2020年高考数学(理)函数与导数专题15高考中常考题型综合解析(解析版)12331.pdf

1 函数与导数 15 导数及其应用 高考中常考题型综合解析 一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数ycyx，2yx，1yx的导数；(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.3.导数在研究函数中的应用：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。考点透析：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数ycyx，2yx，1yx的导数；(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.3.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；4.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；5.适度关注生活中的优化问题.【考点讲解】2 6.备考重点：(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.二、知识概述：一）1由0()()()limxf xxf xfxx 可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1）基本初等函数的导数公式 2）导数的运算法则（1）f(x)g(x)f(x)g(x)；（和或差的导数是导数的和与差）（2）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导）（3）2()()()()()()()f xfxg xg xf xg xgx(g(x)0)（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方原函数 导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 Qnxxfn 1nnxxf xxfsin xxfcos xxfcos xxfsin xaxf aaxfxln xexf xexf xxfalog axxfln1 xxfln xxf1 3 的商）(4)复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 3函数()yf x在0 xx处的导数几何意义 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)【温馨提示】1.求函数()f x图象上点00(,()P xf x处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知0()kfx，故当0()fx存在时，切线方程为000()()()yf xfxxx.4.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()yf x在0 xx处的导数表示曲线在点00(,()P xf x处切线的斜率，因此，曲线()yf x在点00(,()P xf x处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()yf x在0 xx处的导数，即曲线()yf x在点00(,()P xf x处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000()()yyfxxx；如果曲线()yf x在点00(,()P xf x处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0 xx.【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率 二）函数的单调性：1.设函数 y=f(x)在某个区间内可导，如果0)(xf，则函数 y=f(x)为增函数；如果 f (x)0 非必要条件)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定 4.讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定)(xf的定义域；（2）求)(xf，令0)(xf，解方程求分界点；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(xf 在每个开区间内的符号，即可确定)(xf的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式如 f(x)、g(x)均在a、b上连续，(a，b)上可导，那么令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)也在a，b上连续，且在(a，b)上可导，若对任何 x(a，b)有 h(x)0 且 h(a)0，则当 x(a，b)时 h(x)h(a)=0，从而 f(x)g(x)对所有 x(a，b)成立 三）函数的极、最值：1函数的极值 (1)函数的极小值：函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 2函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 三、导数常见题型：一）函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、解决这类问题建议按以下三个步骤来解决：5 第一步：令0)(xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；2、不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需要分类讨论（0,=0,0，则 当(,0),3ax 时，()0fx；当0,3ax时，()0fx 故()f x在(,0),3a单调递增，在0,3a单调递减；若 a=0，()f x在(,)单调递增；若 a0，则 当,(0,)3ax 时，()0fx；当,03ax时，()0fx 故()f x在,(0,)3a单调递增，在,03a单调递减.（2）满足题设条件的 a，b 存在.（i）当 a0 时，由（1）知，()f x在0，1单调递增，所以()f x在区间0，l的最小值为(0)=fb，最大值为(1)2fab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当1b ，21ab，即 a=0，1b （ii）当 a3 时，由（1）知，()f x在0，1单调递减，所以()f x在区间0，1的最大值为(0)=fb，最小值为(1)2fab此时 a，b 满足题设条件当且仅当21ab，b=1，即 a=4，b=1（iii）当 0a3 时，由（1）知，()f x在0，1的最小值为3327aafb，最大值为 b 或2ab 若3127ab，b=1，则33 2a，与 0a3 矛盾.若3127ab，21ab，则3 3a 或3 3a 或 a=0，与 0a3 矛盾 综上，当且仅当 a=0，1b 或 a=4，b=1 时，()f x在0，1的最小值为1，最大值为 1 9.【2019 浙江 22】已知实数0a，设函数()=ln1,0.f xaxxx （1）当34a 时，求函数()f x的单调区间；（2）对任意21,)ex均有(),2xf xa 求a的取值范围.注：e=2.71828为自然对数的底数.15【解析】（）当34a 时，3()ln1,04f xxx x 31(12)(2 11)()42 141xxf xxxxx，所以，函数()f x的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（）由1(1)2fa，得204a 当204a时，()2xf xa等价于22 12ln0 xxxaa 令1ta，则2 2t 设2()212ln,2 2g ttxtxx t，则()(2 2)84 2 12lng tgxxx（i）当1,7x 时，112 2x，则()(2 2)84 2 12lng tgxxx 记1()42 2 1ln,7p xxxx x，则2212121()11xxxxp xxxxx x.故 x 17 1(,1)7 1(1,)()p x 0+()p x 1()7p 单调递减 极小值(1)p 单调递增 所以，()(1)0p xp 因此，()(2 2)2()0g tgp x（ii）当211,e7x时，12ln(1)()12xxxg tgxx 令211()2ln(1),e7q xxxxx，则ln2()10 xq xx，16 故()q x在211,e7上单调递增，所以1()7q xq 由（i）得12 712 7(1)07777qpp .所以，()0q x 因此1()()102q xg tgxx 由（i）（ii）得对任意21,ex，2 2,),()0tg t，即对任意21,ex，均有()2xf xa 综上所述，所求a的取值范围是204，.10.【2018北京】设函数2()(41)43xf xaxaxae(1)若曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线与x轴平行，求a；(2)若()f x在2x 处取得极小值，求a的取值范围【解析】(1)因为2()(41)43xf xaxaxae，所以2()2(41)(41)43xxfxaxaeaxaxae（xR）=2(21)2xaxaxe(1)(1)fa e由题设知(1)0f，即(1)0a e，解得1a 此时(1)30fe所以a的值为 1(2)由(1)得2()(21)2(1)(2)xxfxaxaxeaxxe 若12a，则当1(,2)xa时，()0fx；当(2,)x时，()0fx所以()0f x 在2x 处取得极小值 17 若12a，则当(0,2)x时，20 x，11102axx，所以()0fx 所以 2 不是()f x的极小值点综上可知，a的取值范围是1(,)2 1.若2x 是函数21()(1)xf xxaxe的极值点，则21()(1)xf xxaxe的极小值为（）A1 B32e C35e D1【解析】21()(2)1xfxxaxae，(2)0f ，1a ，所以21()(1)xf xxxe，21()(2)xfxxxe，令()0fx，解得2x 或1x，所以当(,2)x ，()0fx，()f x单调递增；当(2,1)x 时，()0fx，()f x单调递减；当(1,)x，()0fx，()f x单调递增，所以()f x的极小值为1 1(1)(1 1 1)1fe ，选 A【答案】A 2.函数2|2xyxe在2,2的图象大致为（）A B C D【模拟考场】18【解析】当0 x时，令函数2()2xf xxe，则()4xfxxe，易知()fx在0，ln4）上单调递增，在ln4，2上单调递减，又(0)10f ，1()202fe，(1)40fe，2(2)80fe，所以存在01(0,)2x 是函数()f x的极小值点，即函数()f x在0(0,)x上单调递减，在0(,2)x上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为 D【答案】D 3.设函数()(21)xf xexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0 x，使得0()0f x，则a的取值范围是（）A3,1)2e B33,)24e C33,)24e D3,1)2e【解析】由题意可知存在唯一的整数0 x，使得000(21)xexaxa，设()(21)xg xex，()h xaxa，由()(21)xg xex，可知()g x在1(,)2 上单调递减，在1(,)2上单调递增，作出()g x与()h x的大致图象如图所示，xyg(x)=ex(2x-1)h(x)=ax-a321121123O 故(0)(0)(1)(1)hghg，即132aae，所以312ae【答案】D 4.若函数()lnf xkxx在区间(1,)单调递增，则k的取值范围是（）A,2 B,1 C2,D1,19 【解析】()lnf xkxx，1()fxkx，()f x在(1,)单调递增，所以当1x 时，1()0fxkx恒成立，即1kx在(1,)上恒成立，1x，101x，所以k1，故选 D【答案】D 5.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 xy(千米)(千米)湖面2Oy=3x-6y=-x A321122yxxx B3211322yxxx C314yxx D3211242yxxx【解析】法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为yx，在(2，0)处的切线方程为36yx，以此对选项进行检验A 选项，321122yxxx，显然过两个定 点，又2312yxx，则02|1,|3xxyy，故条件都满足，由选择题的特点知应选 A 法二 设该三次函数为32()f xaxbxcxd，则2()32fxaxbxc 由题设有(0)0(2)0(0)1(2)3ffff，解得11,1,022abcd 故该函数的解析式为321122yxxx，选 A 【答案】A 20 6.当 2,1x 时，不等式32430axxx恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A 5,3 B9 6,8 C 6,2 D 4,3【解析】当(0,1x时，得321113()4()axxx，令1tx，则1,)t，3234attt，令()g t 3234ttt，1,)t，则 2981(1)(91)gxtttt ，显然在1,)上，0g t，()g t单调递减，所以max()(1)6g tg，因此6a；同理，当 2,0)x 时，得2a由以上两种情况得62a 显然当0 x 时也成立，故实数a的取值范围为 6,2【答案】C 7.已知函数31()2eexxf xxx，其中 e 是自然对数的底数若(1)f a2(2)0fa，则实数a的取值范围是 【解析】因为31()2e()exxfxxfxx ，所以函数()f x是奇函数，因为22()32ee322 ee0 xxxxf xxx，所以函数()f x在R上单调递增，又21)02()(ffaa，即2()2(1aaff，所以221aa，即2120aa，解得112a，故实数a的取值范围为1 1,2【答案】1 1,2 8.已知函数 ln2axf xxx（1）求函数 f x的单调区间；（2）设函数 ln1g xxxf x，若1,2x时，0g x 恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）f x的定义域为0,，222112222axxafxxxx，21 令 0fx，则2220 xxa，480a时，即12a ，方程两根为12481122axa ，21+12xa，122xx，122x xa，当12a 时，0，0fx恒成立，f x的增区间为0,；当102a时，1220 x xa，10 x，20 x，0,x时，0fx，f x的增区间为0,；当0a 时，10 x，20 x，当20,xx时，0fx，f x单调递减，当2+xx,时，0fx，单调递增；综上，当0a 时，f x的增区间为0,；当0a 时，f x的减区间为0,112a，增区间为112,a （2）1,2x时，0g x 恒成立，即lnln102axxxxx，22lnln2xaxxxxx，令 221lnln22xh xxxxxx x，2 lnln11hxxxxxx，21 lnh xxx，当1,12x时，0hx，h x单调递减；当1+x,时，0hx，h x单调递减；min112h xh，12a，则实数a的取值范围时12,【答案】（1）当0a 时，f x的增区间为0,；当0a 时，f x的减区间为0,112a，增区间为112,a；（2）12,9.已知函数()sinln(1)f xxx，()fx为()f x的导数证明：（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()f x有且仅有 2 个零点【解析】（1）设()()g xf x，则1()cos1g xxx，21sin()(1xxg x .当1,2x 时，()g x单调递减，而(0)0,()02gg，22 可得()g x在1,2有唯一零点，设为.则当(1,)x 时，()0g x；当,2x时，()0g x.所以()g x在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()g x在1,2存在唯一极大值点，即()f x在1,2存在唯一极大值点.（2）()f x的定义域为(1,).（i）当(1,0 x 时，由（1）知，()f x在(1,0)单调递增，而(0)0f，所以当(1,0)x 时，()0f x，故()f x在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x 是()f x在(1,0的唯一零点.（ii）当0,2x时，由（1）知，()f x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f，02f，所以存在,2，使得()0f，且当(0,)x时，()0f x；当,2x时，()0f x.故()f x在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0f，1ln 1022f，所以当0,2x时，()0f x.从而()f x 在0,2没有零点.（iii）当,2x时，()0f x，所以()f x在,2单调递减.而02f，()0f ，所以 ()f x在,2有唯一零点.23（iv）当(,)x 时，ln(1)1x，所以()f x0，从而()f x在(,)没有零点.综上，()f x有且仅有2个零点.10.已知函数2()(2)xxf xaeaex(1)讨论()f x的单调性；(2)若()f x有两个零点，求a的取值范围【解析】（1）()f x的定义域为(,)，2()2(2)1(1)(21)xxxxfxaeaeaee，（）若0a，则()0fx，所以()f x在(,)单调递减（）若0a，则由()0fx得lnxa 当(,ln)xa 时，()0fx；当(ln,)xa 时，()0fx，所以()f x在(,ln)a 单调递减，在(ln,)a单调递增（2）（）若0a，由（1）知，()f x至多有一个零点（）若0a，由（1）知，当lnxa 时，()f x取得最小值，最小值为1(ln)1lnfaaa 当1a 时，由于(ln)0fa，故()f x只有一个零点；当(1,)a时，由于11ln0aa，即(ln)0fa，故()f x没有零点；当(0,1)a时，11ln0aa，即(ln)0fa 又422(2)e(2)e22e20faa，故()f x在(,ln)a 有一个零点 设正整数0n满足03ln(1)na，则00000000()e(e2)e20nnnnf naannn 由于3ln(1)lnaa，因此()f x在(ln,)a有一个零点 24 综上，a的取值范围为(0,1)