2020年高考数学(理)之数列专题09数列的求和(分组求和、倒序相加法)(解析版)11643.pdf

1 数列 09 数列的求和(分组求和、倒序相加法)一、具体目标：一、二、知识概述：具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法；2.掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和.二、知识概述：求数列前n项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：11()(1)22nnn aan nSnad；等比：11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，（2）掌握一些常见的数列的前n项和公式：21321nnn；nnn22642；qaS11【考点讲解】2 2531nn；61213212222nnnn；2333321321nnn（3）倒序相加法求和：如果一个数列 na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列 nc的通项公式nnncab，其中 na、nb中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和这种方法叫q倍错位相减法 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为 an,nnb nc n为奇数为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 形如：nnba 其中是等比数列是等差数列nnba，NkknngNkknnfan,2,12,（6）并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 1nnaf n 类型，可采用两项合并求解.合并求和：如求22222212979899100的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项.常见拆项：111;(1)1n nnn 1111;(21)(21)2 2121nnnn 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；nnnn111.3 1.【2019 优选题】设数列2232111212212231222n，的前 n 项和为nS，则的值为nS（）A.2n B.2nn C.122n D.122nn【解析】由题意可知数列的通项为211 1212222112nnnna，所以有 232 1212121nnS =2312 1 22222221 2nnnnnn.【答案】D 2.【2019 优选题】数列 2，,21,814,413,2121nn的前 n 项之和为（）A.nnn2122)1(B.nnn2112)1(C.122124nnn D.122124nnn【解析】本题考点是分组求和在求数列和的具体运用.原式121021213212211nn 110212121321nn 122124nnn【答案】C 3.【2019 优选题】数列 na的通项公式是 121nann，则该数列的前 100 项之和为（）A200 B100 C200 D100【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用.根据题意有 1001 3579211971992 50100S ，【真题分析】4 故选 D【答案】D 4.【2019 优选题】1210100510311nn的值为（）A.2)110(910nn B.21)110(910nn C.21)110(91nn D.2)1()110(910nn【解析】原式121051031011032nn 125311010102nn=2)110(910nn【答案】A 5.【2019 优选题】1110113112111,244)(ffffxfxx则设 .【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用.f(x)4x4x2，f(1x)41x41x2224x，f(x)f(1x)4x4x2224x1.1231011111111S ffff设=1098111111111S ffff=两式相加可得101921102111111111111Sffffff=2=10S，=5S.【答案】5 6.设 f(x)4x4x2，若 Sf(12 015)f(22 015)f(2 0142 015)则 S_.【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用 f(x)4x4x2，f(1x)41x41x2224x，f(x)f(1x)4x4x2224x1.Sf(12 015)f(22 015)f(2 0142 015)，5 Sf(2 0142 015)f(2 0132 015)f(12 015)，得，2Sf(12 015)f(2 0142 015)f(22 015)f(2 0132 015)f(2 0142 015)f(12 015)2 014，S2 01421 007.【答案】1007 7.【2018 年高考天津卷文数】设an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（nN*）；bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN*）已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6（1）求 Sn和 Tn；（2）若 Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值【解析】（1）设等比数列nb的公比为 q，由 b1=1，b3=b2+2，可得220qq 因为0q，可得2q，故12nnb所以，122112nnnT 设等差数列na的公差为d由435baa，可得134ad由5462baa，可得131316,ad从而11,1ad，故nan，所以，(1)2nn nS（2）由（1），有131122(12)(222)=22.12nnnnTTTnnn 由12()4nnnnSTTTab可得11(1)2222nnn nnn，整理得2340,nn解得1n（舍），或4n 所以 n 的值为 4【答案】（1）(1)2nn nS，21nnT；（2）4.8.【2019 优选题】已知数列 na满足651a，若对于任意2,*nNn，二次方程0121xaxann都有根,，且满足133。（1）求证：21na是等比数列；（2）求数列 na的通项公式；（3）求数列 na的前 n 项和nS。【分析】本题考查等差数列等比数列的通项公式、前 n 项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.第一问，利用根与系数关系，得到两根之和、两根之积，代入到331中，得到na和1na的关系式，再用配凑法，凑出一个新的等比数列；第二问，利用第一问的结论，先求出新数列 6 12na的通项公式，再求na；第三问，用分组求和的方法，分别是等比数列和等差数列，直接用前 n 项和公式求和即可.【解析】（1）由题意可知0121xaxann都有根,，且满足133.所以有111nnnaaa，整理得11311nnnaaa，可得131nnaa，得到111322nnaa.而11123a，所以数列12na是以13为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）可得1123nna，所以有1132nnanN.（3）231111111132323232nnS23111133332nn 111331213nn=11 11122 3222 3nnnn.9.在递增的等比数列an中，a26，且 4（a3a2）a46（1）求an的通项公式；（2）若 bnan+2n1，求数列bn的前 n 项和 Sn【分析】（1）利用已知条件求出公比与首项，然后求解通项公式（2）利用递推关系式，结合拆项法求解数列的和即可【解析】（1）设公比为 q，由 4（a3a2）a46，得 4（6q6）6q26，化简得 q24q+30，解得 q3 或 q1，因为等比数列an是递增的，所以 q3，a12，所以Nnann132.（2）由（1）得12321nbnn，所以125313218621nSnn，则212131312nnSnn，所以132nSnn 7 1.已知 2468 10 1212nnSn 【模拟考场】8 则502015SSS .【解析】本题考点是分组求和在求数列求和的具体运用.3028261210864215 S 30)2826()1210()86()42(307)2(16 40381210864220 S )4038()1210()86()42(10)2(20 同理 5025)2(50S 152050162050SSS 46.2.计算：22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89.【解析】本题考点是倒序相加求和，同角三角函数平方和为 1.因为：2222sinsin(90)sincos1，设22222Ssin 1sin 2sin 3sin 88sin 89 22222Ssin 89sin 88sin 3sin 2sin 1 从而，222222222S(sin 1sin 89)(sin 2sin 88)(sin 88sin 2)(sin 89sin 1)89.所以2222289Ssin 1sin 2sin 3sin 88sin 892.【答案】892 3.设221)(xxf，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(fffff的值为：.【解析】本题考点是倒序相加求和的具体运用.因为 f x=221x，所以1fx=xxxxx2222122222211 9 1f xfx12122222xxx112222xx1(22)222xx 22 设 546Sfff，则 655Sfff 所以：2(65)(56)Sffff=62 即：546Sfff=32.【答案】32 4.求1111111111个nnS的和.【解析】因为1111个kka=121010101k=11091k 所以110110110912nnS nn101010912 nn9110109181109101nn.5.求和：【解析】原式=222222221009998974321 1009998972 1 100110050502 6.求和：12350.【解析】解法一：令12350S 501 502S 1275 所以可得12350 的和为1275.解法二：令12350S 则有5049481S 将两式相加得：21 5050S )12()34()9798()99100(22222222 10 501 502S 1275 所以可得12350 的和为1275.7.)(.)2()1(2naaan【解析】原式=2(.)(12.)naaan 2(1)(.)2nn naaa 2(1)(1)(1)12(1)22naan naanna 8.已知函数（I）求（II）已知数列满足,求数列的通项公式;()求证:.【解析】()因为 所以设 S=（1）S=.(2)(1)+(2)得:=,所以 S=3012()由两边同减去 1,得 321,.212xF xxx122008.;200920092009FFF na12a 1nnaF a na123.21na a aan 3 123213212 11xxF xFxxx122008.;200920092009FFF.200820071.200920092009FFF1200822007200812.200920092009200920092009SFFFFFF3 20086024 1nnaF a1321112121nnnnnaaaaa 11 所以,所以,是以 2 为公差以为首项的等差数列,所以 因为 所以 所以.9.已知an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a655,a2+a716.()求数列an的通项公式：（）若数列an和数列bn满足等式：an，求数列bn的前 n 项和Sn 【解析】（1）设等差数列的公差为 d，则依题设 d0 由 a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即.（2）令 1211211121111nnnnnnaaaaaa111211nnaa11na1111a1212211nnna1212121nnann 222212121nnnn 221212nnnn23 45221,.12 34212nnnn21231232 2 4 422.1 1 3 321 21nnnna a aaa a aann2 3 4 5221.211 2 3 4212nnnnn)(2.222n33221为正整数nbbbbn na12716ad3655,aa11(2)(5)55adad12167ad(163)(163)220dd22569220d24,0,2,11(1)221ndddann 1又代入得a121121,2nnnnnnnbcaccc accc则有 12 两式相减得 于是=-4=10.已知nS是数列 na的前n项和，123,22aa，且113210nnnSSS，其中*2,nnN.（1）求证数列1na 是等比数列；（2）求数列 na的前n项和nS.【解析】113210nnnSSS 112()1nnnnSSSS 即121(2)nnaan 又123,22aa也满足上式，*121()nnaanN 112(1)nnaa（*nN）数列1na 是公比为 2，首项为1112a 的等比数列（2）由，1211222nnna 有221nna，于是有 12.nnSaaa 1012212121.21n 10122222nn212nnnN.111111111,(1)1,22,2(2),22222,(1)2(2)nnnnnnnnnnnaacaaaccnnbbanbn由得即当时，又当n=1 时，3411232222nnnSbbbb234122222n1222(21)426,262 1nnnnS即