[VIP专享]05第五节三重积分(2)5688.pdf
第五节 三重积分(二)分布图示 利用柱面坐标计算三重积分 例 1 例 2 例 3 利用球面坐标计算三重积分 例 4 例 5 例 6 空间立体的质心与转动惯量 例 7 例 8 例 9 空间立体对质点的引力 例 10 内容小结 课堂练习 习题 95 返回内容要点 一、利用柱面坐标计算三重积分点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为M),(zyx),(zr (5.1),cosrx,sinry.zz 柱面坐标系中的三族坐标面分别为 常数：一族以轴为中心轴的圆柱面；rz常数：一族过轴的半平面；z常数：一族与面平行的平面.zxOy柱面坐标系中的体积微元:，dzrdrddv为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于轴的直线与区域的边界最多只z有两个交点.设在面上的投影为，区域用，表示.区域关于面的投xOyDDrxOy影柱面将的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为，下曲面方程为),(1rzz，于是),(2rzz),(),(21rzzrzDr),(Drzrzdzzrrfrdrddzrdrdzrrf),(),(21),sin,cos(),sin,cos(二、利用球面坐标计算三重积分点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为M),(zyx),(r (5.3),cos,sinsinsin,cossincosrzrOPyrOPx球面坐标系中的三族坐标面分别为 常数：一族以原点为球心的球面；r常数：一族以原点为顶点，轴为对称轴的圆锥面；z常数：一族过轴的半平面.z球面坐标系中的体积微元:，ddrdrdvsin2三、三重积分的应用 空间立体的重心,.dvzyxxMx),(1dvzyxyMy),(1dvzyxzMz),(1其中，为该物体的质量.dvzyxM),(空间立体的转动惯量 .,)(22dvzyIx,)(22dvzxIydvyxIz)(22空间立体对质点的引力.,zyxFFFF dvrzzGdvryyGdvrxxG303030)(,)(,)(例题选讲利用柱面坐标计算三重积分例 1(E01)立体是圆柱面内部,平面下方,抛物面122 yx2z221yxz上方部分,其上任一点的密度与它到 z 轴之距离成正比(比例系数为 K),求的质量 m.解 据题意，密度函数为,),(22yxKzyx所以 .),(22dvyxKdvzyxm利用柱坐标，先对积分，在平面上投影域为zxOyD,1),(22yxyxD故 211022021222)(rDrdzdrrdKdzdrdrKdzrdrdKrm.1516)1(21022KdrrrK例 2(E02)计算 其中是由球面与抛物面所,zdxdydz4222zyxzyx322围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域.解 利用柱面坐标，题设两曲面方程分别为,422 zr.32zr从中解得两曲面的交线为,1z,3r在面上的投影区域为对投影区域内任一点有xOy:D,30 r.20D),(r.4322rzr所以 I2243rrDzdzrdrd22433020rrzdzrdrd.413例 3 计算 其中是曲线绕轴旋转一周而成的,)(22dxdydzyxI0,22xzyz曲面与平面所围的立体.8,2zz解 由曲线绕轴旋转所得曲面方程为旋转抛物面,22zy 0 xzzyx222设 :1,20,40 r822 zr:2,20,20 r222 zrI21)()(2222dxdydzyxdxdydzyx2222020822402022rrdzrrdrddzrrdrd623455.336利用球面坐标计算三重积分例 4 计算其中是锥面与平面所围的立,)(22dxdydzyx222zyx)0(aaz体.解 在球面坐标系中 az cosar 222zyx4故积分区域可表为20,40,cos0:ar所以 cos034402022sin)(adrrdddxdydzyx.10coscoscos152cossin5254052540535adada 注:本题也可采用柱面坐标来计算.此时，锥面 222zyxrz 积分区域 同样得到,20,0,:arazr.10)(5202022adzrrdrddxdydzyxara例 5(E03)计算球体在锥面上方部分的体积（图22222azyx22yxz9-5-7）.解 在球面坐标系中,22222azyx,2ar 22yxz,4:,20ar,40.20故所求体积Vdxdydzadrrdd2024020sinda3)2(sin2340.)12(343a例 6 计算,其中是由抛物面和球面dxdydzzyx2)(22yxz所围成的空间闭区域.2222zyx解 )(2)(2222zxyzxyzyxzyx注意到关于和面对称，有zOxyOz0,0)(xzdvdvyzxy且dvydvx22在面上的投影区域圆域xOy10,20:rD对内任一点，有,222rzr所以D2222221020222)cos2()2()(rrdzzrrdrddxdydzzxdxdydzzyx).89290(60三重积分的应用例 7(E04)已知均匀半球体的半径为 a,在该半球体的底圆的一旁,拼接一个半径与球的半径相等,材料相同的均匀圆柱体,使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合,为了使拼接后的整个立体重心恰是球心,问圆柱的高应为多少?解 如图(见系统演示)，设所求的圆柱体的高度为使圆柱体与半球的底圆在,H平面上.圆柱体的中心轴为轴，设整个立体为其体积为重心坐标为xOyz,V).,(zyx由题意应有于是 .0 yx.1zdvz设圆柱体与半球分别为分别用柱面坐标与球面坐标计算，得,21202022000sincosaaHdrrrddzrdrdrdzdv202032000sincosaaHdrrddzdrrdrd .0)2(4421221212222422 aHaaHa得就是所求圆柱的高.,22 aH 例 8 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴 的转动惯量.l解 取球心为坐标原点，球的半径为轴与轴 重合，则球体所占空间闭区域za,l.|),(2222azyxzyx所求转动惯量即球体对于轴的转动惯量为zzIdvyx)(22)sinsincossin(222222rrddrdr sin2ddrdr34sinadrrdd040320sin035sin52da34525a.522Ma其中为球体的质量.334aM 例 9 求高为 h,半顶角为密度为(常数)的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.,4解 取对称轴为轴，取顶点为原点，建立如图坐标系，则zdvyxIz)(22利用截面法，由,:222zyxDzzDyxhz),(,0:得到 hzDhzrdrrddzdxdyyxdzIz02002220)(.1024415040204hdzzdzdzhh例 10 设半径为的匀质球(其密度为常数)占有空间区域R0.|),(2222Rzyxzyx求它对位于处的单位质量的质点的引力.),0,0(0aM)(Ra 解 设球的密度为由球体的对称性及质量分布的均匀性知所求引力沿,0,0yxFF轴的分量为zzFdvazyxazG2/32220)(22222/32220)()(zRyxRRazyxdxdydzazG2202/322200)()(zRRRazdddzazGdzaazRzaazGRR220211)(22202)(122aazRdazaRGRR23032222aRRRG203134aRG,2aMG其中为球的质量.0334RM 注:本题表明，匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.课堂练习1.计算由曲面所围立体的体积.zazyx32222)(2求均匀半球体的重心.
