2019年甘肃省天水市中考数学试卷4867.pdf

(2019 年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正 确的选项选出来）1（4 分）已知|a|1，b 是 2 的相反数，则 a+b 的值为（）A3 B1 C1 或3 D1 或3 2（4 分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为 0.000073 米，将 0.000073 用科学记 数法表示为（）A73106 B0.73104 C7.3104 D7.3105 3（4 分）如图所示，圆锥的主视图是（）A B C D 4（4 分）一把直尺和一块三角板 ABC（含 30、60角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 D 和点 E，另一边与三角板的两直角边分别交于点 F 和点 A，且CED50，那么BFA 的大小为（）A145 B140 C135 D130 5（4 分）下列运算正确的是（）A（ab）2a2b2 Ba2+a2a4 C（a2）3a5 Da2a3a6 6（4 分）已知 a+b，则代数式 2a+2b3 的值是（）A2 B2 C4 D3 第 1 页（共 27 页）(7（4 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区 域内的概率为（）A B C D 8（4 分）如图，等边OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为（）A（1，1）B（1，）C（，1）D（，）9（4 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE若D80，则 EAC 的度数为（）A20 B25 C30 D35 10（4 分）已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 M 的 运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A B C D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。只要求填写最后结果）11（4 分）函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 第 2 页（共 27 页）史(12（4 分）分式方程 0 的解是 13（4 分）一组数据 2.2，3.3，4.4，11.1，a其中整数 a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是 14（4 分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增长率为 （用百分数表示）15（4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，若 M4a+2b，Nab则 M、N 的大小关系为 M N（填“”、“”或“”）16（4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知D 经过原点 O，与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，B 点坐标为（0，2），OC 与D 交于点 C，OCA30，则圆中阴影部分的面积为 （结果保留根号和）17（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边 上的点 F 处，那么 sinEFC 的值为 18（4 分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图形中共有 个 三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）第 3 页（共 27 页）史(19（10 分）（1）计算：（2）3+2sin30+（2019）0+|4|（2）先化简，再求值：（1），其中 x 的值从不等式组 的整数解中选取 20（8 分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制 成如下两幅不完整的统计图请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生（2）请你补全条形统计图（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 度（4）请根据样本数据，估计该校 1200 名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21（10 分）如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y 的图象交于 A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于 M、N 两点（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出 kx+b 0 中 x 的取值范围；（3）求AOB 的面积 四、解答题（本大题共 50 分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）22（7 分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，文化墙 PM 在天桥底部正前方 8 第 4 页（共 27 页）史(米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1：（参考数据：1.414，1.732）（1）若新坡面坡角为，求坡角 度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理 由 23（10 分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规 定这种商品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数 关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的 销售利润最大？最大利润是多少？24（10 分）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D过点 A 作O 的切线与 OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC60，AB10，求线段 CF 的长 25（10 分）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；第 5 页（共 27 页）史(（3）解决问题：如图 3，分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长 26（13 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0）、B（9，0）和 C（0，4），CD 垂直于 y 轴，交抛物线 于点 D，DE 垂直于 x 轴，垂足为 E，直线 l 是该抛物线的对称轴，点 F 是抛物线的顶点（1）求出该二次函数的表达式及点 D 的坐标；（2）若 RtAOC 沿 x 轴向右平移，使其直角边 OC 与对称轴 l 重合，再沿对称轴 l 向上平移到点 C 与点 F 重合，得到 RtA1O1F，求此时 RtA1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分图形的面积；（3）若 RtAOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0t6）得到 RtA2O2C2，RtA2O2C2 与 RtOED 重叠部分图 形的面积记为 S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围 第 6 页（共 27 页）史(2019 年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正 确的选项选出来）1（4 分）已知|a|1，b 是 2 的相反数，则 a+b 的值为（）A3 B1 C1 或3 D1 或3【分析】先根据绝对值和相反数得出 a、b 的值，再分别计算可得【解答】解：|a|1，b 是 2 的相反数，a1 或 a1，b2，当 a1 时，a+b121；当 a1 时，a+b123；综上，a+b 的值为1 或3，故选：C【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出 a、b 的值 2（4 分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为 0.000073 米，将 0.000073 用科学记 数法表示为（）A73106 B0.73104 C7.3104 D7.3105【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是 其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000073 用科学记数法表示为 7.3105，故选：D【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不 为零的数字前面的 0 的个数所决定 3（4 分）如图所示，圆锥的主视图是（）第 7 页（共 27 页）史(A B C D【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视 图 4（4 分）一把直尺和一块三角板 ABC（含 30、60角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 D 和点 E，另一边与三角板的两直角边分别交于点 F 和点 A，且CED50，那么BFA 的大小为（）A145 B140 C135 D130【分析】先利用三角形外角性质得到FDEC+CED140，然后根据平行线的性质得到BFA 的度数【解答】解：FDEC+CED90+50140，DEAF，BFAFDE140 故选：B【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角 相等 5（4 分）下列运算正确的是（）A（ab）2a2b2 Ba2+a2a4 C（a2）3a5 Da2a3a6 第 8 页（共 27 页）史(【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析 判断后利用排除法求解【解答】解：A 选项，积的乘方：（ab）2a2b2，正确 B 选项，合并同类项：a2+a22a2，错误 C 选项，幂的乘方：（a2）3a6，错误 D 选项，同底数幂相乘：a2a3a5，错误 故选：A【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关 键 6（4 分）已知 a+b，则代数式 2a+2b3 的值是（）A2 B2 C4 D3【分析】注意到 2a+2b3 只需变形得 2（a+b）3，再将 a+b，整体代入即可【解答】解：2a+2b32（a+b）3，将 a+b 代入得：2 32 故选：B【点评】此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可 7（4 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区 域内的概率为（）A B C D【分析】用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 2a，针尖落在黑色区域内的概率 第 9 页（共 27 页）史(故选：C【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率某事件所占有的面积与总面积之比 8（4 分）如图，等边OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为（）A（1，1）B（1，）C（，1）D（，）【分析】过点 B 作 BHAO 于 H 点，OAB 是等边三角形，所以可求出 OH 和 BH 长【解答】解：过点 B 作 BHAO 于 H 点，OAB 是等边三角形，OH1，BH 点 B 的坐标为（1，）故选：B【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质 9（4 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE若D80，则 EAC 的度数为（）A20 B25 C30 D35【分析】根据菱形的性质得到ACB DCB（180D）50，根据圆内接四边形的性质得到AEB D80，由三角形的外角的性质即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，D80，第 10 页（共 27 页）史(ACB DCB（180D）50，四边形 AECD 是圆内接四边形，AEBD80，EACAEBACE30，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键 10（4 分）已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 M 的 运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A B C D【分析】先观察图象得到 y 与 x 的函数图象分三个部分，则可对有 4 边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P 点 在圆上运动时，开始 y 随 x 的增大而增大，然后 y 随 x 的减小而减小，则可对 D 进行判断，从而得到正确选项【解答】解：y 与 x 的函数图象分三个部分，而 B 选项和 C 选项中的封闭图形都有 4 条线段，其图象要分四个部分，所以 B、C 选项不正确；A 选项中的封闭图形为圆，开始 y 随 x 的增大而增大，然后 y 随 x 的减小而减小，所以 A 选项不正确；D 选项为三角形，M 点在三边上运动对应三段图象，且 M 点在 P 点的对边上运动时，PM 的长有最小值 故选：D【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力用图象解决问题时，要理清图象的含义 即会识图 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。只要求填写最后结果）11（4 分）函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解【解答】解：依题意，得 x20，解得：x2，故答案为：x2【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 第 11 页（共 27 页）史(12（4 分）分式方程 0 的解是 x2 【分析】先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可【解答】解：原式通分得：0 去分母得：x2（x1）0 去括号解得，x2 经检验，x2 为原分式方程的解 故答案为 x2【点评】本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程 求解 13（4 分）一组数据 2.2，3.3，4.4，11.1，a其中整数 a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是 5 【分析】先利用中位数的定义得到 a4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数【解答】解：整数 a 是这组数据中的中位数，a4，这组数据的平均数（2.2+3.3+4.4+4+11.1）5 故答案为 5【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处 于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中 位数也考查了算术平方根 14（4 分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 20000 元，到 2018 年人均年收入达到 39200 元则该地区居民年人均收入平均增长率为 40%（用百分数表示）【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为 x，20000（1+x）239200，解得，x10.4，x22.4（舍去），该地区居民年人均收入平均增长率为 40%，故答案为：40%【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率 15（4 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，若 M4a+2b，Nab则 M、N 的大小关系为 M N（填 第 12 页（共 27 页）史(“”、“”或“”）【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：当 x1 时，yab+c0，当 x2 时，y4a+2b+c0，MN4a+2b（ab）4a+2b+c（ab+c）0，即 MN，故答案为：【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型 16（4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知D 经过原点 O，与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，B 点坐标为（0，2），OC 与D 交于点 C，OCA30，则圆中阴影部分的面积为 22 （结果保留根号和）【分析】连接 AB，根据AOB90可知 AB 是直径，再由圆周角定理求出OBAC30，由锐角三角函数 的定义得出 OA 及 AB 的长，根据 S 阴影S 半圆SABO 即可得出结论【解答】解：连接 AB，AOB90，AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得OBAC30，OB2，OAOBtanABOOBtan302 2，ABAOsin304，即圆的半径为 2，S 阴影S 半圆SABO 22 22 第 13 页（共 27 页）史(故答案为：22 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 17（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边 上的点 F 处，那么 sinEFC 的值为 【分析】先根据矩形的性质得 ADBC5，ABCD3，再根据折叠的性质得 AFAD5，EFDE，在 RtABF 中，利用勾股定理计算出 BF4，则 CFBCBF1，设 CEx，则 DEEF3x，然后在 RtECF 中根据勾 股定理得到 x2+12（3x）2，解方程即可得到 x，进一步得到 EF 的长，再根据正弦函数的定义即可求解【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，ADBC5，ABCD3，矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处，AFAD5，EFDE，在 RtABF 中，BF 4，CFBCBF541，设 CEx，则 DEEF3x 在 RtECF 中，CE2+FC2EF2，x2+12（3x）2，解得 x，EF3x，sinEFC 故答案为：【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 第 14 页（共 27 页）史(化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质和勾股定理 18（4 分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图形中共有 6058 个【分析】根据题目中的图形，可以发现的变化规律，从而可以得到第 2019 个图形中的个数【解答】解：由图可得，第 1 个图象中的个数为：1+314，第 2 个图象中的个数为：1+327，第 3 个图象中的个数为：1+3310，第 4 个图象中的个数为：1+3413，第 2019 个图形中共有：1+320191+60576058 个，故答案为：6058【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中的变化规律，利用数形结合的思想解 答 三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）19（10 分）（1）计算：（2）3+2sin30+（2019）0+|4|（2）先化简，再求值：（1），其中 x 的值从不等式组 的整数解中选取【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的 x 的值代 入计算可得【解答】解：（1）原式8+42+1+4 8+41+1+4 ；第 15 页（共 27 页）史(（2）原式 ，解不等式组 得1x3，则不等式组的整数解为1、0、1、2，x1，x0，x2，则原式 2【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一 次不等式组的能力 20（8 分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制 成如下两幅不完整的统计图请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了 50 名学生（2）请你补全条形统计图（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 115.2 度（4）请根据样本数据，估计该校 1200 名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用 360 度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用 1200 乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可【解答】解：（1）816%50，第 16 页（共 27 页）史(所以在这次调查中，一共抽查了 50 名学生；（2）喜欢戏曲的人数为 5081012164（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为 360 115.2；故答案为 50；115.2；（4）1200 288，所以估计该校 1200 名学生中喜欢“舞蹈”项目的共 288 名学生【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较也考查了扇形统计图 21（10 分）如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y 的图象交于 A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于 M、N 两点（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出 kx+b 0 中 x 的取值范围；（3）求AOB 的面积【分析】（1）将点 A、点 B 的坐标分别代入解析式即可求出 m、n 的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出 x 的范围即可；第 17 页（共 27 页）史(（3）将AOB 的面积转化为 SAONSBON 的面积即可【解答】解：（1）点 A 在反比例函数 y 上，4，解得 m1，点 A 的坐标为（1，4），又点 B 也在反比例函数 y 上，n，解得 n2，点 B 的坐标为（2，2），又点 A、B 在 ykx+b 的图象上，解得，一次函数的解析式为 y2x+6（2）根据图象得：kx+b 0 时，x 的取值范围为 x0 或 1x2；（3）直线 y2x+6 与 x 轴的交点为 N，点 N 的坐标为（3，0），SAOBSAONSBON 34 323【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的 关键 四、解答题（本大题共 50 分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）22（7 分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，文化墙 PM 在天桥底部正前方 8 米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1：（参考数据：1.414，1.732）（1）若新坡面坡角为，求坡角 度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理 由【分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得 PA 的长度，然后与 3 比较大小即可解答本题【解答】解：（1）新坡面坡角为，新坡面的坡度为 1：，第 18 页（共 27 页）史(tan，30；（2）该文化墙 PM 不需要拆除，理由：作 CDAB 于点 D，则 CD6 米，新坡面的坡度为 1：，tanCAD，解得，AD6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，CD6 米，BD6 米，ABADBD（6）米，又PB8 米，PAPBAB8（6）146 1461.7323.6 米3 米，该文化墙 PM 不需要拆除【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和 数形结合的思想解答 23（10 分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规 定这种商品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数 关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的 销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法求解可得 y 关于 x 的函数解析式；第 19 页（共 27 页）史(（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求 解可得【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数解析式为 ykx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以 y 与 x 的函数解析式为 yx+40（10 x16）；（2）根据题意知，W（x10）y（x10）（x+40）x2+50 x400（x25）2+225，a10，当 x25 时，W 随 x 的增大而增大，10 x16，当 x16 时，W 取得最大值，最大值为 144，答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次 函数解析式及二次函数的性质 24（10 分）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D过点 A 作O 的切线与 OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC60，AB10，求线段 CF 的长【分析】（1）连接 OC，可以证得OAPOCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP90，即 OCPC，即可证得；第 20 页（共 27 页）史(（2）先证OBC 是等边三角形得COB60，再由（1）中所证切线可得OCF90，结合半径 OC5 可得 答案【解答】解：（1）连接 OC，ODAC，OD 经过圆心 O，ADCD，PAPC，在OAP 和OCP 中，OAPOCP（SSS），OCPOAP PA 是O 的切线，OAP90 OCP90，即 OCPC PC 是O 的切线（2）OBOC，OBC60，OBC 是等边三角形，COB60，AB10，OC5，由（1）知OCF90，CFOCtanCOB5 第 21 页（共 27 页）史(【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的 思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题 25（10 分）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）解决问题：如图 3，分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算【解答】解：（1）四边形 ABCD 是垂美四边形 证明：ABAD，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，CBCD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线，ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等 如图 2，已知四边形 ABCD 中，ACBD，垂足为 E，求证：AD2+BC2AB2+CD2 证明：ACBD，AEDAEBBECCED90，由勾股定理得，AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2AE2+BE2+CE2+DE2，第 22 页（共 27 页）史(AD2+BC2AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2AB2+CD2（3）连接 CG、BE，CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB 和CAE 中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+AME90，ABG+AME90，即 CEBG，四边形 CGEB 是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2，AC4，AB5，BC3，CG4，BE5，GE2CG2+BE2CB273，GE 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四 边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键 26（13 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0）、B（9，0）和 C（0，4），CD 垂直于 y 轴，交抛物线 于点 D，DE 垂直于 x 轴，垂足为 E，直线 l 是该抛物线的对称轴，点 F 是抛物线的顶点 第 23 页（共 27 页）史(（1）求出该二次函数的表达式及点 D 的坐标；（2）若 RtAOC 沿 x 轴向右平移，使其直角边 OC 与对称轴 l 重合，再沿对称轴 l 向上平移到点 C 与点 F 重合，得到 RtA1O1F，求此时 RtA1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分图形的面积；（3）若 RtAOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0t6）得到 RtA2O2C2，RtA2O2C2 与 RtOED 重叠部分图 形的面积记为 S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围【分析】（1）将点 A（3，0）、B（9，0）和 C（0，4）代入 yax2+bx+c 即可求出该二次函数表达式，因为 CD 垂直于 y 轴，所以令 y4，求出 x 的值，即可写出点 D 坐标；（2）设 A1F 交 CD 于点 G，O1F 交 CD 于点 H，求出顶点坐标，证FGHFA1O1，求出 GH 的长，因为 RtA1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形是梯形 A1O1HG，所以 S 重叠部分 SFGH，即可求出结果；（3）当 0t3 时，设 O2C2 交 OD 于点 M，证OO2MOED，求出 O2M t，可直接求出 S OO2 O2M t2；当 3t6 时，设 A2C2 交 OD 于点 M，O2C2 交 OD 于点 N，分别求出直线 OD 与直线 A2C2 的解析式，再求出其交点 M 的坐标，证DC2NDCO，求出 C2N（6t），由 S 可求出 S 与 t 的函数表达式【解答】解：（1）抛抛线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0）、B（9，0）和 C（0，4），抛物线的解析式为 ya（x+3）（x9），点 C（0，4）在抛物线上，427a，a，抛物线的解析式为：y（x+3）（x9）x2+x+4，CD 垂直于 y 轴，C（0，4），令 x2+x+44，解得，x0 或 x6，点 D 的坐标为（6，4）；第 24 页（共 27 页）史(（2）如图 1 所示，设 A1F 交 CD 于点 G，O1F 交 CD 于点 H，点 F 是抛物线 y x2+x+4 的顶点，F（3，），FH 4，GHA1O1，FGHFA1O1，解得，GH1，RtA1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形是梯形 A1O1HG，S 重叠部分 SFGH A1O1O1F GHFH ；（3）当 0t3 时，如图 2 所示，设 O2C2 交 OD 于点 M，C2O2DE，OO2MOED，O2M t，S OO2O2M t t t2；当 3t6 时，如图 3 所示，设 A2C2 交 OD 于点 M，O2C2 交 OD 于点 N，第 25 页（共 27 页）史(将点 D（6，4）代入 ykx，得，k，yOD x，将点（t3，0），（t，4）代入 ykx+b，得，解得，k，b t+4，直线 A2C2 的解析式为：y x t+4，联立 yOD x 与 y x t+4，得，x x t+4，解得，x6+2t，两直线交点 M 坐标为（6+2t，4+t），故点 M 到 O2C2 的距离为 6t，C2NOC，DC2NDCO，C2N（6t），S OAOC C2N（6t）34 （6t）（6t）t2+4t6；S 与 t 的函数关系式为：S 第 26 页（共 27 页）史(【点评】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意 画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出 第 27 页（共 27 页）史