2017北京市高一数学初赛试题及解答5063.pdf

2 3 2 3 2 3 2 3 3 2017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2 0 1 7 年 4 月 9 日）选 择 题 答 案 填空题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 24 8 9.5 2 504(12 4 2)4 101 4 5 一、选择题 1集合 A=2,0,1,7，B=x|x22A,x2A，则集合 B 的所有元素之积为（A）36（B）54（C）72（D）108 答：A 解：由 x22A，可得 x2=4，2，3，9，即 x=2，3 又因为 x2A，所以 x2，x3，故 x=2，3 因此，集合 B=2,，3 所以，集合 B 的所有元素的乘积等于(2)()()()()(3)=36 2.已知锐角ABC 的顶点 A 到它的垂心与外心的距离相等，则 tan(BAC)=2（A）3 （B）2 （C）1 （D）3 2 答：A 解：作锐角ABC 的外接圆，这个圆的圆心 O 在形内，高 AD，CE 相交于点 H，锐角ABC 的垂心 H 也在形内 A 连接 BO 交O 于 K，BK 为 O 的直径.连接 AK，CK E K 因为 AD，CE 是ABC 的高，KAB，KCB 是直 径 BK 上的圆周角，所以KAB=KCB=90 于是 KA/CE，O H KC/AD，因此 AKCH 是平行四边形 B D C 所以 KC=AH=AO=1 2 BK 2 3 2 3 1 2 3 4 5 6 A A B D C D (1 a2)2 4 a2（A B）在直角KCB 中，由 KC=1 2 BK，得BKC=60，所以BAC=BKC=60 故 tan(BAC)=tan30=3 2 3 3.将正奇数的集合1,3,5,7,从小到大按第 n 组 2n1 个数进行分组：1，3,5,7，9,11,13,15,17，数 2017 位于第 k 组中，则 k 为（A）31 （B）32 （C）33 （D）34 答：B.解：数 2017 是数列 an=2n 1 的第 1009 项设 2017 位于第 k 组，则 1+3+5+(2k1)1009，且 1+3+5+(2k3)1009 k 2 1009 即 k 是不等式组(k 1)2 1009 的正整数解，解得 k=32，所以 2017 在第 32 组中 4.如图，平面直角坐标系 x-O-y 中，A,B 是函数 y=1 在 x 第 I 象限的图象上两点，满足OAB=90且 AO=AB，则等腰直角OAB 的面积等于 1）（2 答：D 2 （C）2 3 （D）5 2 2 解：依题意，OAB=90且 AO=AB，AOB=ABO=45过点 A 做 y 轴垂线交 y 轴于点 C，过点 B 做 y 轴平行线，交直线 CA 于点 D 易见COADAB 1 1 1 设点 A(a,)，则点 B(a+,a a a)a 因为点B 在函数y=1 的图象上，所以(a+1 x a)(1 a a)=1，即 1 a2=1 a2 因此 S 1 2 1 1 2 1 5 ABC =2 OA=2(a2 +a)=2 2 5已知 f(x)=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，且当 m=1,2,3,4 时，f(m)=2017m，则 f(10)f(5)=（A）71655 （B）75156 （C）75615 （D）76515 答：C 解：因为 当 m=1,2,3,4 时，f(m)=2017m，所以 1,2,3,4 是方程 f(x)2017x=0 的四个实根，由于 5 次多项式 f(x)2017x 有 5 个根，设第 5 个根为 p，则 f(x)2017x=(x1)(x2)(x3)(x4)(xp)y y=1 x A B O x y y=1 x C A D B O x 1 2 3 即 f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)(xp)+2017x 所以 f(10)=9876(10p)+201710，f(5)=6789(5+p)20175，因此 f(10)f(5)=15(9876+2017)=75615|x|,x a,6已知函数 f(x)x2 4ax 2a,若存在实数 m，使得关于 x 的方程 f(x)=m x a.有四个不同的实根，则 a 的取值范围是（A）a 1 （B）a 1 （C）a 1 （D）a 1 7 6 5 4 答：D 解：要使方程 f(x)=m 有四个不同的实根，必须使得 y=m 的图像与 y=f(x)的图像有4 个不同的交点而直线与 y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m 与函数 y=|x|,xa 的图像和 y=x24ax+2a,xa 的图像的交点分别都是 2 个 而存在实数 m，使 y=m 与 y=|x|,xa 的图像有两个交点，需要 a0，此时 0ma；4 2a (4a)2 又因为 y=x24ax+2a,xa 顶点的纵坐标为 4 4 2a (4a)2 xa 的图像有两个交点，需要 m 4，所 以，要 y=m 与 y=x24ax+2a,因此 y=m 的图像与 y=f(x)的图像有 4 个不同的交点需要满足：4 2a (4a)2 解得a 1 4 0ma 且 m，4 二、填空题 1.用x表示不超过 x 的最大整数，设S 1 2 3 99，求 答：24 S 的值 解：因为 121,2,322，所以 1,2，因此 1 2 3 1，共 3 个 1；同理，224,5,6,7,832，因此，4 5 6 7 8 2，共 5 个 2；又 329,10,11,12,13,14,1542，因此 9 10 =15 3，共 7 个 3；依次类推，16 17 23 24 4，共 9 个 4；25 26 34 35 5，共 11 个 5；36 37 47 48 6，共 13 个 6；49 50 62 63 7，共 15 个 7；29 13 34 64 65 79 80 8，共 17 个 8；81 82 98 99 9，共 19 个 9.S=(1 2 3)+(4 5 6 7 8)+(81 99)=13+25+37+49+511+613+715+817+919=615 因为 242=576615=S625=252，即 24 25，所以，=24 1 1 1 1 1 1 2确定(2017 log2 2017 2017 log4 2017 2017 log8 2017 2017 log16 2017 2017 log32 2017)5 的值 答：8 1 解：原式=(2017 log2017 2 2017 log2017 4 2017 log2017 8 2017 log2017 16 2017 log2017 32)5 1 1=(2481632)5=(2122232425)5 1 1=(21+2+3+4+5)5=(215)5=23=8 3.已知ABC 的边AB=厘米，BC=厘米，CA=厘米，求 ABC 的面积 答：9.5 平方厘米 A P 解：注意到 13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为 5 厘 米的正方形 AMNP，分 成 25 个 1 平方厘米的正方形网格，如图根 C 据勾股定理，可知，AB=厘米，BC=厘米，CA=厘 米，因此ABC 的面积可求 M B N ABC 的面积=55 1 2 35 1 2 25 1 2 23=9.5（平方厘米）4.设函数 f(x)的值 答：2 解：由已知得 f(x)1 因为 x2 1 x2 1 的最大值为 M，最小值为 N，试确定 M+N ln(x)ln(x)ln(x)(x)=ln(x)2 1 (x)2)ln1 0，所以ln(因此，ln(x)ln(x)是奇函数 x)，进而可判定，函数 g(x)x2 1 为奇函数 则 g(x)的最大值 M1 和最小值 N1 满足 M1+N1=0 因为 M=M1+1，N=N1+1，所以 M+N=2 S S 29 13 34(x 1)2 ln(x2 1 x)2x ln(x2 1 x)x2 1(x)2 1(x)2 1(x)2 1(x)2 1 x2 1 x2 1 2x ln(x2 1 x)A D F O E C B 2 2 2 2=(42 5.设 A 是数集1,2,2017的 n 元子集，且 A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定 n 的最大值 答：504 解：在数集1,2,2017中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集2,4,2016 共 1008 个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于 1010 的 2 倍是 2020，所以集合 A=1010,1012,1014,2016中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有 504 个元素 事实上 504 是 n 的最大值 因为若从1009,1011,2017中任取一个奇数，会与 A 中的与它相邻的偶数互质；若从1,2,3,1008中任取一数，则它的 2 倍在 A 中，存在整除关系 6.如图，以长为 4 厘米的线段 AB 的中点 O 为圆心、2 厘米为半径画圆，交 AB 的中垂线于点 E 和 F.再分别以 A、B 为圆心，4 厘米为半径画圆弧交射线 AE 于点 C，交射线 BE 于点 D.再以 E 为圆心 DE 为半径画 圆弧 DC，求这 4 条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA 的面积（圆周率用 表示，不取近似值）答：(124)4 平方厘米 解：半圆(O,2)的面积 1 2 =2=2 2 因为 AO=OB=2，所以 AB=AC=BD=4，AE=BE=2 又AEB=CED=90，EAB=EBA=45，ED=EC=42 因此，扇形 BAD 的面积=扇形 ACB 的面积 1 2，AEB 的面积 1，=4=2 8=42=4 2 直角扇形 EDC 的面积 1 4)2=64，卵形 AFBCDA 的面积=半圆(O,2)的面积+扇形 BAD 的面积+扇形 ACB 的面积 AEB 的面积+直角扇形 EDC 的面积=2+224+64 7.已知 f(x)答：101=(124 x2 x2 100 x 5000)4（平方厘米），求 f(1)+f(2)+f(100)的值 解：设 g(x)=x2100 x+5000，则 g(100 x)=(100 x)2100(100 x)+5000=1002200 x+x21002+100 x+5000=x2100 x+5000=g(x)，即 g(k)=g(100k)2 2 2 102 (2b)2 5 5 5 5 B E a O2 b DG O1 F b c A 所以 f(k)+f(100k)=k 2 g(k)(100 k)2 g(100 k)k 2 (100 k)2=g(k)=2，502 又 f(50)=502 100 50 5000=1 所以，f(1)+f(2)+f(100)1002 f(100)=1002 100 100 5000=2.=(f(1)+f(99)+(f(2)+f(98)+(f(49)+f(51)+f(50)+f(100)=249+1+2=101 8.如图，在锐角ABC 中，AC=BC=10，D 是边 AB 上一点，ACD 的内切圆和BCD 的与 BD 边相切的旁切圆的半径都等于 2，求 AB 的长 答：4 5 解：线段 AB 被两圆与 AB 的切点及点 D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为 a,b,b,c，由于圆 O2 的切线长 CE=CG，所以 BC+a=CD+b=(ACc+b)+b，而 AC=BC，所以 a+c=2b C 由等角关系可得AO1FO2BE，得 O1F BE，即 2 a，由此推出 ac=4 AF O2 E c 2 分别计算BCD 和ACD 的面积：1 1 C SBCD 2 2(BC CD BD),SACD 2 2(AC CD AD)所以 SACD SBCD AD BD AB a c 2b 4b.又设由 C 引向 AB 的高为 h，可得 SACD SBCD 1(c a)h 1 2 2(c a)2 4ac 由、两式可得 4b 1 2(c a)2 4ac 将 a+c=2b，ac=4 代入，化简得b4 25b2 100 0 解得 b2=5 或 b2=20，即 b=或 b=2，（负根舍）于是，AB=a+c+2b=4b=4，或 AB=8 若 AB=8，ABC 为钝角三角形，不合题设ABC 是锐角三角形的要求 所以 AB 的长为 4 102 (2b)2 5 5 B D A