2020年中考数学解题技巧专题训练：隐圆问题训练(含答案)10064.pdf
方法技巧专题：隐圆问题训练 有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系.解题时,需要我们通过分析探索,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用和圆有关的一些知识进行求解.常见的隐圆模型有:定弦对定角;动点到定点的距离为定长;四点共圆等.1.2019徐州一模 在矩形ABCD中,已知AB=2 cm,BC=3 cm,现有一根长为2 cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积为()A.6 cm2 B.3 cm2 C.(2+)cm2 D.(6-)cm2 2.如图 F10-1,已知 AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44,则CAD 的度数为 .图 F10-1 3.如图 F10-2 所示,四边形 ABCD 中,DCAB,BC=1,AB=AC=AD=2,则 BD 的长为 .图 F10-2 4.如图 F10-3,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,E 是 AB 边的中点,F 是线段 CB 边上的动点,将EBF 沿 EF 所在直线折叠得到EBF,连结 BD,则 BD 的最小值是 .图 F10-3 5.如图 F10-4,矩形 ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F 分别为 AD,DC边上的点,且 EF=2,点 G 为 EF的中点,点 P为 BC 边上一动点,则 PA+PG 的最小值为 .图 F10-4 6.如图 F10-5,正方形 ABCD 中,AB=2,动点 E 从点 A 出发向点 D 运动,同时动点 F 从点 D 出发向点 C 运动,点 E,F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段 AF,BE 相交于点 P,则线段 DP 的最小值为 .图 F10-5 7.如图 F10-6,在边长为3的等边三角形 ABC 中,动点 D,E 分别在 BC,AC 边上,且保持 AE=CD,连结 BE,AD,相交于点 P,则 CP 的最小值为 .图 F10-6 8.如图 F10-7,点 A 与点 B 的坐标分别是(1,0),(5,0),点 P 是该直角坐标系内的一个动点.(1)使APB=30的点 P 有 个;(2)若点 P 在 y 轴上,且APB=30,求满足条件的点 P 的坐标;(3)当点 P 在 y 轴上移动时,APB 是否有最大值?请说明理由.图 F10-7 9.2018广州 如图 F10-8,在四边形 ABCD 中,B=60,D=30,AB=BC.(1)求A+C 的度数;(2)连结 BD,探究 AD,BD,CD 三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若 AB=1,点 E 在四边形 ABCD 内部运动,且满足 AE2=BE2+CE2,求点 E 运动路径的长度.图 F10-8 10.如图 F10-9,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A(1,0),B(4,0)两点,与 y 轴交于 C(0,2),连结 AC,BC.(1)求抛物线解析式;(2)线段 BC 的垂直平分线交抛物线于 D,E 两点,求直线 DE 的解析式;(3)若点 P 在抛物线的对称轴上,且CPB=CAB,求出所有满足条件的 P 点坐标.图 F10-9 【参考答案】1.D 解析如图所示:由题意,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出 P 到 B 点距离始终为 1 cm,则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中的轨迹为分别以 A,B,C,D 为圆心,1 cm 为半径的弧.故所围成的图形的面积为:矩形面积-4 个扇形面积=6-49012360=(6-)(cm2).2.88 解析如图,AB=AC=AD,点 B,C,D 在以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径的圆上,BAC=2BDC.CBD=2BDC,BAC=CBD,CAD=2BAC,而BAC=44,CAD=88.3.15 解析以 A 为圆心,AB 长为半径作圆,延长 BA 交A 于 F,连结 DF.DCAB,DF=BC,DF=CB=1,BF=2+2=4,FB 是A 的直径,FDB=90,BD=2-2=15.4.210-2 解析点 B在以 E 为圆心,EA 长为半径的圆上运动,当 D,B,E 共线时,此时 BD 的值最小.根据折叠的性质,得EBFEBF,EBBF,EB=EB.E 是 AB 边的中点,AB=4,AE=EB=2.AD=6,DE=62+22=210,BD=210-2.5.4 解析EF=2,点 G 为 EF 的中点,DG=1,G 是以 D 为圆心,以 1 为半径的圆弧上的点.作 A 关于 BC 的对称点 A,连结 AD,交 BC 于 P,交以 D 为圆心,以 1 为半径的圆于 G,此时的 PA+PG 值最小,最小值为 AG 的长.AB=2,AD=3,AA=4,AD=5,AG=AD-DG=5-1=4.PA+PG 的最小值为 4.6.5-1 解析如图,动点 F,E 的速度相同,DF=AE.又正方形 ABCD 中,AB=2,AD=AB,BAE=ADF=90.在ABE 和DAF 中,=,=,ABEDAF.ABE=DAF.ABE+BEA=90,FAD+BEA=90,APB=90.点 P 在运动中保持APB=90,点 P 的路径是一段以 AB 为直径的弧.设 AB 的中点为 G,连结 DG 交弧于点 P,此时 DP 的长度最小,AG=BG=12AB=1.在 RtADG 中,DG=2+2=12+22=5.PG=AG=1,DP=DG-PG=5-1,即线段 DP 的最小值为5-1.7.1 解析CD=AE,BD=CE.在ABD 和BCE 中,=,=,=,ABDBCE(SAS),故BAD=CBE.APE=ABE+BAD,APE=BPD,ABE+CBE=60,BPD=APE=60=ABC.APB=120,点 P 的运动轨迹是(如下图),AOB=120.连结 CO,OA=OB,CA=CB,OC=OC,AOCBOC(SSS),OAC=OBC,ACO=BCO=30.AOB+ACB=180,OAC+OBC=180,OAC=OBC=90.OC=ACcos30=2,OA=12OC=1,OP=1.PCOC-OP,PC1,PC 的最小值为 1.8.解:(1)无数 解析 以 AB 为边,在第一象限内作等边三角形 ABC,以点 C 为圆心,AC 为半径作C,交 y 轴于点P1,P2.在优弧 AP1B 上任取一点 P,如图,则APB=12ACB=1260=30.使APB=30的点 P 有无数个.故答案为:无数.(2)a.当点 P 在 y 轴的正半轴上时,过点 C 作 CGAB,垂足为 G,如图.点 A(1,0),点 B(5,0),OA=1,OB=5.AB=4.点 C 为圆心,CGAB,AG=BG=12AB=2,OG=OA+AG=3.ABC 是等边三角形,AC=BC=AB=4,CG=2-2=42-22=23,点 C 的坐标为(3,23).过点 C 作 CDy 轴,垂足为 D,P1,P2是C 与 y 轴的交点,连结 CP2,如图.点 C 的坐标为(3,23),CD=3,OD=23.P1,P2是C 与 y 轴的交点,AP1B=AP2B=30.CP2=CA=4,CD=3,DP2=42-32=7.点 C 为圆心,CDP1P2,P1D=P2D=7,P2(0,23-7),P1(0,23+7).b.当点 P 在 y 轴的负半轴上时,同理可得:P3(0,-23-7),P4(0,-23+7).综上所述:满足条件的点 P 的坐标有:(0,23-7),(0,23+7),(0,-23-7),(0,-23+7).(3)如图,当过点 A,B 的E 与 y 轴相切于点 P 时,APB 最大.理由:可证APB=AEH,当APB 最大时,AEH 最大.由 sinAEH=2,得当 AE 最小即 PE 最小时,AEH 最大.所以当圆与 y 轴相切时,APB 最大.9.解:(1)在四边形 ABCD 中,B=60,D=30,A+C=360-B-D=270.(2)AD2+CD2=BD2.理由:如图,将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60,得BAD,连结 DD.BD=BD,CD=AD,DBD=60,BAD=C,BDD是等边三角形.DD=BD.又BAD+C=270,BAD+BAD=270,DAD=90.AD2+AD2=DD2.即 AD2+CD2=BD2.(3)如图,将BEC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA,连结 EE.BE=BE,EBE=60,BEE是等边三角形.BEE=60.AE2=BE2+CE2,BE=EE,CE=AE,AE2=EE2+AE2.AEE=90.BEA=150.BEC=150.点 E 在以 BC 为弦,劣弧所对的圆心角为 60的圆上.以 BC 为边在下方作等边三角形 BCO,则 O 为圆心,半径 BO=1.点 E 运动路径为,=601180=3.10.解:(1)由题意,得+=0,16+4+=0,=2,解得=12,=-52,=2,故这个抛物线的解析式为 y=12x2-52x+2.(2)如图,设 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 M,交 x 轴于 N,连结 CN,过点 M 作 MFx 轴于 F.BMFBCO,=12.B(4,0),C(0,2),CO=2,BO=4,MF=1,BF=2,M(2,1).MN 是 BC 的垂直平分线,CN=BN,设 ON=x,则 CN=BN=4-x,在 RtOCN 中,CN2=OC2+ON2,(4-x)2=22+x2,解得 x=32,N32,0.设直线 DE 的解析式为 y=kx+b,依题意,得2+=1,32+=0,解得=2,=-3.直线 DE 的解析式为 y=2x-3.(3)由(1)得抛物线解析式为 y=12x2-52x+2,它的对称轴为直线 x=52.(i)如图,设线段 BC 的垂直平分线交抛物线对称轴于点 G,则点 G52,2,以 G 为圆心,GA 长为半径画圆交对称轴于点 P1,则CP1B=CAB,GA=52,点 P1的坐标为52,-12.(ii)如图,GN 为线段 BC 的垂直平分线,由(2)得 BN=52,BN=BG,点 G,N 关于直线 BC 对称.以 N 为圆心,NB 长为半径的N 与G 关于直线 BC 对称.N 交抛物线对称轴于点 P2,则CP2B=CAB.设对称轴与 x 轴交于点 H,则 NH=52-32=1,HP2=212,点 P2的坐标为52,212.综上所述,当 P 点的坐标为52,-12或52,212时,CPB=CAB.
