2016年长沙市中考数学模拟试卷(一)含答案解析.pdf

2016 年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（每题 3 分）1给出四个数：0，1，其中最大的是（）A0 B C D1 2下列各图中，1 与2 互为余角的是（）A B C D 3下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A平行四边形 B矩形 C正方形 D圆 4据统计，2015 年长沙市的常住人口约为 7500000 人，将数据 7500000 用科学记数法表 示为（）A7.510 6 B0.7510 7 C7.510 7 D7510 5 5已知关于 x 的不等式 ax3x+25 的一个解是2，则 a 的取值范围为（）Aa Ba Ca Da 6下列说法中，正确的是（）A任何一个数都有平方根 B任何正数都有两个平方根 C算术平方根一定大于 0 D一个数不一定有立方根 7在以下数据 75，80，80，85，90 中，众数、中位数分别是（）A75，80 B80，80 C80，85 D80，90 8已知一个正 n 边形的每个内角为 120，则这个多边形的对角线有（）A5 条 B6 条 C8 条 D9 条 9如图，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 CB 的中点，下列说法错误的是（）ACD=ACBD BCD=ABBD CAC+BD=BC+CD DCD=AB 10如图，已知 A 是反比例函数 y=图象上的一点，过点 A 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 B，在点 A 从左往右移动的过程中，ABO 的面积将（）A越来越大 B越来越小 C先变大，后变小 D不变 第 1 页（共 20 页）11如图，扇形 AOB 是圆锥的侧面展开图，已知圆锥的底面半径 为 2，母线长为 6，则阴 影部分的面积为（）A12 B4 C129 D49 12如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 m，与O 过 A 点的 切线交于点 B，且APB=60，设 OP=x，则PAB 的面积 y 关于 x 的函数图象大致是（）A B C D 二、填空题（每题 3d 分）13分解因式：2x 8=_ 14如图所示，在ABCD 中，BAD 的角平分线 AE 交 BC 于点 E，AB=4，AD=6，则 EC=_ 15化简：+2=_ 16一个不透明的口袋中共放有 3 个红球和 11 个黄球，这两种球除颜色外没有其他任何区 别，若从口袋中随机取出一个球，则取到黄球的概率是 _ 17如图所示，在O 中，AB 为O 的直径，AC=8，sinD=，则 BC=_ 第 2 页（共 20 页）2 18规定一种新的运算：ab=三、解答题 ，则 12=_ 19计算：2cos30|2|+1 20先化简，再求值：（2ab）b（b2a）a，其中 3a=2b 21长沙市中考体育分值已经提高到了 60 分，其中的必考项目就有男子引体向上和女子一 分钟仰卧起坐，各校为此加强了对体育训练的重视 引体向上（男）和一分钟仰卧起坐（女）共 16 分 单位：次数 分值 16 15 14 13 12 10 8 6 3 成 绩 男（次）8 7 6 5 4 3 2 1 0.5 女（次 45 40 36 32 28 25 22 20 19 注：0.5 次是指考生从直臂悬垂开始，有正确的引体动作和下杠动作，但未完整完 成一次 某中学对全校学生这两项运动的成绩进行了统计，规定分值 15 分及以上为优秀，12 分到 14 分为良好，6 分到 10 分为合格，6 分以下不合格，在全校 800 名初三学生中，随机抽取 部分学生进行测试，并将测试成绩绘制成如下两幅不完整的统 计图，求：（1）某女生说她得了 12 分，请问她一分钟做了多少次仰卧起坐；（2）请问一共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；（3）根据抽样结果估计，本校项目由多少学生能够得优秀？22如图，在 RtPAD 中，PAD=90，APD 的角平分线 PO 交 AD 于 O 点，以 O 为 圆心，OA 为半径作O，交 AD 于点 B，过 D 作 DEPO 交 PO 的延长线于点 E（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 PA=6，tanPDA=，求半径 OA 及 OE 的长 第 3 页（共 20 页）2 2）23某汽车专卖店销售 A、B 两种型号的新能源汽车上周售出 1 辆 A 型车和 3 辆 B 型车，销售额为 96 万元；本周已售出 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车，销售额为 62 万元（1）求每辆 A 型车和 B 型车的售价各为多少元；（2）甲公司拟向该店购买 A、B 两种型号的新能源汽车共 6 辆，购车费不少于 130 万元，但不超过 140 万元则有哪几种购车方案？并写出哪种方案所 需的购车费用最低 24已知，如图，ABC 是等边三角形，过 AC 边上的点 D 作 DGBC，交 AB 于点 G，在 GD 的延长线上取点 E，使 DE=DC，连接 AE、BD（1）求证：AGEDAB；（2）过点 E 作 EFDB，交 BC 于点 F，连接 AF，求AFE 的度数 25若 x 1 、x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根 x1、x2 和系数 a、b、c 有如下关系：x1+x2=，x1x2=，我们把它们称为根与系数的关 系定理，请你参考上述定理，解答下列问题：设二次函数 y=ax+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（x1，0），B（x2，0）抛 物 线的顶点为 C，且ABC 为等腰三角形（1）求 A、B 两点之间的距离（用字母 a、b、c 表示）（2）当ABC 为等腰直角三角形时，求 b 4ac 的值；（3）设抛物线 y=x+kx+1 与 x 轴的两个交点为 A、B，顶点为 C，且ACB=90，试问如 何平移此抛物线，才能使ACB=60？26如图，四边形 OABC 为直角梯形，OABC，AOC=90，OA=OC=4，BC=3点 M 从 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度向 A 运动；点 N 从 B 同时出发，以每秒 1 个单位长 度的速度向 C 运动，当其中一个动点达到终点时，另 一个动点也随之停止运动，过点 N 作 NP 垂直 OA 于点 P，连接 AC 交 NP 于点 Q，连接 MQ（1）当 t 为何值时，M 和 P 两点重合；（2）求AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，及当 t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点 M，使得AQM 为直角三角形？若存在，求 NQ 的长；若不存在，请说 明理由 第 4 页（共 20 页）2 2 2 2 第 5 页（共 20 页）2016 年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解 析 一、选择题（每题 3 分）1给出四个数：0，1，其中最大的是（）A0 B C D1【考点】实数大小比较【分析】根据正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数绝对值大的反而小即可解答【解答】解：1，0 1，最大的数是，故选；B 2下列各图中，1 与2 互为余角的是（）A B C D【考点】余角和补角【分析】如果两个角的和等于 90（直角），就 说这两个角互为余角依此定义结合图形即 可求解【解答】解：四个选项中，只有选项 C 满足1+2=90，即选项 C 中，1 与2 互为余角 故选 C 3下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A平行四边形 B矩形 C正方形 D圆【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析 判断即可得解【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选 项正确；B、矩形是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项错误；C、正方形是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项错误；D、圆是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项错误 故选 A 4据统计，2015 年长沙市的常住人口约为 7500000 人，将数据 7500000 用科学记数法表 示为（）A7.510 B0.7510 C7.510 D7510 5【考点】科学记数法表示较大的数 第 6 页（共 20 页）6 7 7 【分析】科学记数法的表示形式为 a10 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 7500000 用科学记数法表示为 7.510 故选 A 5已知关于 x 的不等式 ax3x+25 的一个解是2，则 a 的取值范围为（）Aa Ba Ca Da【考点】不等式的解集；解一元一次不等式 【分析】先将 x=2代入不等式，得到关于 a 的一元一次不等式，求得 a 的取值范围即可【解答】解：不等式 ax3x+25 的一个解是2 2a+6+25 2a3 a 故选 A 6下列说法中，正确的是（）A任何一个数都有平方根 B任何正数都有两个平方根 C算术平方根一定大于 0 D一个数不一定有立方根【考点】立方根；平方根；算术平方根【分析】根据平方根、算术平方根、立方根，即可解答 【解答】解：A、任何一个数都有平方根，错误，负数没有平方根；B、任何正数都有两个平方根，正确；C、算术平方根一定大于 0，错误，0 的算术平方根是 0；D、任何数都有立方根，故错误；故选：B 7在以下数据 75，80，80，85，90 中，众数、中位数分别是（）A75，80 B80，80 C80，85 D80，90【考点】众数；中位数【分析】首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这 组数据的众数；然后把这组 数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此 解答即可【解答】解：数据 75，80，80，85，90 中，80 出现的次数最多，出现了 2 次，这组数据的众数是 80；把数据 75，80，80，85，90 从小到大排列，可得 75，80，80，85，90，所以这组数据的中位数是 80 故选：B 8已知一个正 n 边形的每个内角为 120，则这个多边形的对角线有（）A5 条 B6 条 C8 条 D9 条【考点】多边形内角与外角 第 7 页（共 20 页）n 6 【分析】多边形的每一个内角都等于 120，则每个外角是 60，而任何多边形的外角是 360，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线=n3，即可求得对角线 的条数【解答】解：多边形的每一个内角都等于 120，每个外角是 60 度，则多边形的边数为 36060=6，则该多边形有 6 个顶点，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有 63=3 条 这个多边形的对角线有（63）=9 条，故选 D 9如图，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 CB 的中点，下列说法错误的是（）ACD=ACBD BCD=ABBD CAC+BD=BC+CD DCD=AB【考点】两点间的距离【分析】根据线段中点的性质，可得 CD、BD 与 AB、BC 的关系，可得答案【解答】解：由 C 是线段 AB 的中点，D 是线段 CB 的中点，得 AC=CB，CD=DB A、CD=CBBD=AC BD，故 A 正确；B、CD=CBBD=ABBD，故 B 正确；C、AC+BD=BC+CD，故 C 正确；D、CD=BC=AB，故 D 错误；故选：D 10如图，已知 A 是反比例函数 y=图象上的一点，过点 A 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 B，在点 A 从左往右移动的过程中，ABO 的面积将（）A越来越大 B越来越小 C先变大，后变小 D不变【考点】反比例函数系数 k 的几何意义【分析】由点 A 在反比例函数图象上以及 ABx 轴于点 B，结合反比例函数系数 k 的几何 意义即可得出 S ABO =|k|，由此即可得出结论 第 8 页（共 20 页）【解答】解：点 A 是反比例函数 y=图象上的一点，且 ABx 轴于点 B，S ABO =|k|，点 A 从左往右移动的过程中，ABO 的面积不变 故选 D 11如图，扇形 AOB 是圆锥的侧面展开图，已知圆锥的底面半径 为 2，母线长为 6，则阴 影部分的面积为（）A12 B4 C129 D49【考点】圆锥的计算【分析】首先求得展开扇形的圆心角的度数，从而求得圆心到 线 AB 的长，用扇形的面积 减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积 【解答】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=22=4cm，扇形的圆心角=弧长180母线长=41806=120 作 OCAB 于点 C，OC=OA=3，AB=2AC=23=6 ，S 阴影=S 扇形SAOB=36=129 ，故选 C 12如图，A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 m，与O 过 A 点的 切线交于点 B，且APB=60，设 OP=x，则PAB 的面积 y 关于 x 的函数图象大致是（）第 9 页（共 20 页）A B C D【考点】动点问题的函数图象 【分析】根据已知得出 S 与 x 之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当 x=2 时，S 取到最小值为：=0，即可得出图象【解答】解：A 点在半径为 2 的O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 m，与O 过 A 点的切线交于点 B，且APB=60，AO=2，OP=x，则 AP=2x，tan60=，解得：AB=（2x）=x+2，SABP=PAAB=（2x）（x+2）=x 2 x+2 故此函数为二次函数，a=0，当 x=2 时，S 取到最小值为：=0，根据图象得出只有 D 符合要求 故选：D 二、填空题（每题 3d 分）13分解因式：2x 8=2（x+2）（x2）【考点】因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式 2，提出即可得出答案【解答】解：2x 8=2（x+2）（x2）14如图所示，在ABCD 中，BAD 的角平分线 AE 交 BC 于点 E，AB=4，AD=6，则 EC=2 【考点】平行四边形的性质 2 2 2 第 10 页（共 20 页）【分析】根据平行四边形的性质得到 AD=BC=6，DC=AB=4，ADBC，推出 DAE=BEA，根据 AE 平分BAD，能证出BAE=BEA，根据等腰三角形的判定得 到 AB=BE=4，根据 EC=BCBE，代入即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC=6，DC=AB=4，ADBC，DAE=BEA，AE 平分BAD，DAE=BAE，BAE=BEA，AB=BE=4，EC=BCBE=64=2，故答案为：2 15化简：+2=【考点】分式的加减法【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到 结果 【解答】解：原式=+=，故答案为：16一个不透明的口袋中共放有 3 个红球和 11 个黄球，这两种球除颜色外没有其他任何区 别，若从口袋中随机取出一个球，则取到黄球的概率是 【考点】概率公式【分析】用黄球的个数除以球的总个数可得 【解答】解：不透明的袋中有除颜色外没有其他任何区别的 3 个红球和 11 个黄球，共 14 个球，其中黄球有 11 个，从口袋中随机取出一个球，则取到黄球的概率是 ，故答案为：17如图所示，在O 中，AB 为O 的直径，AC=8，sinD=，则 BC=6 【考点】圆周角定理；解直角三角形 第 11 页（共 20 页）【分析】根据圆周角定理得到D=A，设 BC=3x，根据正弦的定义得到 AB=5x，根据勾 股定理计算即可【解答】解：AB 为O 的直径，ACB=90，由圆周角定理得，D=A，又 sinD=，sinA=，即=，设 BC=3x，则 AB=5x，由勾股定理得，（5x）（3x）=8，解得，x=2，则 BC=6，故答案为：6 18规定一种新的运算：ab=，则 12=【考点】有理数的混合运算【分析】根据 2 大于 1，利用题中的新定义计算即可得到结果【解答】解：21，12=1=，故答案为：三、解答题 19计算：2cos30|2|+1【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可 得到结果 【解答】解：原式=2 2+2 +1=1 20先化简，再求值：（2ab）b（b2a）a，其中 3a=2b【考点】整式的混合运算化简求值【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：原式=4a 4ab+b b+2aba=3a 2ab，由 3a=2b，得到 a=b，则原式=b b=0 第 12 页（共 20 页）2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21长沙市中考体育分值已经提高到了 60 分，其中的必考项目就有男子引体向上和女子一 分钟仰卧起坐，各校为此加强了对体育训练的重视 引体向上（男）和一分钟仰卧起坐（女）共 16 分 单位：次数 分值 16 15 14 13 12 10 8 6 3 成 绩 男（次）8 7 6 5 4 3 2 1 0.5 女（次 45 40 36 32 28 25 22 20 19 注：0.5 次是指考生从直臂悬垂开始，有正确的引体动作和下杠动作，但未完整完 成一次 某中学对全校学生这两项运动的成绩进行了统计，规定分值 15 分及以上为优秀，12 分到 14 分为良好，6 分到 10 分为合格，6 分以下不合格，在全校 800 名初三学生中，随机抽取 部分学生进行测试，并将测试成绩绘制成如下两幅不完整的统 计图，求：（1）某女生说她得了 12 分，请问她一分钟做了多少次仰卧起坐；（2）请问一共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；（3）根据抽样结果估计，本校项目由多少学生能够得优秀？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】（1）由表格即可知答案；（2）根据“优秀”的人数及其占被调查学生的百分 比可得总人数，总人数乘以“不合格”的百 分比可得对应人数，由个等级人数之和等于总人数可得“良好”的人数，补全条形图；（3）用样本中“优秀”的人数所占百分比乘以全校 总人数可得【解答】解：（1）由表可知，她一分钟做了 28 次仰卧起坐；（2）一共抽取学生有：1020%=50（人），“不合格”的学生有 5010%=5（人），“良好”的学生有 5010155=20（人），补全统计图如图：（3）80020%=160（人），答：根据抽样结果估计，全校有 160 名学生能够取得优秀 第 13 页（共 20 页）22如图，在 RtPAD 中，PAD=90，APD 的角平分线 PO 交 AD 于 O 点，以 O 为 圆心，OA 为半径作O，交 AD 于点 B，过 D 作 DEPO 交 PO 的延长线于点 E（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 PA=6，tanPDA=，求半径 OA 及 OE 的长 【考点】切线的判定【分析】（1）作 OCPD 于 C，根据角平分线的性质得出 OC=OA，即可判定 PD 是O 的 切线；（2）根据已知求得 AD，PC，根据勾股定理求得 PD，得出 CD，设半径为 x，则 OD=8x，在 RTODC 中，根据勾股定理得出（8x）=x+4，解得半径为 3，然后根据 勾股定理求得 OP，进而证得POADOE，根据相似三角形的性质即可求得 【解答】（1）证明：作 OCPD 于 C，OP 是APD 的角平分线，OAPA，OCPD，OC=OA，PD 是O 的切线；（2）解：PA=6，tanPDA=，AD=8，PD=10，PAOA，PA 是O 的切线，PD 是O 的切线，PC=PA=6，CD=PDPC=4，设半径为 x，则 OD=8x，在 RTODC 中，OD=OC+CD，（8x）=x+4，解得 x=3，半径 OA=3，OD=83=5，在 RTAOP 中，OP=3 PAO=E=90，POA=DOE，POADOE，第 14 页（共 20 页）2 2 2 2 2 2 2 2 2 =，即 =，OE=23某汽车专卖店销售 A、B 两种型号的新能源汽车上周售出 1 辆 A 型车和 3 辆 B 型车，销售额为 96 万元；本周已售出 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车，销售额为 62 万元（1）求每辆 A 型车和 B 型车的售价各为多少元；（2）甲公司拟向该店购买 A、B 两种型号的新能源汽车共 6 辆，购车费不少于 130 万元，但不超过 140 万元则有哪几种购车方案？并写出哪种方案所 需的购车费用最低【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）每辆 A 型车和 B 型车的售价分别是 x 万元、y 万元则等量关系为：1 辆 A 型车和 3 辆 B 型车，销售额为 96 万元，2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车，销售额为 62 万元；（2）设购买 A 型车 a 辆，则购买 B 型车（6a）辆，则根据“购买 A，B 两种型号的新能 源汽车共 6 辆，购车费不少于 130 万元，且不超过 140 万元”得到不等式组【解答】解：（1）每辆 A 型车和 B 型车的售价分别是 x 万元、y 万元则 ，解得 答：每辆 A 型车的售价为 18 万元，每辆 B 型车的售价为 26 万元；（2）设购买 A 型车 a 辆，则购买 B 型车（6a）辆，则依题意得 ，解得 2a3 a 是正整数，a=2 或 a=3 共有两种方案：方案一：购买 2 辆 A 型车和 4 辆 B 型车；方案二：购买 3 辆 A 型车和 3 辆 B 型车 方案二：购买 3 辆 A 型车和 3 辆 B 型车所需的购车费用最低 24已知，如图，ABC 是等边三角形，过 AC 边上的点 D 作 DGBC，交 AB 于点 G，在 GD 的延长线上取点 E，使 DE=DC，连接 AE、BD（1）求证：AGEDAB；第 15 页（共 20 页）（2）过点 E 作 EFDB，交 BC 于点 F，连接 AF，求AFE 的度数 【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质 【分析】（1）根据 SAS 判定AGE 和DAB 全等；（2）证明四边形 DEFB 是平行四边形，AEF 是个等边三角形【解答】（1）证明：ABC 是等边三角形，DGBC，AGD=ABC=60，ADG=ACB=60，且BAC=60，AGD 是等边三角形，AG=GD=AD，AGD=60 DE=DC，GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，在AGE 与DAB 中，AGEDAB（SAS）；（2）解：由（1）知 AE=BD，ABD=AEG EFDB，DGBC，四边形 BFED 是平行四边形 EF=BD，EF=AE DBC=DEF，ABD+DBC=AEG+DEF，即AEF=ABC=60 AFE 是等边三角形，AFE=60 25若 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根 x 1 、x 2 和系数 a、b、c 有如下关系：x 1 +x 2 =，x 1 x 2 =，我们把它们称为根与系数的关 系定理，请你参考上述定理，解答下列问题：设二次函数 y=ax+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（x 1，0），B（x 2，0）抛物 线的顶点为 C，且ABC 为等腰三角形（1）求 A、B 两点之间的距离（用字母 a、b、c 表示）（2）当ABC 为等腰直角三角形时，求 b 4ac 的值；（3）设抛物线 y=x+kx+1 与 x 轴的两个交点为 A、B，顶点为 C，且ACB=90，试问如 何平移此抛物线，才能使ACB=60？【考点】二次函数综合题 第 16 页（共 20 页）2 2 2 2 【分析】（1）令二次函数解析式中 y=0，根据根与系数的关系可得出 “x 1 +x 2 =，x 1 x 2 =”，利用配方法即可求出|x 2 x 1|的值，由此即可得出结论；（2）利用配方法将二次函数解析式转化成顶点式，由此即可求出点 C 的坐标，再根据等 腰直角三角形的性质可得出 2|=，利用换元解方程即可求出 b 4ac 的值；（3）由（2）的结论即可得出关于 k 的方程，解方程即可得出抛物线的解析式，画 出函数 图象，由此可得出若要使ACB=60，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为 n（n0），则平移后的抛物线的解析式为 y=x 2 x+1n，结合（1）（2）的结论即可得出关于 n 的 一元二次方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）令 y=ax+bx+c（a0）中 y=0，则有 ax+bx+c=0，二次函数 y=ax+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（x 1，0），B（x 2，0），x1+x2=，x1x2=，|x 2 x 1|=（2）二次函数 y=ax 2 +bx+c=a +，点 C 的坐标为（，），ABC 为等腰直角三角形，2|=，令 =m，则有 m 2m=0，解得：m=2，或 m=0，二次函数与 x 轴有两个不相同的交点，m=2，b 4ac=4（3）ACB=90，b 4ac=k 4=4，解得：k=2 选 k=2，画出图形，如图所示 2 2 2 2 2 2 2 2 2 第 17 页（共 20 页）若要使ACB=60，则需把抛物线往下平移，设平移的距离为 n（n0），则 平移后的抛物 线的解析式为 y=x 2 x+1n，由（1）可知 AB=2 ，由（2）可知点 C（，），即（，1n），ABC 为等腰三角形，且ACB=60，y C =AB，即 1+n=，解得：n=1（舍去），或 n=2 故将抛物线往下平移 2 个单位长度，能使ACB=60 26如图，四边形 OABC 为直角梯形，OABC，AOC=90，OA=OC=4，BC=3点 M 从 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度向 A 运动；点 N 从 B 同时出发，以每秒 1 个单位长 度的速度向 C 运动，当其中一个动点达到终点时，另 一个动点也随之停止运动，过点 N 作 NP 垂直 OA 于点 P，连接 AC 交 NP 于点 Q，连接 MQ（1）当 t 为何值时，M 和 P 两点重合；（2）求AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，及当 t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点 M，使得AQM 为直角三角形？若存在，求 NQ 的长；若不存在，请说 明理由 【考点】四边形综合题 2 第 18 页（共 20 页）【分析】（1）用 t 可表示出 BN、OM，则可表示出 CN，又由OAC 为等腰直角三角形，MNOA，可得到 CN=NQ，AP=PQ，当 M、P 重合时，则有 AM=PQ，可得到关于 t 的方 程，可求得 t；（2）由（1）可用 t 分别表示出 AM、PQ，可表示出AQM 的面积，再利用二次函数的性 质可求得其最大值；（3）由于OAC=45，故当AQM 为直角三角形只能有 QMOA 和 MQAQ 两种情况，当 QMOA 时，则 M、P 重合，由（1）可得到 t 的值，当 MQAQ 时，则有 MP=PQ，可得到关于 t 的方程可，可求得 t 的值【解答】解：（1）OA=OC=4，AOC=90，OAC=45，OABC，BCA=OAC=45，NPOA，CN=NQ，PQ=AP，当运动 t 秒时，则有 BN=t，OM=2t，且 BC=3，CN=NQ=BC BN=3 t，AP=PQ=PNNQ=4（3t）=t+1，AM=OAOM=4 2t，当 M 和 P 重合时，则有 AM=PQ，即 t+1=42t，解得 t=1，当 t 的值为 1 秒时，M 和 P 两点重合；（2）当运动时间为 t 秒时，由（1）可知 PQ=t+1，AM=42t，S=AMPQ=（t+1）（42t）=（t）+，OA=4，M 点的运动时间最大为 2 秒，0t2，当 t=时，Smax=，综上可知 S=（t）+（0t2），当 t=时 S 有最大值；（3）OAC=45 当AQM 为直角三角形只能有 QMOA 和 MQAQ 两种情况，当 QMOA 时，则 M、P 重合，由（1）可得到 t=1，此时 NQ=3t=2；当 MQAQ 时，则有 MP=PQ，由（1）可知 AM=42t，AP=t+1，PM=AMAP=（42t）（t+1）=33t，又 PQ=t+1，33t=t+1，解得 t=，此时 NQ=3t=；综上当 t 的值为 1 秒或 秒时，AQM 为直角三角形，NQ 的长分别为 2 或 第 19 页（共 20 页）2 2 2016 年 9 月 24 日 第 20 页（共 20 页）