2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷4986.pdf

x 2007 x 1 x 2 x 2007 2 1 0 i 2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1.已知函数 y sin2 x，则 答：（A）有最小正周期2（B）有最小正周期（C）有最小正周期 2（D）无最小周期 2.关于 x 的不等式 x2 ax 20a2 0 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是 答：（A）2（B）1（C）0（D）1 3.已知向量 a、b，设 AB a 2 b，BC 5 a 6 b，CD 7 a 2 b，则一定共线的三点是 答：（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D 4.设、为平面，m、n 为直线，则m 的一个充分条件是 答：（A），n，m n （C），m（B）m，（D）n ，n ，m 5.若m、n x x a 102 a 10 a，其中a 1，2，3，4，5，6，7，i 0，1，2，并且 m n 636，则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为 答：（A）60 个（B）70 个（C）90 个（D）120个 6.已知 f(x)x 1 x 2 （x R），且 f(a2 3a 2)f(a 1),则 a 的值有 答：（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）无数个 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7.设 Sn 为等差数列an 的前n 项和，若 S5 10，S10 5，则公差为 .8.设 f(x)loga(x b)(a 0 且a 1)的图象经过点(2，1)，它的反函数的图象经过点 (2，8)，则a b 等于.2x2 x 1 9.已知函数 y f(x)的图象如图，则满足 f()f(lg(x2 x2 2x 1 6x 20)0 的 x 的取值范围为 .3 2 2 3 6 A A1 10.圆锥曲线 x y 3 0 的离心率是 .11.在ABC 中，已知tan B ，sin C ，AC 3，则ABC 的面积为 12.设命题 P:a2 a，命题Q:对任何 x R，都有 x2 4ax 1 0.命题 P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数 a 的取值范围是 .三、解答题（本题满分 60 分，共 4 小题，每题各 15 分）x y 0，13.设不等式组 x y 0 表示的平面区域为 D.区域 D 内的动点 P 到直线 x y 0 和直线 x y 0 的距离之积为2.记点 P 的轨迹为曲线C.过点 F(2 2，0)的直线l 与 曲线C 交于 A、B 两点.若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求直线l 的斜率.14.如图，斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，面 AA1C1C 是菱形，ACC1 60，侧面 ABB1 A1 AA1C1C，A1B AB AC 1.B B1 求证：（1）AA1 BC1；（2）求点 A1 到平面 ABC 的距离.C C1 x2 y2 6x 2 y 10 15.已知数列an 中，a1 1，an3 an 3，an2 an 2.求a2007.16.已知平面上10 个圆，任意两个都相交.是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1.已知函数 y sin2 x，则（B）.（A）有最小正周期为2（C）有最小正周期为 2（B）有最小正周期为（D）无最小正周期 解：y sin2 x 1(1 cos2x)，则最小正周期T .故选（B）2 2.关于 x 的不等式 x 2 ax 20a 2 0 任意两个解的差不超过 9，则a 的最大值与最小值 的和是（C）.（A）2（B）1（C）0（D）1 解：方程 x 2 ax 20a 2 0 的两根是 x 4a，x2 5a，则由关于 x 的不等式 1 x 2007 x 1 x 2 x 2007 2 1 0 i x2 ax 20a2 0 任意两个解的差不超过9，得|x x2|9a|9，即 1 a 1.故选（C）3.已知向量 a、b，设 AB a 2 b，BC 5 a 6 b，CD 7 a 2 b，则一定共线的三点是（A）.（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D 解：BD BC CD 2 a 4 b 2 AB，所以 A、B、D 三点共线.故选（A）4.设、为平面，m、n 为直线，则m 的一个充分条件是（D）.（A），n，m n （C），m（B）m，（D）n ，n ，m 解：（A）选项缺少条件m ；（B）选项当/，时，m/；（C）选项当 、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m 时，m ；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题.故选（D）5.若m、n x x a 102 a 10 a，其中a 1，2，3，4，5，6，7，i 0，1，2，并且 m n 636，则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为（C）（A）60 个（B）70 个（C）90 个（D）120 个 解：由6 51 4 2 3 3及题设知，个位数字的选择有 5 种.因为3 2 1 7 6 10，故（1）由3 2 1知，首位数字的可能选择有25 10种；（2）由3 7 6 10 及5 4 1 2 3 知，首位数字的可能选择有2 4 8种.于是，符合题设的不同点的个数为5(10 8)90 种.故选（C）6已知 f(x)x 1 x 2 （x R），且 f(a2 3a 2)f(a 1),则 a 的值有（D）.（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）无数个 解：由题设知 f(x)为偶函数，则考虑在1 x 1时，恒有 f(x)2(1 2 3 2007)2008 2007 所以当1 a2 3a 2 1，且1 a 11时，恒有 f(a2 3a 2)f(a 1)1 (x 3)2 (y 1)2 1 由于不等式1 a2 3a 2 1的解集为 3 5 a 3 5，不等式 1 a 1 1的解集为0 a 2 因此当 2 2 2 5 a 2 时，恒有 f(a2 3a 2)f(a 1).故选（D）二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7.设 Sn 为等差数列an 的前n 项和，若 S5 10，S10 5，则公差为 解：设等差数列an 的首项为a1，公差为d.d 1.5a1 10d 10，由题设得 10a1 45d 5 a1 2d 2，即 2a 9d 1 解之得d 1.8.设 f(x)loga(x b)(a 0 且a 1)的图象经过点(2，1)，它的反函数的图象经过点 (2，8)，则a b 等于 4.解：由题设知 loga(2 b)1，log(8 b)2 化简得(2 b)a，(8 b)a2.a1 3，a，a2 2 解之得 b 1；b 4.（舍去）.故a b 等于 4.1 2 2x2 x 1 2 9.已知函数 y f(x)的图象如图，则满足 f()f(lg(x x2 2x 1 6x 20)0 的 x 的取值范围为 x 2，1)解：因为 lgx2 6x 20 lg(x 3)2 11 lg11 1，所以 lgx2 6x 20 0.于是，由图象可知，2x 1 1，即 x 2 0，解得 x 1 2 x 1.故 x 的取值范围为 x 2，1)x 1 10.圆锥曲线 x2 y2 6x 2y 10|x y 3|0 的离心率是 2 解：原式变形为|x y 3|，即 所以动点(x,y)到定点(3，1)的距离与它到直线 x y 3 0 的距离 (x 3)2 (y 1)2 2|x y 3|2 3 2 2 3 2 3 2 x y 2 x y 2 之比为 故此动点轨迹为双曲线，离心率为 11.在ABC 中，已知tan B ，sin C，AC 3，则ABC 的面积为 SABC 8 6 解：在ABC 中，由tan B AC sin C 得 B 60 由正弦定理得 AB 8 sin B 因为arcsin 2 2 3 60，所以角C 可取锐角或钝角，从而cosC 1 3 sin A sin(B C)sin B cos C cos B sin C 2 3 故 SABC 3 6 AC AB sin A 8 6 2 12.设命题 P:a2 a，命题Q:对任何 x R，都有 x2 4ax 1 0.命题 P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 1 a 0 或 2 1 a 1.2 解：由a 2 a 得0 a 1由 x 2 4ax 1 0 对于任何 x R 成立，得 16a 2 4 0，即 1 a 1 因为命题 P、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 2 1 a 0 2 2 或 1 a 1 2 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 15 分）x y 0，13.设不等式组 x y 0 表示的平面区域为 D.区域 D 内的动点 P 到直线 x y 0 和直线 x y 0 的距离之积为2.记点 P 的轨迹为曲线C.过点 F(2 2，0)的直线 l 与曲线C 交于 A、B 两点.若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切，求直线l 的斜率.解：由题意可知，平面区域 D 如图阴影所示 设动点为 P(x,y)，则 2，即 y x2 y2 4 由 P D 知 x y 0，xy0，即 x2y20 O x 3 2 2 3 6 3 1C，所以 BD A A1 3 所以 1 2 2 y2 x2 所以 y x 4(y0)，即曲线C 的方程为 4 4 1(y0)设 A(x,y)，B(x,y)，则以线段 AB 为直径的圆的圆心为Q(x1 x2 y1 y2).1 1 2 2 2，2 因为以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切，所以半径 r AB x1 x2，即 2 AB x1 x2 因为直线 AB 过点 F(2 2，0)，当 AB x 轴时，不合题意 y2 x2 所以设直线 AB 的方程为 yk(x2 2)代入双曲线方程4 4 1(y0)得，k2(x2 2)2x24，即(k21)x24 2k2x(8k24)0 因为直线与双曲线交于 A，B 两点，所以 k1 4 2k2 8k24 所以 x1x2 k21，x1x2 k21 所以|AB|(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x2 2 4 2k22 8k24 4 2k2 (1k)k21 4 k21|x1x2|k21|，化简得：k42k210，解得 k2 21（k2 21 不合题意，舍去）由(4 2k2)24(k21)(8k24)3k210，又由于 y0，所以1k 3 k 21 14.如图，斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，面 AA1C1C 是菱形，ACC1 60，侧面 ABB1 A1 AA1C1C，A1B AB AC 1.B B1 求证：（1）AA1 BC1；（2）求点 A1 到平面 ABC 的距离.证：（1）设 AA1 中点为 D，连C、D.C C1 因为 A1 B AB，所以 BD AA1 因为面 ABB1 A1 AA1C（第 14 题）面 AA1C1C 又ACC1 为正三角形，AC1 C1 A1，所以 C1D AA1.从而 BC1 AA1 （2）由（1），有 BD C1D，BC1 CC1，CC1 面C1DB 设 A1 到面 ABC 的 距离为h，则 1 hS V V.因为V 1 CC S，3 ABC BCAC1 BCDC1 C C1DB 3 1 C1DB 所以h SC DB 又 C D BD，且2S C D BD BD 2 3.SABC C1DB 1 4 设ABC 的高为 AE，则 BC 2 BC 2 CC 2 2BD 2 1 3 1 5，1 1 2 2 1 2 1 3 8 5 2 3 8 15 4 AE ，2S ABC .于是有 h 15，即 A 到平面 ABC 的距离为 15 .15 分 5 1 5 15已知数列an 中，a1 1，an3 an 3，an2 an 2.求a2007.解：由题设，an2 an 2，则 a2007 a2005 2 a2003 2 2 a1 21003 2007.由 an2 an 2，得an an2 2，则an3 an 3 an2 2 3 an2 1(n 1).于是 a2007 a2006 1 a2005 1 2 a2002 3 1 2 a1999 3 2 1 2 a1 3 668 1 2 2007，所以 a2007=2007 易知数列 a1 1，a2 2，an n 符合本题要求 注意：猜得答案an n 或a2007 2007，给 2 分 16已知平面上10 个圆，任意两个都相交是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论 解：存在直线l，与每个圆都有公共点 证明如下：如图，先作直线l0，设第i 个圆在直线l0 上 的正投影是线段 Ai Bi，其中 Ai、Bi 分别是线段的左 右端点10 个圆有10 个投影线段，有10 个左端点，有10 个右端点 因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段 A1 A2 Ak Bm B2 B1 都有重叠的部分，设 Ak 是最右边的左端点，则所有右端点都在 Ak 的右边，否则必有两条投 影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾 再设 Bm 是最左边的右端点，同理所有左端点都在 Bm 的左边.Ak 与 Bm 不重合，线段 Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分，过线段 Ak Bm 上某一点作直线l0 的垂线l，则l 与10 个圆都相交 1 1 5 4 2 3 15