2020高考数学之冲破压轴题讲与练专题06函数、导数与数列、不等式的综合应用【解析版】11784.pdf

1 第一章 函数与导数 专题 06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围.如 2.涉及等差数列的求和公式问题，应用二次函数图象和性质求解.3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法”、“裂项相消法”等，先求和、再构造函数.【压轴典例】例 1.（2018浙江高考真题）已知成等比数列，且若，则 A B C D【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，当时，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则 但，即，不合题意；因此，2，选 B.例 2.（2019全国高考真题（文）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【答案】（1）210nan；（2）110()nnN.【解析】（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，根据题意有1119 89(4)224adadad，解答182ad，所以8(1)(2)210nann ，所以等差数列 na的通项公式为210nan；（2）由条件95Sa，得559aa，即50a，因为10a，所以0d，并且有5140aad，所以有14ad，由nnSa得11(1)(1)2n nnadand，整理得2(9)(210)nn dnd，因为0d，所以有29210nnn，即211100nn，解得110n，所以n的取值范围是：110()nnN 例 3.（2019江苏高考真题）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：245132,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:111221,nnnbSbb，其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有1kkkcbc剟成立，求m的 3 最大值【答案】（1）见解析；（2）bn=n*nN；5.【解析】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq 因此数列na为“M数列”.（2）因为1122nnnSbb，所以0nb 由1111,bSb得212211b，则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，当2n 时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n*nN.由知，bk=k，*kN.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以1kkqkq，其中k=1，2，3，m.当k=1 时，有q1；当k=2，3，m时，有lnlnln1kkqkk 设f（x）=ln(1)xxx，则21 ln()xf xx 令()0f x，得x=e.列表如下：4 x(1,e)e(e，+)()f x+0 f（x）极大值 因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3f kf 取33q，当k=1，2，3，4，5 时，lnlnkqk，即kkq，经检验知1kqk也成立 因此所求m的最大值不小于 5 若m6，分别取k=3，6，得 3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于 6.综上，所求m的最大值为 5 例 4.（2010湖南高考真题）数列中，是函数的极小值点（）当 a=0 时，求通项；（）是否存在 a，使数列是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析【解析】易知.令.（1）若，则 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.5 故在取得极小值.由此猜测：当时，.下面先用数学归纳法证明：当时，.事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当时，成立，则由（2）知，从而，所以.故当时，成立.于是由（2）知，当时，而，因此.综上所述，当时，.（）存在，使数列是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的，都有，则.即数列是首项为，公比为 3 的等比数列，且.而要使，即对一切都成立，只需对一切都成立.记，则 6 令，则.因此，当时，从而函数 当时，可得数列不是等比数列.综上所述，存在，使数列是等比数列，且 的取值范围为.例 5.（2017浙江高考真题）已知数列 nx满足：*1nn 1n 1x=1xxln 1xnN，证明：当*nN时（I）n 1n0 xx;（II）nn 1n 1nx x2x-x2；(III)nn 1n-211x22【答案】（I）见解析；（II）见解析；（）见解析.【解析】（）用数学归纳法证明：0nx 当n=1 时，x1=10 假设n=k时，xk0，那么n=k+1 时，若10kx，则110ln 10kkkxxx，矛盾，故10kx 因此*0nxnN 所以111ln 1nnnnxxxx，7 因此*10nnxxnN（）由11ln 1nnnxxx得，21111114222 ln 1nnnnnnnnx xxxxxxx 记函数 222 ln 10f xxxxxx，22ln 10(0)1xxfxxxx，函数f(x)在0，+）上单调递增，所以 0f xf=0，因此 21111122 ln 10nnnnnxxxxf x，故*1122nnnnx xxxnN（）因为11111ln 12nnnnnnxxxxxx，所以112nnx，由1122nnnnx xxx，得111112022nnxx，所以1211111111222222nnnnxxx，故212nnx 综上，*121122nnnxnN 例 6.（2019湖南高考模拟（理）设函数()ln(1)(0)f xxx，(1)()(0)1x xag xxx.（1）证明：2()f xxx.（2）若()()f xxg x恒成立，求a的取值范围；（3）证明：当*nN时，22121ln(32)49nnnnL.【答案】（1）见解析；（2）(,1；（3）见解析.【解析】8（1）证明：令函数 2h xln x 1xx，x0,，212xxh x2x101x1x，所以 h x为单调递增函数，h xh 00，故2ln x 1xx.（2）f xxg x，即为axln x11x，令 axm xln x11x，即 m x0恒成立，22a 1xax1x1 am xx11x1x，令 m x0，即x 1 a0，得xa 1.当a 10，即a1时，m x在0,上单调递增，m xm 00，所以当a1时，m x0在0,上恒成立；当a 10，即a1时，m x在a 1,上单调递增，在0,a 1上单调递减，所以 minm xm a 1m 00，所以 m x0不恒成立.综上所述：a的取值范围为,1.（3）证明：由（1）知2ln x 1xx，令1xn，*nN，x0,1，2n1n1lnnn，即2n1ln n1lnnn，故有ln2ln10，1ln3ln24，9 2n1ln n1lnnn，上述各式相加可得212n1ln n149nL.因为 22n3n2n1n10，2n3n2n1，2ln n3n2ln n1，所以2212n1ln n3n249nL.例 7.（2018福建省安溪第一中学高三期中（文）公差不为零的等差数列中，成等比数列，且该数列的前 10 项和为 100，数列的前n项和为，且满足 求数列，的通项公式；令，数列的前n项和为，求的取值范围【答案】（I），；（II）.【解析】依题意，等差数列的公差，成等比数列，即，整理得：，即，又等差数列的前 10 项和为 100，即，整理得：，；，即，当时，即，10 数列是首项为 1、公比为 2 的等比数列，；由可知，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，记，则，故数列随着n的增大而减小，又，例 8.（2019江苏高考模拟）已知数列满足（），（）11（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，成等差数列 求数列的通项公式；证明：【答案】（1）见解析；（2），见解析【解析】（1）由，得，得，即，因为，所以，所以（），所以是以为首项，2 为公比的等比数列（2）设，由（1）知，所以，即，所以因为，成等差数列，则，所以，所以，所以，即 要证，即证，即证 设，则，且，从而只需证，当时，设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证【压轴训练】12 1（黑龙江省哈尔滨三中高考模拟）已知1(1)32(1,2)nnnbbabnb，若对不小于 4 的自然数n，恒有不等式1nnaa成立，则实数b的取值范围是_【答案】3（，）【解析】由题设可得1(1)(1)32(1)32nnnbbnbbbb，即22(1)341n bbb，也即(1)31n bb对一切4n 的正整数恒成立，则3141bbb，即31444 311bbbb，所以3b，应填答案(3,).2.（2019山东济南一中高三期中（理）（1）已知函数的图象经过点，如图所示，求的最小值；（2）已知对任意的正实数 恒成立，求 的取值范围.【答案】（1）最小值，当且仅当时等号成立；（2）【解析】函数的图象经过点，当且仅当时取等号 令，13，当时，递增 当时，递减 代入时，令，综上所述，的取值范围为 3.（2019桃江县第一中学高三月考（理）已知都是定义在 R 上的函数，且，且，若数列的前 n 项和大于62，求 n 的最小值.【答案】6【解析】，即，数列为等比数列，即，所以 n 的最小值为 6.4.（2019福建省漳平第一中学高三月考（文）已知数列的首项，前 项和满足，.（1）求数列通项公式；14（2）设，求数列的前 项为，并证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当时，得.又由及得 ，数列是首项为，公比为 的等比数列，所以.（2），得：，所以，又，故，令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以.5.（2019江苏高考模拟（文）已知正项等比数列na的前n项和为nS，且218S，490S.（1）求数列na的通项公式；（2）令2115log3nnba，记数列 nb的前n项和为nT，求nT及nT的最大值.【答案】（1）3 2nna（2）22922nnnT ；最大值为105.【解析】（1）设数列na的公比为(0)q q，若1q，有414Sa，212Sa，而4490236SS，故1q，15 则21242211411811119011aqSqaqaqqSqq，解得162aq.故数列na的通项公式为1623 2nnna.（2）由215log 215nnbn，则2(14 15)29222nnnnnT.由二次函数22922xxy 的对称轴为292921222x ，故当14n 或 15 时nT有最大值，其最大值为14 151052.6.（2019黑龙江高三月考（理）已知数列的前 n 项和为,其中，数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)令，数列的前 n 项和为，若对一切恒成立，求实数 k 的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由可得，两式相减得:，又由可得，数列是首项为 2，公比为 4 的等比数列，从而，于是.（2）由（1）知，16 于是 ，依题意对一切恒成立，令，则 由于易知，即有，只需，从而所求 k 的最小值为.7.（2018浙江高考模拟）已知数列满足，（）（）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（）设数列的前 项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求 的最小值【答案】（）证明见解析，；（）.【解析】（n+1）an+1（n+2）an=2，=2（），又=1，当 n2 时，=+（）+（）+（）=1+2（+）=，17 又=1 满足上式，=，即 an=2n，数列an是首项、公差均为 2 的等差数列；（）解：由（I）可知=n+1，bn=n=n，令 f（x）=x，则 f（x）=+xln，令 f（x）=0，即 1+xln=0，解得：x04.95，则 f（x）在(0,x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.0f（x）maxf（4），f（5），f（6），又b5=5=，b4=4=，b6=6=，M 的最小值为 8.（2018浙江镇海中学高三期中）已知数列的前 项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出 的取值范围，若不存在请说明理由【答案】（1）证明略；（2）【解析】证明：（1）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且，当 n=1 时，则：当 n2 时，得：an=2an2an1+，整理得：，18 所以：，故：（常数），故：数列an是以为首项，2 为公比的等比数列 故：，所以：由于：，所以：（常数）故：数列bn为等比数列（2）由（1）得：，所以：+（），=，=，假设存在实数，对任意 m，nN*，不等式恒成立，即：，由于：，故当 m=1 时，所以：，当 n=1 时，故存在实数，且 19 9.（2019宁夏银川一中高三月考（理）（1）当时，求证：；（2）求的单调区间；（3）设数列的通项,证明【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）的定义域为，恒成立；所以函数在上单调递减，得时即：（2）由题可得，且.当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，（3）由题意知.由（1）知当时 当时即 令则，20 同理:令则.同理:令则 以上各式两边分别相加可得：即 所以：10.（2019北京人大附中高考模拟（理）已知数列an满足：a1+a2+a3+an=n-an，（n=1，2，3，）（）求证：数列an-1是等比数列；（）令 bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，），如果对任意 nN*，都有 bn+tt2，求实数 t 的取值范围【答案】（）见解析.（）.【解析】（）由题可知：，-可得.即：，又.所以数列是以为首项，以 为公比的等比数列.（）由（）可得，.由可得，由可得.所以，故有最大值.所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立.21 所以，解得或.所以，实数 的取值范围是.11.（2019江苏高三月考）已知数列的各项均为正数，前 项和为，首项为 2若对任意的正整数，恒成立（1）求，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，（，）为等差数列，求 的最大值【答案】（1）,，；（2）详见解析；（3）3.【解析】（1）由，对任意的正整数，恒成立 取，得，即，得.取，得，取，得，解得，.（2）取，得，取，得，两式相除，得，即，即.由于，所以对任意均成立，22 所以是首项为 4，公比为 2 的等比数列，所以，即.时，而也符合上式，所以.因为（常数），所以是等比数列.（3）由（2）知，.设，成等差数列，则.即，整理得，.若，则，因为，所以只能为 2 或 4，所以 只能为 1 或 2.若，则.因为，故矛盾.综上，只能是，成等差数列或，成等差数列，其中 为奇数.所以 的最大值为 3.12（2019上海高考模拟）已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为 求，并猜想不要求证明)；令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由；23 已知数列满足：，数列满足：，求证：【答案】，,；详见解析【解析】，猜想，由，对任意恒成立 证明：，记，则，记，则，当时，可知：，13（2019广西高考模拟（理）已知函数2()2 ln1()f xaxxxaR.24(1)若1xe时,函数()f x取得极值,求函数()f x的单调区间；(2)证明：*11111ln(21)3521221nnnnnN.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意可得，222(0,)fxaxlnxxaR，由1xe时，函数 f x取得极值知12220afee，所以0a 所以 21,22(0)f xxlnxfxlnxx ，所以10 xe时，0fx；1xe时，0fx；所以 f x的单调增区间10e，单调减区间为1e，.（2）当1a 时，221f xxxlnx，所以 22221fxxlnxxlnx，令 ln1g xxx，则 111xgxxx，当01x时，0gx；当1x 时，0gx，g x的单调减区间为 01，单调增区间为1，所以 10g xg，所以 0fx，f x是增函数，所以1x 时，22 ln110f xxx xf，所以1x 时，12lnxxx，令*211,21nxnNn，得2121212ln212121nnnnnn 即2221112ln212121nnnn 所以1121111ln2122122121nnnnn 上式中123n，n，然后n个不等式相加，得到11111.ln 213521221nnnn 14.（2019宁夏高考模拟（文）已知函数 ln1(0)f xaxxa 25 1求函数 yf x的单调递增区间；2设函数 316g xxf x，函数 h xg x 若 0h x 恒成立，求实数a的取值范围；证明：22222ln(1 2 3)123.ennnN 【答案】（1）单调递增区间为1,（2）0,e见证明【解析】10a，0 x 1ln1ln0fxaxaxa xx 解得1x 函数 yf x的单调递增区间为1,2函数 316g xxf x，函数 21h=xln2xgxa x ahxxx，0a 时，函数 h x单调递增，不成立，舍去；0a 时，xaxaahxxxx，可得xa时，函数 h x取得极小值即最小值，11ln022h xhaaa a，解得：0ae 实数a的取值范围是0,e 证明：由可得：ae，1x时满足：22 lnxe x，只有1x 时取等号 依次取xn，相加可得：222221232ln1 ln2lnln(1 2)enenn 因此22222ln(1 2 3)123.ennnN 15.（2019黑龙江高考模拟（理）已知函数2()2ln2(1)(0)af xaxxaax.（1）若()0f x 在1,)上恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：11113521nL*1ln(21)()221nnnNn.26【答案】（1）1,)；（2）证明见解析.【解析】（1）f x的定义域为0,，2222222aaxxafxaxxx 221aa xxax.当01a时，21aa，若21axa，则 0fx，f x在21,aa上是减函数，所以21,axa时，10f xf，即 0f x 在1,上不恒成立.当1a 时，21aa，当1x 时，0fx，f x在1,上是增函数，又 10f，所以 0f x.综上所述，所求a的取值范围是1,.（2）由（1）知当1a 时，0f x 在1,上恒成立.取1a 得12ln0 xxx，所以12lnxxx.令21121nxn，*nN，得2121212ln212121nnnnnn，即2221112ln212121nnnn，所以1121111ln2122122121nnnnn.上式中1,2,3,nnL，然后n个不等式相加，得到11111ln 213521221nnnnL.16.（2019江苏高考模拟）已知数列 na，12a，且211nnnaaa对任意nN恒成立（1）求证：112211nnnnaa aaa aL(nN)；（2）求证：11nnan(nN)【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】27（1）当1n 时，2221112213aaa 满足211aa成立.假设当nk时，结论成立.即：112211kkkkaa aaa aL成立 下证：当1nk时，112211kkkkaaa aa aL成立.因为211211111kkkkkaaaaa 1122111221111 1kkkkkkkkaa aaa aaa aaa a LL 即：当1nk时，112211kkkkaaa aa aL成立 由、可知，112211nnnnaa aaa aL(n*N)成立.（2）（）当1n 时，221221311a成立，当2n 时，2322222172131112aaaaa 成立，（）假设nk时（3k），结论正确，即：11kkak成立 下证：当1nk时，1211kkak成立.因为2211112111111kkkkkkkkkaaaaakkkk 要证1211kkak，只需证12111kkkkkk 只需证：121kkkk，只需证：12lnln1kkkk 即证：12llnn10kkkk（3k）记 2 ln11 lnhxxxxx 2 ln1112ln11lnlnxxxxh x 28 21ln1ln12111xxxx 当12x 时，1111ln121ln 221ln1ln10122xxe 所以 2 ln11 lnhxxxxx在1,上递增，又 6423ln34ln3ln34ln729ln2564l0nh 所以，当3x 时，30h xh恒成立.即：当3k 时，30h kh成立.即：当3k 时，12llnn10kkkk恒成立.所以当3k，1211kkak恒成立.由（）（）可得：对任意的正整数nN，不等式11nnan恒成立，命题得证.