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五升六暑期奥数培训教材 目录 第 1 讲 小数的巧算与速算 第 2 讲 用等量代换求面积 第 3 讲 数学游戏-智取火柴 第 4 讲 和 差 问 题 第 5 讲 和 倍 问 题#第 6 讲 差 倍 问 题 第 7 讲 年 龄 问 题 第 8 讲：分 解 质 因 数 第 9 讲：最 小 公 倍 数 第 10 讲 还 原 问 题 第 11 讲 周 期 问 题 第12讲 鸡兔同笼问题与假设法 第13讲 盈亏问题与比较法（一）第14讲 盈亏问题与比较法（二）第 15 讲 逻 辑 问 题 第一讲 小数的巧算与速算 【例 1】.简算：（1）9968068.思路导航：题中，接近 10，且和都是有 6、8 这两个数字。解法一：解法二:9968068.9968068.=99+1 =+=(99+1)=+=100 =10=68 =68 想想还有别的解法吗 同步导练一：（1）+2724 （2）+37！(3)+724|（4）+258+，【例 2】：（+）+-(2+思路导航：整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把+用 A表示,把+用 B 表示,则原式化为 A(B+-(A+B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.解:设 A=+B=+,原式=A(B+-(A+B =AB+A(AB+B)=AB+A AB=(A-B)！=2=同步导练二：（1）+7)-+7)+(2)+6)-(+6)+【例三】:计算5614 思路导航：这道题是乘除同级运算，解答时，利用添括号法则，在“”后面添括号，括号里面要变号，“”变“”，“”变“”。不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。解：5614 =(5614)=4 =同步导练三：(1)14413 (2)6355711 *(3)()()487581242527$【例四】:+思路导航：本类题可以将原式进行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算 =9+=+=+=10 =同步导练四:(1)+(2)+!(3)+(4)+5.下面有两个小数:a=0125 b=08 1996 个 0 2000 个 0 试求 a+b,a-b,ab,ab.第 2 讲 用等量代换求面积 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例 1 两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解：阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形 ABC 与三角形 DEF 完全相同，都减去三角形 DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形 OEFC 的面积。直角梯形OEFC 的上底为 10-3=7（厘米），面积为（7+10）22=17（厘米2）。所以，阴影部分的面积是 17 厘米2。例 2 在右图中，平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 ECB 的直角边 EC 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10 厘米2，求平行四边形 ABCD 的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 厘米2，都加上梯形 FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行 ABCD 比直角三角形 ECB 的面积大 10 厘米2，所以平行四边形 ABCD 的面积等于 1082+10=50（厘米2）。例 3 在右图中，AB=8 厘米，CD=4 厘米，BC=6 厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD的面积大 18 厘米2。求 ED 的长。分析与解：求 ED 的长，需求出 EC 的长；求 EC 的长，需求出直角三角形 ECB的面积。因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘米2，这两个三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米2。也就是说，只要求出梯形 ABCD 的面积，就能依次求出三角形 ECB 的面积和 EC 的长，从而求出 ED 的长。梯形 ABCD 面积=（8+4）62=36（厘米2），三角形 ECB 面积=36-18=18（厘米2），EC=1862=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。例 4 下页上图中，ABCD 是 74 的长方形，DEFG 是 102 的长方形，求三角形BCO 与三角形 EFO 的面积之差。分析：直接求出三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结 B，E（见左下图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法二：连结 C，F（见右上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法三：延长 BC 交 GF 于 H（见下页左上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上梯形 COFH，则原来的问题转化为求三角形 BHF 与矩形 CEFH 的面积之差。所求为（4+2）（10-7）2-2（10-7）=3。解法四：延长 AB，FE 交于 H（见右上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都加上梯形 BHEO，则原来的问题转化为求矩形 BHEC 与直角三角形 BHF 的面积之差。所求为 4（10-7）-（10-7）（4+2）2=3。例 5 左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积 分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结 AD（见右上图），可以看出，三角形 ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形 AFD 是三角形 ABD 与三角形 ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形 ABF 与三角形 FCD 面积仍然相等。根据等量代换，求三角形 ABC 的面积等于求三角形 BCD 的面积，等于 442=8（厘米2）。*练习：1.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。2.下页左上图中，矩形 ABCD 的边 AB 为 4 厘米，BC 为 6 厘米，三角形 ABF 比三角形 EDF 的面积大 9 厘米2，求 ED 的长。6.右上图中，CA=AB=4 厘米，三角形 ABE 比三角形 CDE 的面积大 2 厘米2，求CD 的长。影部分的面积和。第 3 讲 数学游戏-智取火柴 在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。例 1 桌子上放着 60 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 13 根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜 (例 2 在例 1 中将“每次取走 13 根”改为“每次取走 16 根”，其余不变，情形会怎样 例 3 将例 1 中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何&有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。例 4 两人从 1 开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报15 个数，谁先报到 50 谁胜。你选择先报数还是后报数怎样才能获胜 】例 5、1111 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 17 格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格 例 6 今有两堆火柴，一堆 35 根，另一堆 24 根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜 请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是 35 根火柴，那么先取者还能获胜吗 例 7 有 3 堆火柴，分别有 1 根、2 根与 3 根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜 练习 1.桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取 13 根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜|2.有 1999 个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取 5 个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜 ；3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报 14 个数，谁报到第 888个数谁胜。谁将获胜怎样获胜 【4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗【5.黑板上写着一排相连的自然数 1，2，3，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗,6.有三行棋子，分别有 1，2，4 枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取 【第 4 讲 和 差 问 题 和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。解答这类应用题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。解题时，我们可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数再求大数。我们可以用下面的数量关系式表示：（和+差）2=大数（和-差）2=小数 1 学校合唱团共有 72 名成员，其中男合唱队员比女合唱队员少 6 名，合唱团中男、女队员各有多少名 2 甲乙两校共有学生 2346 人，如果甲校增加 146 人，乙校减少 88 人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗 3 两个工程队共有工人 230 人，后来由于工作需要，从第一队调走了 30人，从第二队调走了 10 人，这时第一队比第二队还多 10 人，原来两队各有多少工人$4 在一个减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和是 388，减数比差大 16。减数是多少 !第 5 讲 和 倍 问 题 已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的问题叫和倍问题。解这类应用题关键是要找准标准数（即 1 倍数），一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准数的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。数量关系可表示为：两数和（倍数+1）=小数（1 倍数）小数（1 倍数）倍数=大数（几倍数）或两数和小数（1 倍数）=大数（几倍数）解决和倍问题，为了理解题意，可以画出线段图，使数量关系一目了然。/1、三、四年级的同学们一共制作了 318 件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的 2 倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模 2、哥哥和弟弟共有图书 120 本，哥哥的图书是弟弟的 3 倍，哥哥有图书多少本 3、小强和小明共有 28 本练习本，小强的练习本比小明的 2 倍少 2 本，小强和小明各有几本练习本，4、甲乙丙三个数的和是 360，已知甲是乙的 3 倍，乙是丙的 2 倍，求甲乙丙三个数各是多少 5、两个数的和是 682，其中一个加数的个位是 0，若是把 0 去掉，则与加一个加数相同，这两个数各是多少 6、商店运来橘子、苹果、香蕉共 53 千克，橘子的重量是苹果的 3 倍少 3千克，香蕉的重量是苹果的 2 倍多 2 千克，橘子重多少千克 7、一个除法算式，商是 5，余数是 1，被除数、除数、商和余数的和是 109，除数是多少(第 6 讲 差 倍 问 题 差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而示出一倍数，再求出其它的数。解题时，我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系。这类问题的数量关系式是：两数差（倍数-1）=小数（1 倍数）小数（一倍数）倍数=大数（几倍数）&或小数（一倍数）+两数差=大数（几倍数）1、三年级图书比四年级图书多 50 本，并且三年级图书数是四年级的 3 倍，三年级和四年级各有图书多少本 2、果园里栽的梨树比苹果树多 240 棵，梨树的棵数比苹果树的 5 倍多 20 棵。果园里有苹果树和梨树各多少棵 3、舅舅比张强大 19 岁，正好是张强年龄的 3 倍多 1 岁，舅舅和张强各多少岁 4、两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的 3 倍，两筐苹果各有多少千克 5、育红小学原来参加室外活动的人数比室内的人数多 480 人，现在把室内活动 的 50 人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的 5 倍，参加室内、室外活动的一共有多少人 6、小红在计算两个数的和时，把其中一个加数个位上的 0 漏掉了，结果算出的和是 37。已知正确答案为 91，求这两个数的差（大减小）是多少 第 7 讲 年 龄 问 题 从不变中找规律 每个人的年龄年年都在增加，但人与人之间的年龄差永远不会改变，解答年龄问题一定要抓住年龄差这一不变量，从中寻找规律，解决问题。综合起来看问题 年龄问题经常与和差、和倍、差倍问题等综合出现，解答时，一定要从多种角度分析，可以巧妙地将年龄问题转化成我们已学过的知识进行解答。可以利用直观图法帮助分析数量关系 1、今年姐姐 14 岁，妹妹 9 岁，当姐妹二人年龄和是 39 岁时，妹妹多少岁 2、2007 年张叔叔 45 岁，小明 9 岁。张叔叔的年龄是小明年龄的 4 倍时应该是那一年&3、爷爷和孙子今年的年龄和为 66 岁，如果再过 3 年后，爷爷的年龄恰好是孙子年龄的 7 倍，爷爷和孙子今年各多少岁 4、奶奶比孙子大 60 岁，奶奶与孙子的年龄和为 72 岁，那么再过多少年后，奶奶的年龄是孙子的 7 倍。%5、今年爸爸和女儿的年龄之和是 38 岁，如果给女儿加上 4 岁，爸爸的年龄正好为女儿的 5 倍，爸爸和女儿各多少岁 6、李楠家共三口人：爸爸、妈妈和李楠，爸爸比妈妈大 1 岁，妈妈比李楠大 25岁，又过了四年后，全家三口人的年龄和为 84 岁，今年李楠家的人各是多少岁 7、甲对乙说：“我今年年龄是你今年年龄的 2 倍。”乙对甲说：“我 6 年后的年龄和你 10 年前的年龄一样。”问甲、乙今年各是多少岁，8、今年父亲的年龄为儿子年龄的 4 倍，20 年后父亲的年龄为儿子年龄的 2 倍，问今年儿子多少岁 9、爷爷和爸爸的年龄差是小明年龄的 3 倍，爷爷比爸爸与小明的年龄和大 18岁。小明今年多少岁$10、爷爷比爸爸大 26 岁，妈妈比小明也大 26 岁。已知他们四人今年的年龄和是126 岁，而 5 年前的年龄和为 107 岁。问爷爷与小明的年龄之差是多少岁 11、小军的年龄和小红现在的年龄一样时的那一年，小红 8 岁；小红的年龄和小军现在的年龄一样时的那一年，小军 20 岁。小红现在多少岁 12、1994 年父与子的年龄和是 36 岁，2000 年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍。问父亲年龄是儿子年龄两倍时是哪一年 第 8 讲：分解质因数 专题分析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。/【例 1】把 18 个苹果平均分成若干份，每份大于 1，小于 18。一共有多少种不同分法 练习：1、有 60 个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于 6 人，不多余 15 人，有哪几种分法 2、195 个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，一共有几种分发 3、甲数比乙数大 9，两个数的积是 792，求甲、乙两数各是多少）【例 2】、写出若干个连续的自然数，使它的积是 15120。练习：1、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是 39270 立方厘米，求这个长方体的表面积。2、有 4 个孩子，恰好一个比一个大 1 岁，4 人的年龄积是 3024。问这 4 个孩子各是多少岁 3、四个连续的奇数的积是 19305。这四个数各是多少 【例 3】、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。，2、5、14、24、27、55、56、99 练习：把 40、44、45、63、65、78、99、105 这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。【例 4】、王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了 539 棵。这个班有多少个学生每人植树多少棵 练习：1、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了 111 棵。求有多少个同学 2、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是 391，而且排数比座位号数大 6，小青买的电影票是几排几号 3、把一篮苹果分给 4 人，使 4 人的苹果数一个比一个多 2，且他们的苹果个数的乘积是 1920。这篮苹果有多少个 )第 9 讲：最小公倍数 专题分析：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。记住以下公式：最大公因数最小公倍数这两个数的积。【例 1】、两个数的最大公约数是 15，最小公倍数是 90。求这两个数分别是多少 练习：1、两个数的最大公约数是 9，最小公倍数是 90。求这两个数分别是多少 2、两个数的最大公约数是 12，最小公倍数是 60。求这两个数的和是多少&3、两个数的和是 52，它们的最大公约数是 4，最小公倍数是 144。求这两个数分别是多少 【例 2】：甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲 3 天去 1次，乙 4 天去 1 次，丙 5 天去 1 次。有一天三人恰好在图书馆相会。问至少再过多少天他们又在图书馆相会 1、1 路、2 路和 5 路车都从东站发车，1 路车每隔 10 分钟发一辆，2 路车每隔15 分钟发一辆，而 5 路车每隔 20 分钟发一辆。当这三路车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三条线路的车同时发车 2、甲乙丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用 120 秒，乙跑一圈用 80 秒，丙跑一圈用 100 秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发 :3、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷。二班的同学每隔 6 天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六、一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去看张爷爷 第 10 讲 还原问题 例 1甲、乙、丙三个组共有图书 90 本，如果乙组向甲组借 3 本后，又送给丙组 5 本，结果三个组所有图书的本数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本 分析：。例 2甲、乙两个车站共停了 195 辆汽车，如果从甲站开到乙站 36 辆，又从乙站开出 45 辆汽车，这时乙站停了汽车辆数是甲站的 2 倍。原来甲、乙两站各停放多少辆汽车 分析：例3、一筐鱼连筐重 122 千克，卖出一半鱼后，再卖出剩下的鱼的地半，这时连筐还重 35 千克。原来筐和鱼各重多少千克 练习与思考 1小亮在计算一道除法题的时候，把除数 36 写成 62，结果重到的商是 30余 12。正确的商应该是多少 2小明在做一道减法题的时候，把被减数个位上的 4 错写成 7，把十位的 1 错写成 5，把百位上的 3 错写成 2，这样，他算得的差是 143。正确的差应该是多少 3小兰问一位老师今年多大年纪，老师说：“把我的年龄除以 6 后加上 14，再乘以 3，最后减去 27，是 33 岁。”这位老师多少岁 4操场上放了一些花盆，第一次搬走了全部的一半多 8 盆，第二次搬走了余下的一半少 4 盆，将剩下了摆成 6 排，每排恰好放 2 盆。原来有多少个花盆#5甲、乙、丙三个小朋友共有年历片 120 张，如果甲给乙 13 张，乙给丙 23张后，他们每人的张数相等。原来三人各有年历片几张 6甲、乙、丙共有 72 元钱，甲拿出与乙同样多的钱给乙，乙再拿出与丙同样多的钱给丙，这时三人的钱数同样多。甲、乙、丙三人原来各有多少钱 7甲、乙两个车站共停了 90 辆汽车，如果从乙站开到甲站 12 辆汽车，又从甲站开出 30 辆汽车，这时甲站停的汽车辆数是乙站的 3 倍。原来甲、乙两站各停了多少辆汽车 。8甲、乙两个车站共停了 90 辆汽车，如果从甲站开到乙站 38 辆汽车后，乙站开到甲站 14 辆，这时两站停的汽车辆数相等。两站原来各停了多少辆汽车 9某车间分成甲、乙两个组，因生产需要，把甲组工人的一半调到乙组去了，后来改变工作程序，又把乙组工人中的 25 人调到了甲组，这时甲组有 45人，乙组有 22 人。甲、乙两个组原来各有多少人$10一个水桶里面装有水，连桶称是 5 千克，把水加到原来的 4 倍，连桶称是11 千克。桶里原来有多少千克水桶有多重 第 11 讲 周期问题 【例】110 个 2 连乘的积的个位数是几 分析：(【例】21998 年元旦是星期四，1999 年元旦是星期几 【例 3】黑珠、白珠共 185 个串成一串，排列如图：最后一个是什么颜色的这一串共有多少个白珠，多少个黑珠（【例 4】把自然数按下图的规律排列后，分成 A、B、C、D、E 五类，例如，4在 D 类，10 在 B 类。那么，1998 在哪一类 -【例 5】有一个 1111 位的数，各位数字都是 1，这个数除以 6 余数是几商的末位数字是几 【例 6】2001 年 10 月 1 日是星期一，那么，2002 年 1 月 1 日是星期几 ：A B C D E 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 17 18 19 20 练习与思考 142 个 8 连乘以积的个位数是几 299 个 999 连乘，所得积的个位数字是几 31988 年 2 月 1 日是星期日，1992 年 2 月 1 日是星期几 1998 年 2 月 1 日呢 4如果时钟现在表示的时间是 18 时整，那么，分针旋转 1990 圈以后是几时 5 黑珠、白珠共 150 个串成一串，排列如图：最后一个是什么颜色的这一串共有多少个白珠，多少个黑珠 6英文字母 A、B、C、D 探险 BCDABAACDABAACDABAACD排列，共 250 个字母，最后一个字母是什么 A、B、C、D 各多少个 、7按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上|8一个 200 位的数，每位上的数字都是 3，用它除以 7，余数是几商的末位数字是几 ！A B C D 1 2 3 4 7 6 5 8 9 10 11 14 13 12 A B C D 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 :93333 共 85 个 3 相乘，加上 4444 共 80 个 4 相乘，它们和的个位数是几 第 12 讲 鸡兔同笼问题与假设法 专题解析：鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。【例 1】小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只 【例 2】：100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚各有多少人 -【例 3】：彩色文化用品每套 19 元，普通文化用品每套 11 元，这两种文化用品共买了 16 套，用钱 280 元。问：两种文化用品各买了多少套 例 4：鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只 例 5：现有大、小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小瓶共多装 20 千克。问：大、小瓶各有多少个 分析：本题与例 4 非常类似，仿照例 4 的解法即可。、例 6：一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨 )例 7：乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿元，结果搬运站共得运费元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶 ！例 8：小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2 分钟，然后两人各跳了 3 分钟，一共跳了 780 下。已知小喜比小乐每分钟多跳 12 下，那么小喜比小乐共多跳了多少下 练习 1鸡、兔共有头100 个，脚 350 只，鸡、兔各有多少只 2学校有象棋、跳棋共 26 副，2 人下一副象棋，6 人下一副跳棋，恰好可供 120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副 3班级购买活页簿与日记本合计 32 本，花钱 74 元。活页簿每本元，日记本每本元。问：买活页簿、日记本各几本 4龟、鹤共有 100 个头，鹤腿比龟腿多 20 只。问：龟、鹤各几只 5小蕾花 40 元钱买了 14 张贺年卡与明信片。贺年卡每张 3 元 5 角，明信片每张 2 元 5 角。问：贺年卡、明信片各买了几张%6一个工人植树，晴天每天植树 20 棵，雨天每天植树 12 棵，他接连几天共植树 112 棵，平均每天植树 14 棵。问：这几天中共有几个雨天 7振兴小学六年级举行数学竞赛，共有 20 道试题。做对一题得 5 分，没做或做错一题都要扣 3 分。小建得了 60 分，那么他做对了几道题&8有一批水果，用大筐 80 只可装运完，用小筐 120 只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运 20 千克，那么这批水果有多少千克 9蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。问：每种小虫各有几只 10鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只。问：鸡、兔各几只 第 13 讲 盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。【例 1】小朋友分糖果，若每人分 4 粒则多 9 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖 【例 2】小朋友分糖果，若每人分 3 粒则剩 2 粒；若每人分 5 粒则少 6 粒。问：有多少个小朋友多少粒糖果 【小结】：由例 1、例 2 看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与 被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额两次分配数之差。需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。【例 3】小朋友分糖果，每人分 10 粒，正好分完；若每人分 16 粒，则有 3 个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果 ）【例 4】一批小朋友去买东西，若每人出 10 元则多 8 元；若每人出 7 元则少 4元。问：有多少个小朋友东西的价格是多少 【例 5】顾老师到新华书店去买书，若买 5 本则多 3 元；若买 7 本则少元。这本书的单价是多少顾老师共带了多少元钱 例 6 王老师去买儿童小提琴，若买 7 把，则所带的钱差 110 元；若买 5 把，则所带的钱还差 30 元。问：儿童小提琴多少钱一把王老师带了多少钱 ）练习 1小朋友分糖果，每人 3 粒，余 30 粒；每人 5 粒，少 4 粒。问：有多少个小朋友多少粒糖 ）2 一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运 3500 千克，那么货物还剩下 5000千克；如果每辆汽车运 4000 千克，那么货物还剩下 500 千克。问：这个汽车队有多少辆汽车要运的货物有多少千克 3学校买来一批图书。若每人发 9 本，则少 25 本；若每人发 6 本，则少 7 本。问：有多少个学生买了多少本图书 4参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分 4 支，那么多 12支；如果每人分 8 支，那么恰有 1 人没分到笔。问：有多少同学多少支彩色笔#5红星小学去春游。如果每辆车坐 60 人，那么有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车多少个学生 6某数的 8 倍减去 153，比其 5 倍多 66，求这个数。7某厂运来一批煤，如果每天烧 1500 千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧 1000 千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克%8同学们为学校搬砖，每人搬 18 块，还余 2 块；每人搬 20 块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块 第 14 讲 盈亏问题与比较法（二）有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。【例 1】某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6 人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9 人。问：学生有多少人 :【例 2】少先队员植树，如果每人挖 5 个坑，那么还有 3 个坑无人挖；如果其中 2 人各挖 4 个坑，其余每人挖 6 个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑 【例 3】在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8 米；若把绳子三折垂到水面，则余2 米。问：桥有多高绳子有多长 【例 4】有若干个苹果和若干个梨。如果按每 1 个苹果配 2 个梨分堆，那么梨分完时还剩 2 个苹果；如果按每 3 个苹果配 5 个梨分堆，那么苹果分完时还剩 1 个梨。问：苹果和梨各有多少个 【例 5】乐乐家去学校上学，每分钟走 50 米，走了 2 分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到 8 分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走 10 米，结果到达学校时离上课还有 5 分钟。问：乐乐家离学校有多远 【例 6】王师傅加工一批零件，每天加工 20 个，可以提前 1 天完成。工作 4 天后，由于改进了技术，每天可多加工 5 个，结果提前 3 天完成。问：这批零件有多少个 /练习 1.筑路队计划每天筑路 720 米，实际每天比原计划多筑 80 米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下 1160 米未筑。问：这条路共有多长 2.小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分 4 只，其余每人分 2 只，那么多出 4 只；如果一人分 6 只，其余每人分 4 只，那么缺 12 只。问：小红家买来多少只桔子小红家共有几人 3.食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉 18 千克，那么差 4 元；如果买猪肉20 千克，那么多 2 元。已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。(4.李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍。桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个，少 5 个。问：有多少个小朋友多少个苹果和桔子 、5.用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面，余 7 米；如果把绳子 5 折垂到水面，余 1 米。求绳长与井深。6.老师给幼儿园小朋友分苹果。每两人三个苹果，多两个苹果；每三人五个苹果，少四个苹果。问：有多少个小朋友多少个苹果 ;7.小明从家到学校去上学，如果每分钟走 60 米，那么将迟到 5 分钟；如果每分钟走 80 米，那么将提前 3 分钟。小明家距学校多远 第 15 讲 逻辑问题 例 1 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人谁是农民谁是教师 分析：例 2 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。分析：例 3 甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；（3）短跑健将请小画家画贺年卡；（4）数学博士和小画家很要好；（5）乙向大作家借过书；（6）丙下象棋常赢乙和小画家。你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗 分析：例 4 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；（2）在北京工作的不是教师；（3）在上海工作的是工人；（4）席辉不是农民。问：这三人各住哪里各是什么职业 练习与思考：1.甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友 2.徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。（1）电工只和车工下棋；（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；（4）陈师傅比钳工下得好。问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种 3.李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。现知道：（1）顾锋最年轻；（2）李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；（3）体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；（4）顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；（5）刘英与语文老师是邻居。问：各人分别教哪两门课程 ，B，C，D 分别是中国、日本、美国和法国人。已知：（1）A 和中国人是医生；（2）B 和法国人是教师；（3）C 和日本人职业不同；（4）D 不会看病。问：A，B，C，D 各是哪国人，5.小亮、小红、小娟分别在一小、二小、三小读书，各自爱好围棋、体操、足球中的一项，现知道：（1）小亮不在一小；（2）小红不在二小；（3）爱好足球的不在三小；（4）爱好围棋的在一小，但不是小红。问：小亮、小红、小娟各在哪个学校读书和各自的爱好是什么