2020年高考数学(理)之数列专题08数列的求和(裂项相消法求和)(解析版)11691.pdf

1 数列 08 数列的求和（裂项相消法求和）一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法；2.掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和.二、知识概述：求数列前n项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：11()(1)22nnn aan nSnad；等比：11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，（2）掌握一些常见的数列的前n项和公式：21321nnn；nnn22642；2531nn；qaS11【考点讲解】2 61213212222nnnn；2333321321nnn（3）倒序相加法求和：如果一个数列 na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列 nc的通项公式nnncab，其中 na、nb中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和这种方法叫q倍错位相减法 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为 an,nnb nc n为奇数为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 形如：nnba 其中是等比数列是等差数列nnba，NkknngNkknnfan,2,12,（6）合并求和：如求22222212979899100的和.（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项.常见拆项：111;(1)1n nnn 1111;(21)(21)2 2121nnnn 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；nnnn111.3 1.【2019 年优选题】4117411071)13)(23(1nn()A.13 nn B.131nn C.1312nn D.1322nn【解析】本题运用的是裂项相消法将每项裂开两项后相加，中间的项是互为相反数相加和为零.原式=13)1311(31)131231()7141()411(31nnnnn.【答案】A 2.【2019 年优选题】设数列,11,321,211nn的前 n 项和为nS,则nS等于()A.nn1 B.nn1 C.11n D.11n【解析】本题考查的是裂项相消法求和，本题是在每项的分母有理化的同时，将每一项转化为两项后，再相加，中间项相消.因为 nnnn111.所以11321211nnSn nnnn11231211n【答案】C 3.【2019 年优选题】._321132112111n【解析】本题考点是求数列通项及裂项相消法求和.12112()123(1)1nann nnn 12111211131212112nnnnnSn.【答案】12nn【真题分析】4 4.【2017 年高考全国 II 卷理数】等差数列 na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS_【解析】设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有11234 34102adad，解得111ad，数列的前 n 项和111111222nn nn nn nSnadn ，裂项可得12112()(1)1kSk kkk，所以1111111122(1)()()2(1)223111nkknSnnnn【答案】21nn 5.【2018 年高考天津卷理数】设na是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为()nSnN，nb是等差数列.已知11a，322aa，435abb，5462abb.（1）求na和 nb的通项公式；（2）设数列nS的前 n 项和为()nT nN，（i）求nT；（ii）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnkknN.【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.（1）设等比数列na的公比为 q.由1321,2,aaa可得220qq.因为0q，可得2q，故12nna.设等差数列nb的公差为 d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd 从而11,1,bd 故.nbn 所以，数列na的通项公式为12nna，数列nb的通项公式为.nbn 5（2）（i）由（1），有122112nnnS，故 1112(12)(21)22212nnnkknnkkTnnn.（ii）证明：因为 11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT+bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn.6.【2017 年高考全国 III 卷】设数列 na满足123(21)2naanan.（1）求 na的通项公式；（2）求数列21nan 的前n项和.【解析】（1）因为1+32+（2n1）=2n，故当 n2 时，1+32+（23）1=2（n1）.两式相减得（2n1）=2，所以=221(n2).又由题设可得1=2，从而的通项公式为=221.（2）记2+1的前 n 项和为，由（1）知 2+1=2(2+1)(21)=121 12+1.则 =11 13+13 15+121 12+1=22+1.【答案】（1）122nan；（2）122nn.6 1.数列 na的前n项和为nS，若5)1(1Snnan，则等于 （）A.1 B.56 C.16 D.130【解析】因为111)1(1nnnnan，所以61515141413131212115S 6561161515141413131212115S.【答案】B 2.)13)(23(1741411nn等于 ()A.2231nn B.2131nn C.131nn D.31nn【解析】1111()(32)(31)3 3231nannnn 1 11111111:()(1)3 1447323133131nnSnnnn【答案】D 3数列 na满足12121nnannn，12nnnba a又，求数列 nb的前n项和.【解析】因为1(12)12nnann，又128(1)nnnba an n=118(1nn）12111111188()()()8 11223111nnbbbnnnn所以.4.数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列nanannS nb113,1abnab【模拟考场】7 是公比为 64 的等比数列，.（1）求；（2）求证.【解析】（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有 由知为正有理数，故为的因子之一，解得.故（2）5.已知各项都不相等的等差数列na的前六项和为 60，且2116aaa和为 的等比中项.（1）求数列na的通项公式nnSna项和及前；（2）若数列1,3),(11nnnnnbbNnabbb求数列且满足的前 n 项和 Tn.【解析】（1）设等差数列na的公差为d，则 21111)5()20(,60156dadaada解得.5,21ad 32 nan.)4(2)325(nnnnSn （2）由).,2(,111Nnnabbabbnnnnnn 2264b S,nna b1211134nSSSnad nbqd3(1)nand1nnbq1363(1)22642(6)64nnndadndabqqbqS bd q(6)64d qqd61,2,3,62,8dq132(1)21,8nnnannb35(21)(2)nSnn n1211111111 3243 5(2)nSSSn n11111111(1)2324352nn11113(1)22124nn 8 112211121112,()()()(1)(14)3(2).3,nnnnnnnnbbbbbbbbaaabnnn nb当时对也适合 )(2(Nnnnbn).211(21)2(11nnnnbn)211123(21)2114121311(21nnnnTn)2)(1(4532nnnn 6.已 知nS是 数 列 na 的 前 n 项 和，并 且1a=1，对 任 意 正 整 数 n，241nnaS；设,3,2,1(21naabnnn）.（I）证明数列nb是等比数列，并求nb的通项公式；（II）设loglog1,32212nnnnnCCTbC为数列的前 n 项和，求nT.【解析】（I）),2(24,2411naSaSnnnn 两式相减：),2(4411naaannn *),(2)2(2,2)(42,2),2)(41111121111Nnbaabaaaaabaabnaaannnnnnnnnnnnnnnn ,21nnbb nb是以 2 为公比的等比数列，,325,523,24,2112121121baaaaaaab而*)(231Nnbnn（II）,231nnnbC,)1(12log2log1loglog11222212nnCCnnnn 而,111)1(1nnnn.111)111()4131()3121()211(nnnTn 7.已知数列 an：,2133323122211nnnn，求证数列 an为等差数列，并求它的公差.设Nnaabnnn11，求nbbb21的和。【解析】由条件，212122121nnnnnnnnnan 9 221nan；12121221nnnaann 故 an为等差数列，公差21d 214421122211nnnnnnbn 又知 21121122111nnnnnnnn 21114nnbn 2121421114413143121421nnnbbbn 221214lim21nbbbnn.8已知函数13)(xxxf,数列 na满足).)(,111Nnafaann ()求数列 na的通项公式;()记13221nnnaaaaaaS,求nS.【分析】由于bn和cn中的项都和an中的项有关，an中又有 S1n=4an+2，可由 S2nS1n作切入点探索解题的途径【解析】（）由已知得，131nnnaaa，3111nnaa，即3111nnaa 数列na1是首项11a,公差3d的等差数列.233)1(11nnan,故)(231Nnnan ()131231(31)13)(23(11nnnnaann 13221nnnaaaaaaS)13)(23(1741411nn)131231()7141()411(31nn 131231231531714141131nnnn 10 1313331nnnn.