2021年福建省中考数学试卷与答案11092.pdf

第1页（共24页）2021 年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1（4 分）在实数，0，1 中，最小的数是（）A1 B0 C D 2（4 分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A B C D 3（4 分）如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点 C，利用测量仪器测得A60，C90，AC2km据此，可求得学校与工厂之间的距离 AB 等于（）A2km B3km Ckm D4km 4（4 分）下列运算正确的是（）A2aa2 B（a1）2a21 Ca6a3a2 D（2a3）24a6 5（4 分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进 第2页（共24页）行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目 作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A甲 B乙 C丙 D丁 6（4 分）某市 2018 年底森林覆盖率为 63%为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020 年底森林覆盖率达到 68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 x，那么，符合题意的方程是（）A0.63（1+x）0.68 B0.63（1+x）20.68 C0.63（1+2x）0.68 D0.63（1+2x）20.68 7（4 分）如图，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，ABF 为等边三角形，则AFC 等于（）A108 B120 C126 D132 8（4 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0），则不等式 k（x1）+b0 的解集是（）第3页（共24页）Ax2 Bx1 Cx0 Dx1 9（4 分）如图，AB 为O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC，PD 与O 相切，切点分别为 C，D若 AB6，PC4，则 sinCAD 等于（）A B C D 10（4 分）二次函数 yax22ax+c（a0）的图象过 A（3，y1），B（1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A若 y1y20，则 y3y40 B若 y1y40，则 y2y30 C若 y2y40，则 y1y30 D若 y3y40，则 y1y20 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。11（4 分）若反比例函数 y的图象过点（1，1），则 k 的值等于 12（4 分）写出一个无理数 x，使得 1x4，则 x 可以是 （只要写出一个满足条件的 x 即可）13（4 分）某校共有 1000 名学生为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取 100 名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 14（4 分）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD，则点 D 到 AC 的距离是 第4页（共24页）15（4 分）已知非零实数 x，y 满足 y，则的值等于 16（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD5，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点，点 E 不与 A，B 重合，且 EFAB，G 是五边形 AEFCD 内满足 GEGF 且EGF90的点现给出以下结论：GEB 与GFB 一定互补；点 G 到边 AB，BC 的距离一定相等；点 G 到边 AD，DC 的距离可能相等；点 G 到边 AB 的距离的最大值为 2 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（8 分）计算：18（8 分）如图，在ABC 中，D 是边 BC 上的点，DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F，且 DEDF，CEBF求证：BC 第5页（共24页）19（8 分）解不等式组：20（8 分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是 70 元，批发一箱该农产品的利润是 40 元（1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 30%现该公司要经营 1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？21（8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90线段 EF 是由线段 AB 平移得到的，点 F在边 BC 上，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 AC 的延长线上 （1）求证：ADEDFC；（2）求证：CDBF 22（10 分）如图，已知线段 MNa，ARAK，垂足为 A（1）求作四边形 ABCD，使得点 B，D 分别在射线 AK，AR 上，且 ABBCa，ABC60，CDAB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设 P，Q 分别为（1）中四边形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，求证：直线 AD，BC，PQ 相交于同一点 23（10 分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马 A2，B2，C2，且这六匹马 第6页（共24页）在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1A2B1B2C1C2（注：AB 表示 A 马与B 马比赛，A 马获胜）一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率 24（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 为边 AB 上的两个三等分点，点 A 关于 DE的对称点为 A，AA的延长线交 BC 于点 G（1）求证：DEAF；（2）求GAB 的大小；（3）求证：AC2AB 25（14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点（1）若抛物线过点 P（0，1），求 a+b 的最小值；（2）已知点 P1（2，1），P2（2，1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上 求抛物线的解析式；设直线 l：ykx+1 与抛物线交于 M，N 两点，点 A 在直线 y1 上，且MAN90，过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B，C求证：MAB 与MBC 的面积相等 第7页（共24页）2021 年福建省中考数学试卷答案 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1（4 分）在实数，0，1 中，最小的数是（）A1 B0 C D【解答】解：10，最小的是1，故选：A 2（4 分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A B C D【解答】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，故选：A 3（4 分）如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点 C，利用测量仪器测得A60，C90，AC2km据此，可求得学校与工厂之间的距离 AB 等于（）第8页（共24页）A2km B3km Ckm D4km【解答】解：A60，C90，AC2km，B30，AB2AC4（km）故选：D 4（4 分）下列运算正确的是（）A2aa2 B（a1）2a21 Ca6a3a2 D（2a3）24a6【解答】解：A.2aaa，故本选项不合题意；B（a1）2a22a+1，故本选项不合题意；Ca6a3a3，故本选项不合题意；D（2a3）24a6，故本选项符合题意；故选：D 5（4 分）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：项目 作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（）A甲 B乙 C丙 D丁【解答】解：甲的平均成绩9060%+9040%90（分），乙的平均成绩9560%+9040%93（分），丙的平均成绩9060%+9540%92（分），第9页（共24页）丁的平均成绩9060%+8540%88（分），93929088，乙的平均成绩最高，应推荐乙 故选：B 6（4 分）某市 2018 年底森林覆盖率为 63%为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020 年底森林覆盖率达到 68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 x，那么，符合题意的方程是（）A0.63（1+x）0.68 B0.63（1+x）20.68 C0.63（1+2x）0.68 D0.63（1+2x）20.68【解答】解：设从 2018 年起全市森林覆盖率的年平均增长率为 x，根据题意得：0.63（1+x）20.68 故选：B 7（4 分）如图，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，ABF 为等边三角形，则AFC 等于（）A108 B120 C126 D132【解答】解：ABF 是等边三角形，AFBF，AFBABF60，在正五边形 ABCDE 中，ABBC，ABC108，BFBC，FBCABCABF48，BFC66，AFCAFB+BFC126，故选：C 8（4 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0），则不等式 k（x1）+b 第10页（共24页）0 的解集是（）Ax2 Bx1 Cx0 Dx1【解答】解：把（1，0）代入 ykx+b 得k+b0，解 bk，则 k（x1）+b0 化为 k（x1）+k0，而 k0，所以 x1+10，解得 x0 故选：C 方法二：一次函数 ykx+b（k0）的图象向右平移 1 个单位得 yk（x1）+b，一次函数 ykx+b（k0）的图象过点（1，0），一次函数 yk（x1）+b（k0）的图象过点（0，0），由图象可知，当 x0 时，k（x1）+b0，不等式 k（x1）+b0 的解集是 x0，故选：C 9（4 分）如图，AB 为O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC，PD 与O 相切，切点分别为 C，D若 AB6，PC4，则 sinCAD 等于（）A B C D【解答】解：连接 OC、OD、CD，CD 交 PA 于 E，如图，第11页（共24页）PC，PD 与O 相切，切点分别为 C，D，OCCP，PCPD，OP 平分CPD，OPCD，COBDOB，CADCOD，COBCAD，在 RtOCP 中，OP5，sinCOP，sinCAD 故选：D 10（4 分）二次函数 yax22ax+c（a0）的图象过 A（3，y1），B（1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A若 y1y20，则 y3y40 B若 y1y40，则 y2y30 C若 y2y40，则 y1y30 D若 y3y40，则 y1y20【解答】解：如图，由题意对称轴为直线 x1，第12页（共24页）观察图象可知，y1y4y2y3，若 y1y20，则 y3y40 或 y3y40，选项 A 不符合题意，若 y1y40，则 y2y30 或 y2y30，选项 B 不符合题意，若 y2y40，则 y1y30，选项 C 符合题意，若 y3y40，则 y1y20 或 y1y20，选项 D 不符合题意，故选：C 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。11（4 分）若反比例函数 y的图象过点（1，1），则 k 的值等于 1 【解答】解：反比例函数 y的图象过点（1，1），k111，故答案为 1 12（4 分）写出一个无理数 x，使得 1x4，则 x 可以是 （只要写出一个满足条件的 x 即可）【解答】解：1216，14，是无理数，故答案为：13（4 分）某校共有 1000 名学生为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取 100 名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩 第13页（共24页）优秀的学生人数是 270 【解答】解：根据题意得：1000270（人），故答案为：270 14（4 分）如图，AD 是ABC 的角平分线若B90，BD，则点 D 到 AC 的距离是 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAC 于 E，AD 是ABC 的角平分线B90，DEAC，DEBD，点 D 到 AC 的距离为，故答案为 15（4 分）已知非零实数 x，y 满足 y，则的值等于 4 【解答】解：由 y得：xy+yx，xyxy，原式 第14页（共24页）4 故答案为：4 16（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD5，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的动点，点 E 不与 A，B 重合，且 EFAB，G 是五边形 AEFCD 内满足 GEGF 且EGF90的点现给出以下结论：GEB 与GFB 一定互补；点 G 到边 AB，BC 的距离一定相等；点 G 到边 AD，DC 的距离可能相等；点 G 到边 AB 的距离的最大值为 2 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，B90，又EGF90，四边形内角和是 360，GEB+GFB180，故正确；过 G 作 GMAB，GNBC，分别交 AB 于 M，交 BC 于 N，GEGF 且EGF90，GEFGFE45，第15页（共24页）又B90，BEF+EFB90，即BEF90EFB，GEM180BEFGEF18045（90EFB）45+EFB，GFNEFB+GFEEFB+45，GEMGFN，在GEM 和GFN 中，GEMGFN（AAS），GMGN，故正确；AB4，AD5，并由知，点 G 到边 AD，DC 的距离不相等，故错误：在直角三角形 EMG 中，MGEG，当点 E、M 重合时 EG 最大，EFAB4，GEEBBFFG42，故正确 故答案为：三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（8 分）计算：【解答】解：原式2+33 18（8 分）如图，在ABC 中，D 是边 BC 上的点，DEAC，DFAB，垂足分别为 E，F，且 DEDF，CEBF求证：BC 第16页（共24页）【解答】证明：DEAC，DFAB，BFDCED90，在BDF 和CDE 中，BDFCDE（SAS），BC 19（8 分）解不等式组：【解答】解：解不等式，得：x1，解不等式，得：x3，则不等式组的解集为 1x3 20（8 分）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是 70 元，批发一箱该农产品的利润是 40 元（1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 30%现该公司要经营 1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品 x 箱，则批发这种农产品（100 x）箱，依题意得 70 x+40（100 x）4600，解得：x20，1002080（箱），第17页（共24页）答：该公司当月零售这种农产品 20 箱，批发这种农产品 80 箱；（2）设该公司当月零售这种农产品 m 箱，则批发这种农产品（1000m）箱，依题意得 0m100030%，解得 0m300，设该公司获得利润为 y 元，依题意得 y70m+40（1000m），即 y30m+40000，300，y 随着 m 的增大而增大，当 m300 时，y 取最大值，此时 y30300+4000049000（元），批发这种农产品的数量为 1000m700（箱），答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是 300 箱，700 箱时，获得最大利润为 49000元 21（8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90线段 EF 是由线段 AB 平移得到的，点 F在边 BC 上，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 AC 的延长线上 （1）求证：ADEDFC；（2）求证：CDBF 【解答】（1）证明：ACB90，ACBCDF+DFC90，EFD 是以 EF 为斜边的等腰直角三角形，EDF90，DEFD，EDFADE+CDF90，ADEDFC；（2）第18页（共24页）连接 AE，线段 EF 是由线段 AB 平移得到的，EFAB，EFAB，四边形 ABFE 是平行四边形，AEBC，AEBF，DAEBCA90，DAEFCD，在ADE 和CFD 中，ADECFD（AAS），AECD，AEBF，CDBF 22（10 分）如图，已知线段 MNa，ARAK，垂足为 A（1）求作四边形 ABCD，使得点 B，D 分别在射线 AK，AR 上，且 ABBCa，ABC60，CDAB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设 P，Q 分别为（1）中四边形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，求证：直线 AD，BC，PQ 相交于同一点 【解答】（1）解：如图，四边形 ABCD 为所作；第19页（共24页）（2）证明：设 PQ 交 AD 于 G，BC 交 AD 于 G，DQAP，DCAB，P，Q 分别为边 AB，CD 的中点，DC2DQ，AB2AP，点 G 与点 G重合，直线 AD，BC，PQ 相交于同一点 23（10 分）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马 A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1A2B1B2C1C2（注：AB 表示 A 马与B 马比赛，A 马获胜）一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场 第20页（共24页）比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B1A2，C1B2），（A1C2，C1B2，B1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），（A1C2，C1A2，B1B2），共四种，其中获胜的有两场，故此田忌获胜的概率为 P（2）不是 当齐王的出马顺序为 A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，B1A2，C1B2），当齐王的出马顺序为 A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，C1B2，B1A2），当齐王的出马顺序为 B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，A1C2，C1B2），当齐王的出马顺序为 B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，C1B2，A1C2），当齐王的出马顺序为 C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，A1C2，B1A2），当齐王的出马顺序为 C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，B1A2，A1C2），综上所述，田忌获胜的对阵有 6 种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的 6 种可能对阵，所以田忌获胜的概率为 P 24（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E，F 为边 AB 上的两个三等分点，点 A 关于 DE的对称点为 A，AA的延长线交 BC 于点 G（1）求证：DEAF；（2）求GAB 的大小；（3）求证：AC2AB 【解答】证明：（1）如图，设 AG 与 DE 的交点为 O，连接 GF，第21页（共24页）点 A 关于 DE 的对称点为 A，AOAO，AADE，E，F 为边 AB 上的两个三等分点，AEEFBF，OE 是AAF 的中位线，DEAF；（2）AADE，AOE90DAEABG，ADE+DEA90DEA+EAO，ADEEAO，在ADE 和BAG 中，ADEBAG（ASA），AEBG，BFBG，GFBFGB45，FAGFBG90，点 F，点 B，点 G，点 A四点共圆，GABGFB45；（3）设 AEEFBFBGa，ADBC3a，FGa，CG2a，第22页（共24页）在 RtADE 中，DEaAG，sinEAOsinADE，OEa，AOaAO，AGa，AOAO，AEEF，AFaa，FAGFBG90，AFB+AGB180，AGC+AGB180，AFBAGC，又，AFBAGC，AC2AB 25（14 分）已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点（1）若抛物线过点 P（0，1），求 a+b 的最小值；（2）已知点 P1（2，1），P2（2，1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上 求抛物线的解析式；设直线 l：ykx+1 与抛物线交于 M，N 两点，点 A 在直线 y1 上，且MAN90，过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B，C求证：MAB 与MBC 的面积相等【解答】解：（1）把 P（0，1）代入解析式得：c1，yax2+bx+1，第23页（共24页）又抛物线与 x 轴只有一个公共点，b24a0，即，当 b2 时，a+b 有最小值为1；（2）抛物线与 x 轴只有一个公共点，抛物线上的点在 x 轴的同一侧或 x 轴上，抛物线上的点为 P1，P3，又P1，P3关于 y 轴对称，顶点为原点（0，0），设解析式为 yax2，代入点 P1得：，证明：联立直线 l 和抛物线得：，即：x24kx40，设 M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），由韦达定理得：x1+x24k，x1x24，设线段 MN 的中点为 T，设 A 的坐标为（m，1），则 T 的坐标为（2k，2k2+1），AT2（2km）2+（2k2+2）2，由题意得：，MAN 是直角三角形，且 MN 是斜边，即：，16（k4+2k2+1）（2km）2+（2k2+2）2，解得 m2k，A（2k，1），B（2k，k2），第24页（共24页）C（2k，2k2+1），B 是 AC 的中点，ABBC，又MAB 与MBC 的高都是点 M 到直线 AC 的距离，MAB 与MBC 的高相等，MAB 与MBC 的面积相等