2022年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学五模试卷35074.pdf

第1页（共29页）2022 年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学五模试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分每小题只有一个选项是符合题意的）1（3 分）的相反数是（）A B C D 2（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A B C D 3（3 分）下列运算中，计算正确的是（）A2a3a6a B（3 a2）39a6 C（6 x3y2）（3x）2x2y2 Dx2+3x24x4 4（3 分）如图，等腰直角三角板的顶点 A，C 分别在直线 a，b 上若 ab，135，则2 的度数为（）A35 B15 C10 D5 5（3 分）若（a，b）和（c，d）均在正比例函数 y3x 的图象上（abcd0），则下列等式成立的是（）Aab3 B3 C Dabcd 第2页（共29页）6（3 分）在ABC 中，ABAC，BAC108，AC 的中垂线交 BC 于点 D，交 AC 于点E，连接 AD，ADB 的角平分线交 AB 于点 F 则图中等腰三角形的个数为（）A6 B5 C4 D3 7（3 分）已知直线 l：y2x+4，直线 l1与直线 l 关于点 M（1，0）对称，则直线 l1的表达式为（）Ay2x+4 By2x6 Cy2x4 Dy2x8 8（3 分）如图，在ABCD 中，AB5，AD10，sinB，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，延长 FE 交 DC 的延长线于点 G，连接 DF，则 DF 的长为（）A4 B4 C8 D8 9（3 分）如图，ABC 为O 的内接等边三角形，直径 MNBC，且 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BC6，则线段 DE 的长为（）A4 B5 C6 D7 10（3 分）若抛物线 y（xm）（xm3）经过四个象限，则 m 的取值范围是（）Am3 B1m2 C3m0 D2m1 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）11（3 分）一元一次不等式 32x3x7 的解集为 12（3 分）一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为 1：4，那么这个多边形的边数为 第3页（共29页）13（3 分）如图，反比例函数 y（k0）与一次函数 yx+b 的图象相交于两点 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 交 y 轴于点 C，当 x2x16 且 AC2BC 时，则反比例函数的解析式为 14（3 分）四边形 ABCD 中，ABAD，ACAB，DAB+DCB90，BD4，则CD2+BC2 三、解答题（共 11 道大题，共计 78 分.应写出解答过程）15（5 分）计算：4sin45+16（5 分）解分式方程：1 17（5 分）如图，线段 AB 绕点 O 顺时针旋转一定的角度得到线段 A1B1，若 A 的对应点为A1，B 的对应点为 B1，请用直尺和圆规作出旋转中心 O（不写作法，保留作图痕迹）18（5 分）如图，点 E、C、D、A 在同一条直线上，ABDF，EDAB，ECPD 求证：BCEF 第4页（共29页）19（7 分）为了“天更蓝，水更绿“，某市政府加大了对空气污染的治理力度，空气质量明显改善现收集了连续 30 天的空气质量情况作为样本，整理并制作了一个表格和一幅不完整的条形统计图：空气质量指数（w）30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t）1 2 3 5 7 6 4 2 说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：w50 时，空气质量为优；51w100 时，空气质量为良；101w150 时，空气质量为轻度污染；根据上述信息，解答下列问题：（1）直接写出空气质量指数这组数据的众数是 ，中位数是 ；（2）请补全空气质量天数条形统计图；（3）健康专家温馨提示：空气质量指数在 100 以下适合做户外运动请根据以上信息，估计该市居民一年（以 365 天计）中有多少天适合做户外运动？20（7 分）农历春节，西安市对市内各主干道、大型建筑物进行了“照亮工程”，吸引了全国各地大量游客前来参观旅游，为提升西安市形象，拉动旅游经济发展起到了积极作用，一天晚上小亮同学在自己家居住的小区附近某主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（AB 和 CD）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为 3 米（HE3 米），左边的影子长为 1.5 米（HF1.5 米）已知小亮的身高 1.80米，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为 12 米（BC12 米），求路灯的高度 第5页（共29页）21（7 分）柿子饼是产于陕西省的优质特色农产品，上市后，受到顾客的欢迎，某经销商将该柿子饼按拟定的价格进行试销，通过对 5 天的试销情况进行统计得到如下数据：单价 x（元/千克）30 32 34 35 40 销量 y（千克）400 360 320 300 200（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现该柿子饼每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间存在一次函数关系，求 y 关于 x 的函数关系式不需要写出函数自变量的取值范围）；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该柿子饼的成本是20 元/千克，若销量为 280 千克，求可以获利多少元？22（7 分）为参加学校举办的争创全国文明城市知识竞赛比赛，七（2）班经过投票初选，小亮和小明票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛，经班长与他们协商，决定用纸牌游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）小亮、小明两人都握有分别标记为 A、B、C、D 的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则 A 胜 B，B 胜 C，C 胜 D，D 胜 A；其他情况均视为平局（1）若小亮出“A”牌，则小明获胜的概率为 （2）求一次游戏就能分出胜负的概率 23（8 分）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上不同于 A，B 的两点，过点 C 作O的切线 CF 交直线 AB 于点 F，直线 DBCF 于点 E（1）求证：ABD2CAB；（2）若 BF5，sinF，求 BD 的长 第6页（共29页）24（10 分）已知抛物线 L 经过点 A（1，0）和 B（3，0）与 y 轴交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线 L，使平移后的抛物线经过点 B，与 x 轴的另一个交点为 Q，与 y 轴交于点 P，同时满足BPQ 是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由 25（4 分）（1）如图 1，矩形 ABCD 中，AB10，AD12，M 为 AB 的中点，E 为 BC 上的动点，将MBE 沿 ME 折叠，B 的对应点为 F，则 DF 的最小值为 （2）如图 2，ABC 中，AB12，ABC60，C90，D 为直线 AB 右侧一个动点，ADC60，求ACD 面积的最大值（3）如图 3，矩形 ABCD 中，AB6，BC6EF 长为 6，且 E、F 分别在 AD、CD上滑动，G 为 EF 的中点，连接 CG 并延长交 AD 于 H，过 G 作 GIBC，交 AC 于点 I，连接 HI，求CHI 面积的最小值 第7页（共29页）2022 年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学五模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分每小题只有一个选项是符合题意的）1（3 分）的相反数是（）A B C D【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，据此解答即可【解答】解：根据相反数的含义，可得 的相反数等于：（）故选：A【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”2（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A B C D【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱 第8页（共29页）故选：C【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱 3（3 分）下列运算中，计算正确的是（）A2a3a6a B（3 a2）39a6 C（6 x3y2）（3x）2x2y2 Dx2+3x24x4【分析】各式计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式6a2，不符合题意；B、原式27a6，不符合题意；C、原式2x2y2，符合题意；D、原式4x2，不符合题意 故选：C【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4（3 分）如图，等腰直角三角板的顶点 A，C 分别在直线 a，b 上若 ab，135，则2 的度数为（）A35 B15 C10 D5【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出ACD55，即可得出2 的度数【解答】解：如图所示：ABC 是等腰直角三角形，BAC90，ACB45，1+BAC35+90125，ab，ACD18012555，2ACDACB554510；故选：C 第9页（共29页）【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出ACD 的度数是解决问题的关键 5（3 分）若（a，b）和（c，d）均在正比例函数 y3x 的图象上（abcd0），则下列等式成立的是（）Aab3 B3 C Dabcd【分析】由点均在正比例函数 y3x 的图象上，可得 b3a，d4c，于是可以得出正确答案【解答】解：（a，b）、（c，d）均在正比例函数 y3x 的图象上，b3a，d3c，abcd0，故选：C【点评】本题主要考查了点在函数图象上的性质，点在函数图象上，即点的横纵坐标符合函数解析式，再根据正比例函数图象的特征，找到解决此类问题的方法 6（3 分）在ABC 中，ABAC，BAC108，AC 的中垂线交 BC 于点 D，交 AC 于点E，连接 AD，ADB 的角平分线交 AB 于点 F 则图中等腰三角形的个数为（）A6 B5 C4 D3【分析】由等腰三角形的判定可得答案【解答】解：ABAC，BAC108，BC36，ABC 是等腰三角形，DE 是 AC 的中垂线，ADCD，ADC 是等腰三角形，第10页（共29页）DACC36，BAD1083672，B36，BDA180367272，BADBDA，ABD 是等腰三角形，DF 平分ADB，ADB72，BDFADF36，ADF 和BDF 是等腰三角形 故选：B【点评】本题考查等腰三角形的判定，熟练的掌握等腰三角形的判断方法是解题关键 7（3 分）已知直线 l：y2x+4，直线 l1与直线 l 关于点 M（1，0）对称，则直线 l1的表达式为（）Ay2x+4 By2x6 Cy2x4 Dy2x8【分析】设所求的直线方程为 y2x+b，直线 l：y2x+4 上一点（1，6）关于点 M（1，0）的对称点为（1，6），把对称点代入 y2x+b，求得 b 的值即可【解答】解：设直线 l1的表达式为 y2x+b，直线 l：y2x+4 上一点（1，6），它关于点 M（1，0）的对称点为（1，6），把（1，6）代入 y2x+b 得，2+b6，解得 b8，线 l1的表达式为 y2x8，故选：D【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，求得直线上某一点的对称点是解题的关键 8（3 分）如图，在ABCD 中，AB5，AD10，sinB，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，延长 FE 交 DC 的延长线于点 G，连接 DF，则 DF 的长为（）A4 B4 C8 D8 第11页（共29页）【分析】先根据 sinB求出 EF4，证明BFECGE，求出 FG，DG，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，ABCD，ADBC，BECG，BFEG AB5，AD10，BC10，CD5 E 是 BC 的中点，BEECBC5，sinB，EFAB，EF4，BF3，在BFE 和CGE 中，BFECGE（AAS），CGBF3，EFEG4 FG8，DGCD+CG8，EFAB，G90，DF8 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，第12页（共29页）题目的综合性较强，难度中等，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键 9（3 分）如图，ABC 为O 的内接等边三角形，直径 MNBC，且 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BC6，则线段 DE 的长为（）A4 B5 C6 D7【分析】连接 AO，延长交 BC 于点 F，连接 OB，由等边三角形的性质得出 ABAC，ABCACB60，由垂径定理得出 AFBC，由直角三角形的性质可得出答案【解答】解：连接 AO，延长交 BC 于点 F，连接 OB，ABC 为等边三角形，ABAC，ABCACB60，AFBC，MNBC，ADOABC60，AEDACB60，OAMN，ODAD，ODOE，ABC 为O 的内接等边三角形，DOBABOCBO30，ODBD，BD+2BD6，BD2，DE4 故选：A 第13页（共29页）【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，垂径定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键 10（3 分）若抛物线 y（xm）（xm3）经过四个象限，则 m 的取值范围是（）Am3 B1m2 C3m0 D2m1【分析】抛物线 y（xm）（xm3）中，令 y0，可得 x1m，x2m+3，即该抛物线与 x 轴交点为（m，0）和（m+3，0），又抛物线过四个象限，故这两点必须位于原点的左右两侧，故能得出正确答案【解答】解：令 y0，得（xm）（xm3）0，解得 x1m，x2m+3，抛物线与 x 轴的两个交点为（m，0）和（m+3，0），抛物线经过四个象限，（m，0）和（m+3，0）分别位于原点两侧，即 m0m+3，3m0，故选：C【点评】本题主要考查了求抛物线与 x 轴交点的方法，以及根据图象性质，确定交点的位置，由此得出不等式是本题的关键 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）11（3 分）一元一次不等式 32x3x7 的解集为 x2 【分析】根据不等式的性质求不等式的解集【解答】解：32x3x7，移项，得3x2x73，合并同类项，得5x10，化系数为 1，得 x2 故答案是：x2【点评】本题主要考查解一元一次不等式的能力，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12（3 分）一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为 1：4，那么这个多边形的边数为 十 【分析】设正多边形的每个外角的度数为 x，与它相邻的内角的度数为 4x，根据邻补角的定义得到 x+4x180，解出 x36，然后根据多边形的外角和为 360即可计算出 第14页（共29页）多边形的边数【解答】解：设正多边形的每个外角的度数为 x，与它相邻的内角的度数为 4x，依题意有：x+4x180，解得 x36，这个多边形的边数3603610 故答案为：十【点评】本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为 360也考查了邻补角的定义 13（3 分）如图，反比例函数 y（k0）与一次函数 yx+b 的图象相交于两点 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 交 y 轴于点 C，当 x2x16 且 AC2BC 时，则反比例函数的解析式为 y 【分析】首先由 AC2BC，可得出 A 点的横坐标的绝对值是 B 点横坐标绝对值的两倍 再由 x2x16，可求出 A 点与 B 点的横坐标，然后根据点 A、点 B 既在一次函数 yx+b的图象上，又在反比例函数 y（k0）的图象上，可求出 k 值【解答】解：AC2BC，A 点的横坐标的绝对值是 B 点横坐标绝对值的两倍 点 A、点 B 都在一次函数 yx+b 的图象上，可设 B（m，m+b），则 A（2m，m+b）x2x16，m（2m）6，m2 第15页（共29页）B（2，1+b），则 A（4，2+b）又点 A、点 B 都在反比例函数 y（k0）的图象上，2（1+b）4（2+b），b1；B（2，2），k224，反比例函数的解析式为 y 故答案为 y【点评】此题综合考查了反比例函数、一次函数的性质，注意通过解方程组求出 k、b 的值此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用 14（3 分）四边形 ABCD 中，ABAD，ACAB，DAB+DCB90，BD4，则CD2+BC2 32 【分析】先把ADC 绕 A 旋转到ABF，得到ABFADC，然后再通过ACFADB，求出 CFBD，CBF90，用勾股定理即可【解答】解：如图所示：ABAD，将ADC 绕 A 旋转到ABF，连接 CF，ABFADC，ABFADC，FBCD，第16页（共29页）BAFDAC，AFAC，ACFADB，ACABAD，CFBD，BAD+ADC+BCD+ABC360，BAD+BCD90，ABC+ADC270，ABC+ABF270，CBF90，BC2+BF2CF2，BC2+CD22BD2，BD4，CD2+BC232 故答案为：32【点评】本题主要考查旋转、三角形全等、相似和勾股定理等知识，关键是对知识的综合运用 三、解答题（共 11 道大题，共计 78 分.应写出解答过程）15（5 分）计算：4sin45+【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解：原式4+1 2+16 31【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 16（5 分）解分式方程：1【分析】解分式方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1，第17页（共29页）检验【解答】解：分式两边都乘以（x+2）（x1）得：2x（x1）x（x+2）（x+2）（x1），2x22xx22xx2x+2x2，2x2x2x22x2x+x2x2，5x2，x 经检验，x是原方程的解 所以，原方程的解为：x【点评】本题考查了分式方程的解法，考核学生的计算能力，解题时注意不要忘记检验 17（5 分）如图，线段 AB 绕点 O 顺时针旋转一定的角度得到线段 A1B1，若 A 的对应点为A1，B 的对应点为 B1，请用直尺和圆规作出旋转中心 O（不写作法，保留作图痕迹）【分析】分别作 AA1、BB1的垂直平分线，它们的交点为 O 点【解答】解：如图，点 O 为所作 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形 18（5 分）如图，点 E、C、D、A 在同一条直线上，ABDF，EDAB，ECPD 求证：BCEF 第18页（共29页）【分析】首先根据平行线的性质可得BCPD，AFDE，再由ECPD 可得EB，再利用 ASA 证明ABCDEF，进而证明即可【解答】证明：ABDF，BCPD，AFDE，ECPD EB，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（ASA）BCEF【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 19（7 分）为了“天更蓝，水更绿“，某市政府加大了对空气污染的治理力度，空气质量明显改善现收集了连续 30 天的空气质量情况作为样本，整理并制作了一个表格和一幅不完整的条形统计图：空气质量指数（w）30 40 70 80 90 110 120 140 天数（t）1 2 3 5 7 6 4 2 说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：w50 时，空气质量为优；51w100 时，空气质量为良；101w150 时，空气质量为轻度污染；根据上述信息，解答下列问题：（1）直接写出空气质量指数这组数据的众数是 90，中位数是 90；（2）请补全空气质量天数条形统计图；第19页（共29页）（3）健康专家温馨提示：空气质量指数在 100 以下适合做户外运动请根据以上信息，估计该市居民一年（以 365 天计）中有多少天适合做户外运动？【分析】（1）根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为 90，由 30 各数据中排在第15 和第 16 两个数的平均数就可以得出中位数为 90；（2）用总天数减去优和良的天数，求出轻度污染的天数，从而补全统计图；（3）先求出 30 天中空气污染指数在 100 以下的比值，再由这个比值乘以 365 天就可以求出结论【解答】解：（1）在这组数据中 90 出现的次数最多 7 次，故这组数据的众数为 90；在这组数据中排在最中间的两个数是 90，90，这两个数的平均数是 90，所以这组数据的中位数是 90；故答案为：90，90 （2）轻度污染的天数为：3031512 天，补全统计图如下：（3）该市居民一年（以 365 天计）中有适合做户外运动的天数为：365219 天 第20页（共29页）【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 20（7 分）农历春节，西安市对市内各主干道、大型建筑物进行了“照亮工程”，吸引了全国各地大量游客前来参观旅游，为提升西安市形象，拉动旅游经济发展起到了积极作用，一天晚上小亮同学在自己家居住的小区附近某主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（AB 和 CD）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为 3 米（HE3 米），左边的影子长为 1.5 米（HF1.5 米）已知小亮的身高 1.80米，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为 12 米（BC12 米），求路灯的高度 【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可【解答】解：设路灯的高为 x 米，GHBC，ABBC，GHAB EGHEAB 同理FGHFCD，解得：EB11，代入得，解得 x6.6 答：路灯的高 6.6 米 第21页（共29页）【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高，体现了转化的思想 21（7 分）柿子饼是产于陕西省的优质特色农产品，上市后，受到顾客的欢迎，某经销商将该柿子饼按拟定的价格进行试销，通过对 5 天的试销情况进行统计得到如下数据：单价 x（元/千克）30 32 34 35 40 销量 y（千克）400 360 320 300 200（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现该柿子饼每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间存在一次函数关系，求 y 关于 x 的函数关系式不需要写出函数自变量的取值范围）；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该柿子饼的成本是20 元/千克，若销量为 280 千克，求可以获利多少元？【分析】（1）设 ykx+b，根据表中数据，利用待定系数法求解可得；（2）把 x20 代入（1）计算即可【解答】解：（1）设 ykx+b，将 x30、y400；x40、y200，代入 ykx+b，得：，解得，y 关于 x 的函数关系式为：y20 x+1000；（2）当 y280 时，20 x+1000280，解得 x36，此时销售单价为 36 元，若销量为 280 千克，可以获利：（3620）2804480（元），答：可以获利 4480 元 第22页（共29页）【点评】本题考查了一次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 22（7 分）为参加学校举办的争创全国文明城市知识竞赛比赛，七（2）班经过投票初选，小亮和小明票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛，经班长与他们协商，决定用纸牌游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）小亮、小明两人都握有分别标记为 A、B、C、D 的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则 A 胜 B，B 胜 C，C 胜 D，D 胜 A；其他情况均视为平局（1）若小亮出“A”牌，则小明获胜的概率为 （2）求一次游戏就能分出胜负的概率【分析】（1）根据题意，可以得到若小亮出“A”牌，小明获胜的概率；（2）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到一次游戏就能分出胜负的概率 【解答】解：（1）由题意可得，若小亮出“A”牌，则小明获胜需要亮出“D”，而小明亮出的牌有 4 种可能性，故若小亮出“A”牌，则小明获胜的概率为，故答案为：；（2）树状图如下：则分出胜负的有 8 种可能性，分别为（AB）、（BC）、（CD）、（DA），（AD）、（BA）、（CB）、（DC），一共有 16 种可能性，故一次游戏就能分出胜负的概率是，即一次游戏就能分出胜负的概率是【点评】本题考查概率公式、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率 23（8 分）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上不同于 A，B 的两点，过点 C 作O的切线 CF 交直线 AB 于点 F，直线 DBCF 于点 E 第23页（共29页）（1）求证：ABD2CAB；（2）若 BF5，sinF，求 BD 的长 【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形性质和外角的性质得出22CAB，根据切线的性质得出 OCCF，即可证得 OCDB，根据平行线的性质得出ABD2，即可证得ABD2CAB；（2）连接 AD，根据圆周角定理得出 ADDE，即可证得 ADCF，根据平行线的性质得出3F，从而证得FBEFOC，根据三角形相似的性质求得半径，然后通过解直角三角形即可求得 BD 的长【解答】（1）证明：连接 OC，OAOC，CAB1，2CAB+12CAB，CF 切O 于 C，OC 是O 的半径，OCCF，DBCF，OCDB，ABD2，ABD2CAB；（2）解：连接 AD，AB 为O 的直径，ADB90，即 ADDE，DECF，ADCF，3F，第24页（共29页）在 RTBEF 中，BEF90，BF5，sinF，BEBFsinF53，OCBE，FBEFOC，设O 的半径为 r，则，解得 r，在 RTABD 中，ADB90，AB2r15，sin3sinF，BDABsin3159 【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线是解题的关键 24（10 分）已知抛物线 L 经过点 A（1，0）和 B（3，0）与 y 轴交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线 L，使平移后的抛物线经过点 B，与 x 轴的另一个交点为 Q，与 y 轴交于点 P，同时满足BPQ 是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由 【分析】（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c，把 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入 yax2+bx+c，列方程组求 a、b、c 的值；第25页（共29页）（2）设平移后的抛物线的解析式为 yax2+mx+n，将 B（3，0）代入 yax2+mx+n，其中 a 为（1）中求出的常数，用含 m 的代数式表示 n，再用含 m 的代数式分别表示点 P、点 Q 的坐标，根据相似三角形对应边成比例列方程求出 m 的值，得到平移后的抛物线的解析式，再将两个解析式分别配成顶点式进行比较，即可得出平移过程【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c，把 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入 yax2+bx+c，得解得，抛物线的解析式为 yx2+2x+3（2）设平移后的抛物线为 K：yx2+mx+n，抛物线 yx2+mx+n 经过点 B（3，0），9+3m+n0，n93m，yx2+mx+93m，P（0，93m）；当 y0 时，由x2+mx+93m0，得 x，x13，x2m3 如图 1，当 m30，即 m3 时，BPQ 不能是直角三角形；如图 2，当 m30，即 m3 时，存在BPQ 是直角三角形，且只有BPQ90一种情况.POQBOP90，QPO90BPOPBO，POQBOP，OP2OQOB，（93m）23（3m），m1，m23（不符合题意，舍去），抛物线 K：yx2+x+1，抛物线 L：yx2+2x+3（x1）2+4，第26页（共29页）抛物线 K：yx2+x+1（x）2+，1，4，抛物线 L 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【点评】此题重点考查二次函数的图象和性质、平移的特征、相似三角形的判定与性质以及含参数的一元二次方程的解法等知识，解题时应特别注重数形结合、分类讨论等思想方法的运用，提高动手操作能力，此题属于考试压轴题 25（4 分）（1）如图 1，矩形 ABCD 中，AB10，AD12，M 为 AB 的中点，E 为 BC 上 第27页（共29页）的动点，将MBE 沿 ME 折叠，B 的对应点为 F，则 DF 的最小值为 8 （2）如图 2，ABC 中，AB12，ABC60，C90，D 为直线 AB 右侧一个动点，ADC60，求ACD 面积的最大值（3）如图 3，矩形 ABCD 中，AB6，BC6EF 长为 6，且 E、F 分别在 AD、CD上滑动，G 为 EF 的中点，连接 CG 并延长交 AD 于 H，过 G 作 GIBC，交 AC 于点 I，连接 HI，求CHI 面积的最小值 【分析】（1）由于 MBMF，所以 F 点是在以 M 点为圆心，MB 为半径的半圆上运动，当 M、F、D 三点共线时，DF 值最小在 RtADM 中，根据勾股定理 DM 长，再减去AM 长即可得到 DF；（2）根据ADC60，可得点 D 在ABC 的外接圆上，过点 D 作 DEAC 于点 E，当 DE 最大时，ACD 面积的最大，当 D，O，E 三点共线时，DE 最大，此时ADC 是等边三角形，进而可以解决问题；（3）连接 AG，DG，过点 G 作 GNAC 于点 N，当 GN 最小时，SAGC最小，即 SCHI最小，根据 EF 长为 6，G 为 EF 的中点，可得 DGEGFG3，所以点 D 是在以点 D为圆心，DG 长为半径的圆弧上，过点 D 作 DMAC 于点 M，当 D，G，M 三点共线时，GN 最小为 DMDG，然后根据三角形面积求出 DM 的长，进而可以解决问题【解答】解：（1）如图，MBMF，F 点是在以 M 点为圆心，MB 为半径的半圆上运动，第28页（共29页）当 M、F、D 三点共线时，DF 值最小 在 RtADM 中，DM13，DF1358 故答案为：8（2）AB12，ABC60，C90，BC6，AC6，ADC60，点 D 在ABC 的外接圆上，如图，过点 D 作 DEAC 于点 E，当 DE 最大时，ACD 面积的最大，当 D，O，E 三点共线时，DE 最大，此时ADC 是等边三角形，ADC60，AC6，SADCAC2（6）227，答：ACD 面积的最大值为 27；（3）如图，连接 AG，DG，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，GIBC，GIAD，SAGISHGI，SAGCSCHI，在矩形 ABCD 中，第29页（共29页）ABCD6，BCAD6 AC12，过点 G 作 GNAC 于点 N，当 GN 最小时，SAGC最小，即 SCHI最小，EF 长为 6，G 为 EF 的中点，DGEGFG3，点 D 是在以点 D 为圆心，DG 长为半径的圆弧上，过点 D 作 DMAC 于点 M，当 D，G，M 三点共线时，GN 最小为 DMDG，SACDCDADACDM，6612DM，DM3，GNDMDG33，SAGCSCHIACGN12（33）1818 答：CHI 面积的最小值为 1818【点评】本题属于几何综合题，主要考查了矩形的性质、折叠性质、勾股定理，三角形外接圆与外心，动点问题，最值问题，三角形面积，平行线的性质，解题的关键是分析出 F 点运动的轨迹，平行线间的距离处处相等