOAE AOAEAO14425AE EC本题正确选项：B【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.9.函数2()1 sin1xf xxe图象的大致形状是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用1f的值的符号进行排除即可【详解】211 sinsin11xxxefxxxee则111sinsinsin111xxxxxxeeefxxxxfxeee则fx是偶函数，图象关于y轴对称，排除,B D当1x时，11sin101efe，排除A本题正确选项：C【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键10.2 位男生和3 位女生共5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A.36 B.24 C.72 D.144【答案】C【解析】【分析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法。【详解】根据题意，把3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到 2 位男生全排列后形成的3 个空中的2 个空中，故有22232372A A A种，故选：C【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题11.已知函数sin26fxx，若方程35fx的解为1x，2x（120 xx），则12sin xx（）A.35B.45C.23D.33【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定12sin xx的值.【详解】函数sin 26fxx的对称轴满足：262xkkZ，即23kxkZ，令0k可得函数在区间0,上的一条对称轴为3x，结合三角函数的对称性可知1223xx，则：1223xx，122222sinsin2sin2cos 2336xxxxx，由题意：23sin265x，且120 xx，故12712312xx，2226x，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数f（x）（k4k）lnx 24xx，k4，），曲线 yf（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线yf（x）在 M，N两点处的切线互相平行，则x1x2的取值范围为A.（85，）B.（165，）C.85，）D.165，）【答案】B【解析】【分析】利用过 M、N点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x1+x2的取值范围【详解】由题得f（x）=4kkx24x1=2244xkxkx=24xkxkx，（x0，k0）由题意，可得f（x1）=f（x2）（x1，x20，且 x1x2），即21144kkxx 1=24kkx224x1，化简得 4（x1+x2）=（k+4k）x1x2，而 x1x2212()2xx，4（x1+x2）（k+4k）212()2xx，即 x1+x2164kk对 k 4，+）恒成立，令 g（k）=k+4k，则 g（k）=124k=222kkk0 对 k4，+）恒成立，g（k）g（4）=5，164kk165，x1+x2165，故 x1+x2的取值范围为（165，+）.故答案为：B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，满分20 分13.已知数列na满足11a，111(*,2)nnaaanNn，则当1n时，na_【答案】12n【解析】【分析】用1n去换111(*,2)nnaaanNn中的n得到+111nnaaa，再做差即可得到数列na为等比数列，即可得出答案。【详解】数列na满足11a，111nnaaa*(nN，2)n，用1n去换n得到+111nnaaa，-得到+1+122nnnnnaaaaan，又11a，22a，所以数列na为以 1 为首项，2为公比的等比数列即12nna故答案为：12n【点睛】本题考查根据递推公式求通项，属于基础题。14.设当x时，函数()sin3cosf xxx取得最大值，则tan()4_【答案】23【解析】【分析】利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案。【详解】()sin3 cos2sin()3f xxxx；当x时，函数()f x 取得最大值2,32kkz；26k，kz；313tan()tan(2)tan()2346446313k故答案为：23【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题。15.已知322fxxaxbxa在1x处有极小值为10,求ab _.【答案】15【解析】函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2f（x）=3x2+2ax+b，又函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处有极值10，(1)043(1)10113faafbb或当 a=4，b=11 时，11()3()(1)3fxxx，f（x）在1111(,),133在（1，+）f（x）在 x=1 处取得极小值f（1）=10；当 a=3，b=3 时，f（x）=3（x1）20，f（x）在 R上单增，无极值a=4，b=11；且 f（1）=10 是极小值此时15.ab故答案为：15.点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b 的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，通过解方程组，可以求出两组满足条件的a，b 的值，其中一组可导致f（x）在 R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点16.在三棱锥SABC中，2SBSCABBCAC，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥SABC外接球的表面积是_【答案】203【解析】【分析】由于ABC与SBC都为正三角形，故过ABC与SBC的中心做两个面的垂线的交点即为三棱锥SABC的外接球球心。【详解】如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD设E为ABC的中心，F为SBC的中心,O为三棱锥SABC外接球的球心连接OE，OF，OA则OA为棱锥SABC外接球的半径OEDF为矩形22221(3)2153(33)3EAOAOE三棱锥SABC外接球的表面积2153204()3故答案为：203【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，属于中档题。三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.在锐角ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，且3cos2sin()102AA(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积3 3S，3b,求sinC的值【答案】(1)3A(2)2 39sin13C【解析】【分析】(1)利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式，从而可得A的值.(2)先求c，再利用余弦定理求出a，最后利用正弦定理求出sinC.【详解】(1)3cos2sin()102AA,cos2cos10AA，可得22coscos0AA，解得1cos2A，或cos0A.ABC为锐角三角形，1cos2A，3A(2)113sin3 3222ABCSbcAbc，可得12bc.又3b,可得4c.在ABC中，由余弦定理可知，22212cos169243132abcbcA，13a.在ABC中，由正弦定理可知sinsinacAC,34sin2 392sin1313cACa.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18.在等比数列na中，公比(0,1)q，且满足42a，232637225aa aa a（1）求数列na的通项公式；（2）设2lognnba，数列nb的前n项和为nS，当312123nSSSSn取最大值时，求n的值【答案】（1）52nna（2）n的值为 8 或 9【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质化简2635a aa a，2375a aa，联立42a即可解出答案（2）根据52nna写出5nbn，求出292nnnS，写出92nSnn，再求出其前n项的和，判断即可。【详解】（1）232637225aa aa a，可得22233 55352()25aa aaaa，由42a，即312a q，由01q，可得10a，0na，可得355aa，即24115a qa q，由解得1(22q舍去），116a，则15116()22nnna；（2）22loglog 2nnba55nn，可得219(45)22nnnSnn，92nSnn，则127941222nSSSnn221917117289(4)()2244216nnnnn，可得8n或 9 时，1212nSSSn取最大值18则n的值为 8 或 9【点睛】本题考查等比数列，等差数列前n项和的最值问题，属于基础题。19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4 33的菱形，60BCD，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，/EFAB，FBFC，2 33EF.（1）求证：OE平面ABCD；（2）若FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)3 1313【解析】【分析】（1）可证FHBC，再利用平面FBC平面ABCD证得FH平面ABCD，通过证明/OEFH，可得要求证的线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ的法向量和平面ABC的一个法向量后可求二面角QBCA的余弦值.【详解】（1）证明：取BC的中点H，连结OH、FH、OE，因为FBFC，所以FHBC，因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，FH平面FBC，所以FH平面ABCD，因为H、O分别为BC、AC的中点，所以/OHAB且12 323OHAB.又/EFAB，2 33EF，所以/EFOH，所以四边形OEFH为平行四边形，所以/OEFH，所以OE平面ABCD.（2）解：因为菱形ABCD，所以2OAOCOEFH.所以OA，OB，OE两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则(2,0,0)A，2 3(0,0)3B，(2,0,0)C，(0,0,2)E，所以(1,0,1)Q，所以2 3(2,0)3BC，(3,0,1)CQ，设平面BCQ的法向量为(,)mx y z，由00BC mCQ m得2 320330 xyxz，取1x，可得(1,3,3)m，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n，设二面角QBCA的平面角为，则33 13cos131139m nm n，因为二面角QBCA的平面角为锐角，所以二面角QBCA的余弦值为3 1313.【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.某种规格的矩形瓷砖(600600)mmmm 根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量()x kg都服从正态分布2(,)N，并把质量在(3,3)uu之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品（）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10 片进行检查，求至少有1 片是废品的概率；（）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为()a mm、()b mm，则“尺寸误差”()mm 为|600|600|ab，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2、0.2，0.5、0.5，1.0（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5 元、6.5 元、5.0 元现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100 片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：尺寸误差0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数10 30 30 5 10 5 10（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率（）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元)，求的分布列及数学期望()E（）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5 片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36 元的概率附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.9974pZ；100.99740.9743，40.80.4096，580.32768【答案】（）0.0257（）（）详见解析（）0.73728【解析】【分析】（）先计算出这10 片质量全都在(3,3)uu之内（即没有废品）的概率，再用1 减之。（）（）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由图得到得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；再计算出其分布列与期望即可。（）若 5 片中有n片“优等”品，则7.56.5(5)36nn，得到3.5n，则n取 4 或 5；再计算即可得出答案。【详解】（）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(3,3)uu之内的概率为0.9974，则这 10片质量全都在(3,3)uu之内（即没有废品）的概率为100.99740.9743；则这 10 片中至少有1 片是废品的概率为10.97430.0257；（）（）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；则的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10 元；计算(15)0.70.70.49P，(14)0.70.220.28P，(12.5)0.70.120.14P，(13)0.20.20.04P，(11.5)0.20.120.04P，(10)0.10.10.01P，得到的分布列如下：15 14 13 12.5 11.5 10 P0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01 数学期望为()150.49140.28130.0412.50.1411.50.04100.01E7.353.920.521.750.460.114.1（元)；（）设乙陶瓷厂5 片该规格的正品瓷砖中有n片“优等”品，则有5n 片“一级”品，由已知 7.56.5(5)36nn，解得3.5n，则n取 4 或 5；故所求的概率为44550.80.20.8PC0.40960.327680.73728【点睛】本题考查正态分布，分布列，数学期望，属于基础题。21.已知函数ln1afxxxa aRx.（1）求函数fx的单调区间；（2）若存在1x，使1xfxxx成立，求整数a的最小值.【答案】（1）见解析（2）5.【解析】试 题 分 析：(1)求 导，分 类 讨 论110 044aaa、时 三 种 情 况 的 单 调 性(2)分 离 含 参 量ln211xxxax，构造新函数，ln211x xxg xx，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，0 x，22211axxafxxxx，方程20 xxa对应的1 4a，当140a，即14a时，当0,x时，0fx，fx在0,上单调递减；当104a时，方程20 xxa的两根为1142a，且11402a1142a，此时，fx在1141+1422aa（，）上0fx，函数fx单调递增，在1141140,22aa（，），上0fx，函数fx单调递减；当0a时，11402a，11402a，此时当1140,02axfx，fx单调递增，当114,2ax时，0fx，fx单调递减；综上：当0a时，1140,2ax，fx单调递增，当114,2ax时，fx单调递减；当104a时，fx在1141+1422aa（，）上单调递增，在1141140,22aa（，），上单调递减；当14a时，fx在0,上单调递减；（2）原式等价于1ln21xax xx，即存在1x，使ln211x xxax成立设ln211xxxg xx，1x，则2ln21xxgxx，设ln2h xxx，则1110 xhxxx，h x在1,上单调递增又33ln321ln3 0,44ln4222ln2 0hh，根据零点存在性定理，可知h x在1,上有唯一零点，设该零点为0 x，则03,4x，且000ln20h xxx，即002lnxx，0000min0ln2111xxxg xxx由题意可知01ax，又03,4x，aZ，a的最小值为5.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果。（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos3sinsin3 cosxy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos26.（）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（）直线l与y轴交点为P，经过点P的直线与曲线C交于A，B两点，证明：PAPB为定值.【答案】（）曲线C：224xy.l的直角坐标方程为340 xy.（）见证明【解析】【分析】（）根据曲线的参数方程，平方相加，即可求得曲线C普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可得到直线的直角坐标方程（）设过点P的直线方程为cos4sinxtyt（t为参数），代入曲线的普通方程，根据参数的几何意义，即可求解【详解】（）由题意，可得2222cos3sinsin3 cos4xy，化简得曲线C：224xy.直线l的极坐标方程展开为31cossin222，故l的直角坐标方程为340 xy.（）显然P的坐标为0,4，不妨设过点P的直线方程为cos4sinxtyt（t为参数），代入C：224xy得28 sin120tt，所以1 212PAPBt t为定值.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题23.已知函数()12()f xxxmmR.（1）若2m时，解不等式()3fx；（2）若关于x的不等式()23f xx在0,1x上有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）4|03xx；（2）32m.【解析】试题分析：（1）当2m时，不等式为1223xx，根据分类讨论解不等式即可（2）由题意可得当0,1x时，22xmx有解，即2230,1xmxx在上有解，故只需（minmax2)23xmx，由此可得结论试题解析：（1）当2m时，不等式1223xx，若1x，则原不等式可化为412233xxx，解得，所以413x；若11x，则原不等式可化为12230 xxx，解得，所以10 x；若1x，则原不等式可化为212233xxx，解得，所以x综上不等式的解集为4|03xx（2）当0,1x时，由23fxx，得1232xxmx即22xmx故222223xxmxxmx，解得，又由题意知（minmax2)23xmx，所以32m故实数 m的取值范围为3,2