2023年专题一,,,第4讲,导数简单应用.docx
2023年专题一,第4讲,导数简单应用下面是我为大家整理的专题一,第4讲,导数简单应用,供大家参考。人 本资料分享自千人 QQ 群 群 323031380 期待你的加入与分享 第 第 4 讲 讲导数的简单应用 考情分析 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题 考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼 1导数的运算法则 (1)f(x)±g(x)′f′(x)±g′(x) (2)f(x)g(x)′f′(x)g(x)f(x)g′(x) (3) ëéûùf(x)g(x)′ f′(x)g(x)f(x)g′(x)g(x) 2(g(x)≠0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上，又在曲线上 例 1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)x 2 3xf′(2)ln x，则 f′(2)的值为() A. 74 B74 C.94 D94答案 B 解析 f(x)x 2 3xf′(2)ln x， ∴f′(x)2x3f′(2) 1x ， 令 x2，得 f′(2)43f′(2) 12 ， 解得 f′(2) 74 . (2)(2023江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_ 答案 (e,1) 解析 设 A(x 0 ，ln x 0 )，又 y′ 1x ， 则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为yln x 0 1x 0 (xx 0 )， 将(e，1)代入得，1ln x 0 1x 0 (ex 0 )， 化简得 ln x 0 ex 0 ，解得 x 0 e， 则点 A 的坐标是(e,1) 易错提醒 求曲线的切线方程要注意过点 P 的切线与在点 P 处的切线的差异，过点P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点P 为切点 跟踪演练 1 (1)直线 2xy10 与曲线 yae x x 相切，则 a 等于() AeB2eC1D2 答案 C 解析 设切点为(n，ae n n)，因为 y′ae x 1， 所以切线的斜率为 ae n 1， 切线方程为 y(ae n n)(ae n 1)(xn)， 即 y(ae n 1)xae n (1n)， 依题意切线方程为 y2x1， 故î ïíïì ae n 12，ae n (1n)1，解得 a1，n0. (2)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是() Aysin x Byln x Cye xDyx 3答案 A 解析 对函数 ysin x 求导，得 y′cos x，当 x0 时，该点处切线 l 1 的斜率 k 1 1，当 xπ 时，该点处切线 l 2 的斜率 k 2 1，所以 k 1 k 2 1，所以 l 1 ⊥l 2 ；对函数 yln x 求导，得y′ 1x 恒大于 0，斜率之积不可能为1；对函数 yex 求导，得 y′e x 恒大于 0，斜率之积不可能为1；对函数 yx 3 求导，得 y′3x 2 恒大于等于 0，斜率之积不可能为1. 考点二 利用导数研究函数的单调性 核心提炼 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况例 2 已知 f(x)a(xln x) 2x1x 2，a∈R.讨论 f(x)的单调性 解 f(x)的定义域为(0，∞)， f′(x)a ax 2x 2 2x 3 (ax 2 2)(x1)x 3. 若 a≤0，当 x∈(0,1)时，f′(x)gt;0，f(x)单调递增， x∈(1，∞)时，f′(x)lt;0，f(x)单调递减， 若 agt;0，f′(x) a(x1)x 3 èæøöx2a èæøöx2a. (1)当 0lt;alt;2 时，2a gt;1， 当 x∈(0,1)或 x∈ èæøö2a ，∞ 时，f′(x)gt;0，f(x)单调递增， 当 x∈ èæøö1，2a时，f′(x)lt;0，f(x)单调递减 (2)当 a2 时，2a 1，在 x∈(0，∞)内，f′(x)0，f(x)单调递增 (3)当 agt;2 时，0lt;2a lt;1， 当 x∈ èæøö0，2a或 x∈(1，∞)时，f′(x)gt;0，f(x)单调递增，当 x∈ èæøö2a ，1 时，f′(x)lt;0，f(x)单调递减 综上所述，当 a≤0 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，∞)内单调递减； 当 0lt;alt;2 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在 èæøö1，2a内单调递减，在 èæøö2a ，∞ 内单调递增； 当 a2 时，f(x)在(0，∞)内单调递增； 当 agt;2 时，f(x)在 èæøö0，2a内单调递增，在 èæøö2a ，1 内单调递减，在(1，∞)内单调递增 易错提醒 (1)在求单调区间时定义域优先 (2)弄清参数对 f′(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏 跟踪演练2 (1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(x)sin xgt;f(x)cos x，且 f(x)f(x)0，设 a2f èæøöπ6，b 2fèæøöπ4，cfèæøö π2，则() Aalt;blt;c Bblt;clt;a Calt;clt;b Dclt;blt;a 答案 A 解析 构造函数 g(x)f(x)sin x ，x≠kπ，k∈Z，g′(x) f′(x)sin xf(x)cos xsin 2 xgt;0， 所以函数 g(x)在区间(0，π)上是增函数， 因为 f(x)f(x)0， 即 f(x)f(x)，g(x)f(x)sin x f(x)sin x ， 所以函数 g(x)是偶函数， 所以 g èæøöπ6lt;g èæøöπ4lt;g èæøöπ2g èæøö π2， 代入解析式得到 2fèæøöπ6lt; 2fèæøöπ4lt;f èæøö π2， 故 alt;blt;c. (2)已知 f(x)(x 2 2ax)ln x 12 x2 2ax 在(0，∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围是() A1B1C(0,1D1,0) 答案 B 解析 f(x)(x 2 2ax)ln x 12 x2 2ax， f′(x)2(xa)ln x， f(x)在(0，∞)上是增函数， ∴f′(x)0 在(0，∞)上恒成立， 当 x1 时，f′(x)0 满足题意； 当 xgt;1 时，ln xgt;0，要使 f′(x)0 恒成立， 则 xa0 恒成立 xagt;1a，∴1a0，解得 a1； 当 0lt;xlt;1 时，ln xlt;0，要使 f′(x)0 恒成立， 则 xa≤0 恒成立， xalt;1a，∴1a≤0，解得 a≤1. 综上所述，a1. 考点三 利用导数研究函数的极值、最值 核心提炼 1由导函数的图象判断函数 yf(x)的极值，要抓住两点 (1)由 yf′(x)的图象与 x 轴的交点，可得函数 yf(x)的可能极值点； (2)由 yf′(x)的图象可以看出 yf′(x)的函数值的正负，从而可得到函数 yf(x)的单调性，可得极值点 2求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值 (2)求函数在区间端点处的函数值 f(a)，f(b) (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 例 3 (1)若函数 f(x)e x (m1)ln x2(m1)x1 恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为() A(e 2 ，e) B. èæøö∞， e2 C. èæøö∞， 12 D(∞，e1) 答案 D 解析 由题可得 f′(x)e x m1x2(m1)，xgt;0， 因为函数 f(x)e x (m1)ln x2(m1)x1 恰有两个极值点，所以函数 f′(x)e x m1x2(m1)(xgt;0)有两个不同的变号零点 令 e x m1x2(m1)0， 等价转化成xe x12x m1(xgt;0)有两个不同的实数根， 记 h(x)xe x12x ， 所以 h′(x) (xex )′(12x)xe x (12x)′(12x) 2 ex (2x1)(x1)(12x) 2， 当 x∈ èæøö0， 12时，h′(x)gt;0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递增， 当 x∈ èæøö12 ，1 时，h′(x)gt;0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递增， 当 x∈(1，∞)时，h′(x)lt;0， 此时函数 h(x)在此区间上单调递减， 作出 h(x)xe x12x 的简图如图， 要使得xe x12x m1 有两个不同的实数根， 则 h(1)gt;m1，即egt;m1， 整理得 mlt;1e. (2)已知函数 f(x)a x e x (1ln a)x(agt;0，a≠1)，对任意 x 1 ，x 2 ∈0,1，不等式|f(x 1 )f(x 2 )|≤ aln ae4 恒成立，则 a 的取值范围为() A. ëéûù12 ，e B2，e Ce，∞) D(e，∞) 答案 C 解析 依题意，得 aln ae40, 因为 f′(x)a x ln ae x 1ln a(a x 1)ln ae x 1， 当 agt;1 时，对任意的 x∈0,1，a x 10，ln agt;0，e x 10，恒有 f′(x)0；当 0lt;alt;1 时，对任意 x∈0,1，a x 1≤0，ln alt;0，e x 10，恒有 f′(x)0， 所以 f(x)在0,1上是增函数，则对任意的 x 1 ，x 2 ∈0,1，不等式|f(x 1 )f(x 2 )|≤aln ae4 恒成立，只需 f(x) max f(x) min ≤aln ae4， 因为 f(x) max f(1)ae1ln a， f(x) min f(0)112， 所以 ae1ln a2≤aln ae4， 即 aln a1aln a≤0， 即(1a)(1ln a)≤0，所以 ln a1， 从而有 ae，而当 ae 时，式显然成立故选 C. 易错提醒 利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：(1)不能忽略函数 f(x)的定义域 (2)f′(x 0 )0 是可导函数在 xx 0 处取得极值的必要不充分条件 (3)函数的极小值不一定比极大值小 (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到跟踪演练 3 (1)若 x 1e 是函数 f(x)ln xkx 的极值点，则函数 f(x)ln xkx 有() A极小值2 B极大值2 C极小值1 D极大值1 答案 B 解析 由题意得 f′(x) 1x k， ∴f′ èæøö1eek0，∴ke. 由 f′(x) 1x e0，得 x1e ， 当 x∈ èæøö0， 1e时，f′(x)gt;0，函数 f(x)单调递增； 当 x∈ èæøö1e ，∞ 时，f′(x)lt;0，函数 f(x)单调递减， 所以函数 f(x)的极大值为 f èæøö1eln 1e e×1e 2. (2)已知点 M 在圆 C：x 2 y 2 4y30 上，点 N 在曲线 y1ln x 上，则线段 MN 的长度的最小值为_ 答案 21 解析 由题可得 C(0,2)，圆 C 的半径 r1. 设 N(t,1ln t)(tgt;0)， 令 f(t)|CN| 2 ，则 f(t)t 2 (1ln t) 2 (tgt;0)， 所以 f′(t)2t2(1ln t) èæøö 1t 2(t2 ln t1)t. 令 φ(t)t 2 ln t1(tgt;0)， 易知函数 φ(t)在(0，∞)上单调递增，且 φ(1)0， 所以当 0lt;tlt;1 时，f′(t)lt;0；当 tgt;1 时，f′(t)gt;0， 所以 f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，∞)上单调递增， 所以 f(t) min f(1)2. 因为|MN|CN|1 21， 所以线段 MN 的长度的最小值为 21. 专题强化练 一、单项选择题 1(2023全国)函数 f(x)x 4 2x 3 的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 答案 B 解析 f(1)121，切点坐标为(1，1)， f′(x)4x 3 6x 2 ， 所以切线的斜率为 kf′(1)4×1 3 6×1 2 2， 切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. 2若函数 f(x)x 2 ax 1x 在 èæøö12 ，∞ 上是增函数，则 a 的取值范围是() A1,0 B1，∞) C0,3 D3，∞) 答案 D 解析 由条件知 f′(x)2xa 1x 2 0 在 èæøö12 ，∞ 上恒成立，即 a1x 2 2x 在 èæøö12 ，∞ 上恒成立，函数 y1x 2 2x 在 èæøö12 ，∞ 上为减函数，∴ylt;1èæøö1222× 12 3.∴a3. 3已知函数 f(x)满足 f(x)f′(1)e x 1 f(0)x 12 x2 ，则 f(x)的单调递增区间为() A(∞，0) B(∞，1) C(1，∞) D(0，∞) 答案 D 解析 由题意得 f′(x)f′(1)e x 1 f(0)x， 令 x1，则 f′(1)f′(1)f(0)1，∴f(0)1， 令 x0，则 f(0)f′(1)e 1 ，∴f′(1)e， ∴f(x)e x x 12 x2 ，∴f′(x)e x 1x， 令 g(x)e x 1x，则 g′(x)e x 1gt;0. ∴g(x)为增函数， 又 g(0)0，∴当 xgt;0 时，g(x)gt;0，即 f′(x)gt;0， 即 f(x)在(0，∞)上单调递增 4设函数 f(x)定义在区间(0，∞)上，f′(x)是函数 f(x)的导函数，f(x)xln xf′(x)gt;0，则不等式 ln xf(x) gt;0 的解集是() A. èæøö13 ，∞ B(1，∞) C. èæøö0， 13 D(0,1)答案 B 解析 构造新函数 g(x)ln xf(x)， 则 g(1)0，g′(x) 1x f(x)ln xf′(x) 因为 f(x)xln xf′(x)gt;0，又 xgt;0， 所以 1x f(x)ln xf′(x)gt;0， 所以 g′(x)gt;0，所以函数 g(x)ln xf(x)在(0，∞)上单调递增 而 ln xf(x) gt;0 可化为 ln xf(x)gt;0， 等价于 g(x)gt;g(1)，解得 xgt;1， 所以不等式 ln xf(x) gt;0 的解集是(1，∞) 5若对∀x 1 ，x 2 ∈(m，∞)，且 x 1 lt;x 2 ，都有 x1 ln x 2 x 2 ln x 1x 2 x 1lt;1，则 m 的最小值是() 注：(e 为自然对数的底数，即 e2.718 28) A. 1e BeC1D.3e答案 C 解析 由题意，当 0≤mlt;x 1 lt;x 2 时， 由 x1 ln x 2 x 2 ln x 1x 2 x 1lt;1， 等价于 x 1 ln x 2 x 2 ln x 1 lt;x 2 x 1 ， 即 x 1 ln x 2 x 1 lt;x 2 ln x 1 x 2 ， 故 x 1 (ln x 2 1)lt;x 2 (ln x 1 1)， 故 ln x2 1x 2lt; ln x1 1x 1， 令 f(x) ln x1x，则 f(x 2 )lt;f(x 1 )， 又x 2 gt;x 1 gt;m0， 故 f(x)在(m，∞)上单调递减， 又由 f′(x) ln xx 2，令 f′(x)lt;0，解得 xgt;1， 故 f(x)在(1，∞)上单调递减，故 m1. 6已知直线 l 既是曲线 C 1 ：ye x 的切线，又是曲线 C 2 ：y 14 e2 x 2 的切线，则直线 l 在 x 轴上的截距为() A2B1Ce 2 De 2答案 B 解析 设直线l与曲线C 1 ：ye x 相切于点 ()11 ,exx，与曲线C 2 ：y 14 e2 x 2 相切于点 è æøöx 2 ， 14 e2 x 22 ， 由 ye x ，得11| e xx xy ¢=， 由 y 14 e2 x 2 ，得2221| e2x xy x¢=， ∴直线 l 的方程为 ( )1 11e ex xy x x - = -或 y 14 e2 x 22 12 e2 x 2 (xx 2 )， 则11 1222 2 2 21 2 21e e ,21 1e e e e ,4 2xx xxx x xì=ïïíï- = -ï î解得 x 1 x 2 2， ∴直线 l 的方程为 ye 2 e 2 (x2)， 令 y0，可得 x1， ∴直线 l 在 x 轴上的截距为 1. 二、多项选择题 7(2023唐山模拟)设函数 f(x)e xln x ，则下列说法正确的是() Af(x)的定义域是(0，∞) B当 x∈(0,1)时，f(x)的图象位于 x 轴下方 Cf(x)存在单调递增区间 Df(x)有且仅有两个极值点 答案 BC 解析 由题意知，函数 f(x)满足î ïíïì xgt;0，ln x≠0，解得 xgt;0 且 x≠1，所以 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，∞)，故 A 不正确；f(x)e xln x ，当 x∈(0,1)时，ex gt;0，ln xlt;0，所以 f(x)lt;0，所以 f(x)在(0,1)上的图象在 x 轴的下方，故 B 正确；因为 f′(x)e x èæøöln x 1x(ln x) 2，设 g(x)ln x 1x (xgt;0)，则 g′(x) 1x 1x 2 ，所以当 xgt;0 时，g′(x)gt;0，函数 g(x)单调递增，g(1)011 lt;0，g(e2 )2 1e 2 gt;0，所以 f′(x)gt;0 在定义域上有解，所以函数 f(x)存在单调递增区间，故 C 正确；函数 yf′(x)只有一个零点 x 0 ，且 x 0 gt;1，当 x∈(0,1)∪(1，x 0 )时，f′(x)lt;0，函数单调递减，当 x∈(x 0 ，∞)时，f′(x)gt;0，函数单调递增，所以函数 f(x)只有一个极小值点，故 D 不正确 8已知 f(x)e x 2x 2 有且仅有两个极值点，分别为 x 1 ，x 2 (x 1 lt;x 2 )，则下列不等式中正确的有(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6)() Ax 1 x 2 lt; 114 Bx 1 x 2 gt; 114 Cf(x 1 )f(x 2 )lt;0 Df(x 1 )f(x 2 )gt;0 答案 AD 解析 由题意得 f′(x)e x 4x， 则 f′ èæøö1414e 1 0, - > f′ èæøö1212e 2 0, - <f′(2)e 2 8lt;0. 由 ln 3≈1.098 6，得 98 gt;ln 3，所以 f′ èæøö94gt;0， 从而 14 lt;x 1 lt;12 ，2lt;x 2 lt;94 ，所以 x 1 x 2 lt;114. 因为 f(0)1，所以易得 f(x 1 )gt;1. 因为 f′(2ln 3)98ln 3gt;0，所以 x 2 lt;2ln 3. 因为 f′(x 2 )0，所以 f(x 2 )4x 2 2x 2 2 . 设 g(x)4x2x 2 ，得 g(x 2 )gt;g(2ln 3)gt;g(2.2) 0.88gt;1， 所以 f(x 1 )f(x 2 )gt;0. 三、填空题 9已知函数 f(x)x 2 ax3 在(0,1)上为减函数，函数 g(x)x 2 aln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于_ 答案 2 解析 函数 f(x)x 2 ax3 在(0,1)上为减函数， ∴ a2 .
