补充材料空间向量在立体几何解题中的应用讲座(教师).doc

戴氏教育簇桥校区 空间向量在立体几何解题中的应用 授课老师:唐老师空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1空间向量的坐标运算(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当与i方向相同时，x>0，反之x<0同理确定y、z点P的坐标与坐标相同(2)向量的直角坐标运算设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3，abÛa1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(lÎR )或，abÛa1b1+a2b2+a3b3=0(3)夹角和距离公式夹角公式cos<a，b>=距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|=定比分点公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则若M分为定比l(l-1)，则M的坐标为x=，y=，z=，特别地，当l=1即M为中点时得中点坐标公式：x=，y=，z=由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心公式：x=，y=，z=2平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作aa平面的法向量：如果aa，那么向量a叫做平面a的法向量一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量n=(x，y，z)或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)，在平面a内任选定两个不共线的向量a，b由na，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到nzA1yxAC1BCD1B1D图1例1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0分析：建立空间直角坐标系，如图1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，得=(1，0，1)，=(0，1，1)设平面A1C1D的法向量n=(x，y，1)由n面A1C1D，得n，n有，得n=(-1，-1，1)，n0=二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1异面直线所成的角设点A，BÎ直线a，C，DÎ直线b，构造向量，cos<，>=，<，>所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角例2在例1中，设ACBD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值分析：=(，-1)，=(0，1，1)cos<，>=，异面直线D1O，DC1所成的角为arccos2线面所成的角jqanBA如图，AB为平面的斜线，n为平面a的法向量，如果与n之间所成的角j为锐角，则斜线AB与平面a之间所成的角q=-j即利用向量与n求出的是角j，实际上所求的角是q若j为锐角，则q=-j，sinq=cosj；若j为钝角，则q=-(p-j)=j-，sinq=-cosj总之有，sinq=|cos<，n>|=zxBA1yEFB1C1D1DCA图2例3. 在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求A1D与平面EFBD所成的角分析：(1)E(0，1)，F(，1，1)，=(1，1，0)，=(，0)，又=2，DBEF，故E、F、B、D共面(2)设平面EFBD的法向量n=(x，y，1)得=(0，1)，=(1，0，1)，n面EFBD，得n，n有，得，n=(2，-2，1)，sinq=，即q=3二面角的求法l二面角alb，平面a的法向量m，平面b的法向量n则二面角alb的平面角q=<m，n>所以，cos<m，n>=若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则<m，n>为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则<m，n>为二面角的平面角zA1yxAC1BCD1B1D图1例4. 在例1中，求二面角D1ACD的大小的余弦值分析：易知，平面ACD1的法向量是n1=(1，1，1)，平面DAC的法向量是n2=(0，0，1)，设二面角D1ACD的大小为q，则cosq=，得q=arcsin(二)空间距离点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离1点到面的距离设A是平面a外一点，AB是a的一条斜线，交平面a于点B，而n是平面a的法向量，那么向量在n方向上的正射影长就是点A到平面a的距离h，qAaBh所以h=zA1yxAC1BCD1B1D图1例5. 例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AGC1H的距离分析：A(1，0，0)，H(0，0)，G(1，1)，=(0，1)，=(-1，0)设面AGC1H的法向量为n=(1，l，m)，则有：n·=0，n·=0，n=(1，2，-1)，又=(0，1，0)，所以点B到截面AGC1H的距离为练习：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离解析：平面ACD1的单位法向量n0=(，)，又=(0，0，1)，设点A1到平面ACD1的距离为d，则d=|·n0|=|(0，0，1)·(，)|=所以，点A1到平面ACD1的距离为2异面直线间的距离如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点令向量na，nb，则nABCD图3=+，×n=×n+×n+×n，×n=×n，|×n|=|×|n|，|=两异面直线a、b间的距离为：d=其中n与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点另外：假设异面直线a、b，平移直线a至a且交b于点A，那么直线a和b确定平面a，且直线aa，设n是平面a的法向量，那么na，nb所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面a的距离例6在例1中，求直线DA1和AC间的距离分析：=(-1，1，0)，=(1，0，1)设DA1和AC公垂线段上的向量为n=(x，y，z)，由，可取n=(1，1，-1)，又=(0，0，1)，所以点A到平面A1C1D的距离为h=，即直线DA1和AC间的距离为ABCDOS图4练习如图4，正四棱锥SABCD的高SO=2，底边长AB=，求异面直线BD和SC之间的距离分析：建立如图所示的直角坐标系，则A(，-，0)，B(，0)，C(-，0)，D(-，-，0)，S(0，0，2)=(，0)，=(，-，2)令向量n=(x，y，1)，且n，n，则，n=(-，1)异面直线BD和SC之间的距离为：d=zyxFCBEAA1B1C1D1D例7长方体ABCDA1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求(1)异面直线D1F与B1E所成角大小的余弦值；(2)二面角D1AED大小的余弦值；(3)异面直线B1E与D1F的距离分析：建立空间直角坐标系ABDA1，则(1)=(2，0，-3)，=(0，2，-6)，cos<，>=，异面直线D1F与B1E所成的角为arccos (2)显然平面AED的一个法向量为=(0，0，6)，设平面AED1的一个法向量为n=(x，y，1)，且n，n，则，=(2，2，0)，=(0，4，6)，n=(，-，1)cos<，n>q=，得q=arccos二面角D1AED的大小为arccos(3)令向量m=(x，y，1)，且m，m，则，m=(，3，1)异面直线B1E与D1F之间的距离为：d=3线面距离直线a与平面a平行时，直线上任意一点A到平面a的距离就是直线a与平面a之间的距离其求法与点到面的距离求法相同例8在例1中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，(1)求证：平面A1PQ平面B1RC；(2)求平面A1PQ与平面B1RC间的距离分析：(1)=(-1，1，0)，=(-1，0，-1)，=(-1，0，-1)，QyPRxzD1C1B1A1CDBA=(0，-1，-1)，设，(l、m、nÎR，且均不为0)设n1、n2分别是平面A1PQ与平面B1RC的法向量，由即即，可解得：n1=(1，1，-1)，由即即，可解得n2=(-1，1，-1)，所以n1=-n2，n1n2，所以平面A1PQ平面B1RC注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用n1n2Ûn1·n2=0来证明分析：(2)A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，=(1，0，1)，=(0，0，1)，=(1，0，0)，将平面AB1C与平面A1C1D间的距离转化成点A到平面A1C1D的距离设平面A1C1D的一个法向量n=(x，y，1)，则，即，n=(-1，-1，1)平面AB1C与平面A1C1D间的距离d=A1C1B1BACD例9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BC(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；(2)求二面角B1ADB的大小；(3)求三棱锥C1ABB1的体积分析：由题设知，AD，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系A1DCA1，则A(0，0，0)，B(，0)，C(0，3，0)，D(3，0，0)，B1(，)，C1(0，3，)(1)可求得平面AB1D的一个法向量为n=(0，-1)直线BC1与平面AB1D之间的距离为d=(2)平面ABD的一个法向量为=(0，0，)，cos<，n>=，二面角B1ADB的大小为arccos(3)取AB中点M(，0)，则=(-，0)是平面ABB1的一个法向量，点C到平面ABB1的距离为h=1，又SABB1=，三棱锥C1ABB1的体积为4平面与平面间的距离平面a与平面b平行时，其中一个平面a上任意一点到平面b的距离就是平面a与平面b间的距离其求法与点到面的距离求法相同用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题图8ABCDNPM例10如图8，已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，AD=a，M、N分别是AD、PB的中点求证：平面MNC平面PBC证明：建立空间直角坐标系DACP，则P(0，0，a)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(a，0，0)，N(a，)=(a，a，-a)，=(-a，0，0)，=(a，-)，=(-a，a，0)，设n1=(x，y，1)为平面PBC的法向量，则n1·=0，n1·=0，解之得:，n1=(0，1，1)同理可求平面MNC的一个法向量：n2=(-，-1，1)，而n1·n2=0-1+1=0，n1n2，故平面PBC平面MNC若ab，则；反之也成立若ab，则；反之也成立(三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等若两平面a、b的法向量分别为n1、n2，则(1)当n1·n2=0时，平面a平面b；(2)当n1=ln2，即它们共线时，平面a平面b若平面a的一法向量为n，直线AB在平面a外，则(1)当n·=0时，AB平面a；(2)当n=l，即它们共线时，AB平面aAB平面a内的两条相交直线，则AB平面a利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正(长)方体、直棱柱、正棱锥等事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深AB1C1ABCDEFKD1练习：1如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点(1)求二面角BFB1E的大小；(2)求点D到平面B1EF的距离；(3)在棱DD1上能否找一个点M，使BM平面EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由2如图，四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，DAB=ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，侧棱SA底面ABCD，SA=a(1)证明四棱锥SABCD的四个侧面都是直角三角形；(2)求点C到平面SBD的距离答案与提示：1(1)arccos；(2)a；(3)当M为DD1的中点时，BM平面EFB12(1)略；(2)四、利用法向量解立体几何试题纵观近几年全国各地高考试卷，立体几何试题基本保持了相对稳定，一般有1至2道选择题或填空题，1道解答题，且大多为中等难度或容易题1如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1()证明：AB=AC；()设二面角ABDC为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小ACBA1B1C1DE解法二：()建立空间直角坐标系ABCA1设B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，则B1(1，0，2c)，E(，c)于是=(，0)，=(-1，b，0)由DE平面BCC1知DEBC，=0，求得b=1，所以AB=AC()设平面BCD的法向量=(x，y，z)，则=0，=0又=(-1，1，0)，=(-1，0，c)，故令x=1，则y=1，z=，=(1，1，)又平面ABD的法向量=(0，1，0)，由二面角ABDC为60°知，<，>=60°，故·cos60°，求得c=于是=(1，1，)，=(1，-1，)，cos<，>=，<，>=60°所以B1C与平面BCD所成的角为30°2xMSDCzABy如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，ABM=60°()证明：M在侧棱SC的中点；()求二面角SAMB的大小分析：()分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A(，0，0)，B(，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)()设M(0，a，b)(a>0，b>0)，则=(0，-2，0)，=(-，a-2，b)，=(0，a，b-2)，=(0，2，-2)，由题得，即，解这个方程组得a=1，b=1，即M(0，1，1)所以M是侧棱SC的中点法2：设，则M(0，)，=(，)又=(0，2，0)，<，>=60°，故，即，解得l=1，所以M是侧棱SC的中点()由()得M(0，1，1)，=(，-1，-1)，又=(-，0，2)，=(0，2，0)，设n1=(x1，y1，z1)，n2=(x2，y2，z2)分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令x1=x2=得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即n1=(，1，1)，n2=(，0，2)cos<n1，n2>=，二面角SAMB的大小p-arccos3如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60°，BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC()求证：BC平面PAC；()当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；()是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由分析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，设PA=2，由已知得A(0，0，0)，B(-1，0)，C(0，0)，P(0，0，2)()=(0，0，2)，=(1，0，0)，=0，BCAP又BCA=90°，BCAC，BC平面PAC()D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，D(-，1)，E(0，1)，由()知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点EDAE是AD与平面PAC所成的角，=(-，1)，=(0，1)，cosDAE=，AD与平面PAC所成的角的大小arccos ()AEBC，又由()知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AEÌ平面PAC，PEÌ平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角，PA底面ABC，PAAC，PAC=90°在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP=90°，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角4如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点()求证：ACSD；()若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；()在()的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由SBPDCA分析：()连BD，设ACBD=O，由题意知SO平面ABCD以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz不妨设底面边长为，则高SO=于是S(0，0，)，D(-1，0，0)，C(0，1，0)，=(0，1，0)，=(-1，0，-)，=0，故OCSD，从而ACSD()由题设知，平面PAC的一个法向量=(1，0，)，平面DAC的一个法向量=(0，0，)，设所求二面角为q，则cosq=，所求二面角的大小为30°()在棱SC上存在一点E使BE平面PAC由()知是平面PAC的一个法向量，只须且=(1，0，)，=(1，-1，)，设，则=(-1，1-t，t)，而，即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC5如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=la(0<l2)BCSDA()求证：对任意的lÎ(0，2，都有ACBE；()设二面角CAED的大小为q，直线BE与平面ABCD所成的角为j，若tanq·tanj=1，求l的值分析：()以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系DACS，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(0，0，la)，=(-a，a，0)，=(-a，-a，la )，=2a2-2a2+0·la=0，即ACBE()由()得=(a，0，-la )，=(0，a，-la )，=(a，a，-la )，设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由n，n得即，取z=，得n=(l，l，)易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为=(0，0，2a )与=(0，a，0 )sinj=，cosq=0<q，j<，l>0，tanq·tanj=1Ûq+j=Ûsinj=cosqÛÛl2=2由于lÎ(0，2，解得l=，即为所求6如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点EABCFE1A1B1C1D1DxyzM()证明：直线EE1平面FCC1；()求二面角BFC1C的余弦值EABCFE1A1B1C1D1D分析：()AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，BF=BC=CF，BCF为正三角形，ABCD为等腰梯形，BAC=ABC=60°，取AF的中点M，连接DM，则DMAB，DMCD，以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(，-1，0)，F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(，-，0)，E1(，-1，1)，=(，-，1)，=(，-1，0)，=(0，0，2)，=(-，1，2)设平面CC1F的法向量为n=(x，y，z)，则，取n=(1，0)，则n·=0，n，直线EE1平面FCC1()=(0，2，0)，设平面BFC1的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则，取n1=(2，0，)，则n·n1=2×1+×0+0×=2，|n|=2，|n1|=，cos<n，n1>=，由图可知二面角BFC1C为锐角，二面角BFC1C的余弦值为7如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，ABC=60°()证明：ABA1C；CBAC1B1A1()求二面角AA1CB的大小分析：()证：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1，ACAA1ABC中，AB=1，AC=，ABC=60°，由正弦定理ACB=30°，BAC=90°，即ABAC建立空间直角坐标系ABCA1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，0)，A1(0，0，)，=(1，0，0)，=(0，-)，=1×0+0×+0×(-)=0，ABA1C()解：显然m=(1，0，0)为平面AA1C的法向量设平面A1BC的法向量为n=(l，m，n)，则·n=0，·n=0，又=(-1，0)，不妨取m=1，则n=(，1，1)，cos<m，n>=，AA1CB的大小是arccos8如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，AEF=45°()求证：EF平面BCE；()设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；DCBPMEFA()求二面角FBDA的大小分析：()ABE为等腰直角三角形，AB=AE，AEAB又平面ABEF平面ABCD，AEÌ平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB，AE平面ABCDAEAD因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系ADBE设AB=1，则AE=1，B(0，1，0)，D(1，0，0)，E(0，0，1)，C(1，1，0)FA=FE，AEF=45°，AFE=90°从而，F(0，-，)=(0，-，-)，=(0，-1，1)，=(1，0，0)=0，=0EFBE，EFBCBCBE=B，EF平面BCE()设M(0，0，t)P(1，0)从而=(1，-t)，只须取t使=0，可得t=即M为AE中点时，MPFE，又EF平面BCE，直线MP不在平面BCE内，故PM平面BCE()设平面BDF的一个法向量为n1=(x，y，z)，=(1，-1，0)，=(0，-，)，取y=1，则x=1，z=3，从而n1=(1，1，3)，显然平面ABD的一个法向量为n2=(0，0，1)，cos<n1·n2>=，故二面角FBDA的大小为arccos9如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=，AS=求：()点A到平面BCS的距离；()二面角ECDA的大小分析：()图中无明显的共点三垂直的直线，故另辟蹊径以S(O)为坐标原点，射线OD，OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设A(x，y，z)，因平面COD平面ABCD，ADCD，故AD平面COD，即点A在xoz平面上，因此y=0，z=AD=1，又x2+1=AS2=3，x=，从而A(，0，1)因ADBC，故BC平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为x=()易知C(0，2，0)，D(，0，0)在RtBCS中，因E为BS的中点，知BC=CS=2，BS=2则B(0，2，2)，E(0，1，1)=(0，-1，1)，=(，-2，0)，设平面ECD的法向量为n=(x，y，z)，取x=，得n=(，1，1)，有显然平面ACD的一个法向量为m=(，1，0)，cos<m·n>=，故所求的二面角的大小为BAFDACMAEA10如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD()求异面直线BF与DE所成的角的大小；()证明平面AMD平面CDE；()求二面角ACDE的余弦值分析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设AB=1，依题意得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，M(，1，)()解：=(-1，0，1)，=(0，-1，1)，于是cos<，>=所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°()证明：由=(，1，)，=(-1，0，1)，=(0，2，0)，可得=0，=0，因此，CEAM，CEAD又AMAD=A，故CE平面AMD而CEÌ平面CDE，所以平面AMD 平面CDE()解：设平面CDE的法向量为u=(x，y，z)，则，于是，令x=1，可得u=(1，1，1)又由题设，平面ACD的一个法向量为v=(0，0，1)所以cos<u，v>=11. 在直三棱柱中，ABBC，D、E分别为的中点（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；（2）设，求二面角的大小解：（1）如图2，建立直角坐标系，其中原点O为AC的中点，设则，则，即同理因此ED为异面直线与的公垂线（2）不妨令，则，即BCAB，BC，又，BC面又，即ECAE，ECED，又AEEDE，EC面，即得和的夹角为所以，二面角为12. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1. （I）求证：A1C/平面AB1D； （II）求二面角BAB1D的余弦值是； （III）求点c到平面AB1D的距离.解法二：建立空间直角坐标系Dxyz，如图， （I）证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE.设A1A = AB = 1，则 ， （II）解：， ，设是平面AB1D的法向量，则，故；同理，可求得平面AB1B的法向量是 设二面角BAB1D的大小为，二面角BAB1D的大小为 （III）解由（II）得平面AB1D的法向量为，取其单位法向量点C到平面AB1D的距离13. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点ABCD（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面xzABCDOFy取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，平面（）设平面的法向量为， ，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）由（），为平面法向量，点到平面的距离14. 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.()求与底面所成角的大小；()求证：平面；()求二面角的余弦值. 答案：(I)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O连结OA，则OA是PA在底面上的射影PAO就是PA与底面所成角ADC=60°，由已知PCD和ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=PAO=45°PA与底面ABCD可成角的大小为45° 6分(II)由底面ABCD为菱形且ADC=60°，DC=2，DO=1，有OADC 建立空间直角坐标系如图，则, 由M为PB中点，PADM，PADC PA平面DMC4分(III)令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0； , ，从而 由、，取x=1，则 可取由(II)知平面CDM的法向量可取， 所求二面角的余弦值为6分15.如图，在三棱锥中，点在平面内的射影在上。（）求直线与平面所成的角的大小；（）求二面角的大小。1.直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于C(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°2.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）3.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )(第4题)F1ABCD1C1A1B1B1(第3题)A1ABC1D1CDMN答案：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F； 4.如图，A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) 5.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为( D )（A） (B) (C) (D) ABCSEF28