三角函数求最值的归类研究647.pdf

http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网 三角函数求最值的归类研究 何爽 求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。一、化成)sin(xAy的形式 例 1.在直角三角形中，两锐角为 A 和 B，求BAsinsin的最大值。解：AAAAABA2sin21cossin)2sin(sinsinsin 由20 A，得A20，则当4A时，BAsinsin有最大值21。例 2.求函数xxxxxf44sincossin2cos)(在20，上的最大值和最小值。解：xxxxxxxxxxf2sin)sin)(cossin(cossincossin2cos)(222244)42sin(22sin2cosxxx 由20 x，得1)42sin(2243424xx，得1)42sin(22x，则当 x=0 时，1)(maxxf；当83x时，2)(minxf 点评这类题目解决的思路是把问题化归为kxAxf)sin()(的形式，一般而言，kAxfkAxf|)(|)(minmax，但若附加了 x 的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。例 2 中，令42xu，画出usin在434，上的图象（如图 1），http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网 图 1 不难看出1sin22u，即1)42sin(22x。应注意此题容易把两个边界的函数值)2(f和)0(f误认为是最大值和最小值。二、形如bxadxcysincos的形式 例 3.求函数2cos1sinxxy的最大值和最小值。解：由已知得1sin2cosxyxy，即yxyyxyx21)sin(121cossin2，所以121)sin(2yyx 因11211|)sin(|2yyx，即，0432 yy解得340 y，故034minmaxyy，点评上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数 y 为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。三、形如bxadxcysinsin的形式 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网 例 4.求函数2sinsin23xxy的最大值和最小值。解：22sin12sin1)2(sin22sin3sin22sinsin23xxxxxxxy 由1sin1x，得12sin3x，312sin11x，12sin131x，即122sin135x 351minmaxyy，点评此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例 3 的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。四、形如xaxysinsin的形式 例 5.求)0(sin2sinxxxy的最小值。解：设xusin，则)10(2uuuy。从图 2 中可以看到uuy2在区间 10(，上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论）。当1u时，3121miny 点评若由22sin2sin2sin2sinxxxx，可得最小值22是错误的。这是因为当等号成立时，xxsin2sin，http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网 即12sinx是不可能的。若把此题改为)0(sin1sinxxxy就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。五、利用sin与cos之间的关系 例 6.求函数xxxxycossincossin的最大值和最小值。解：设)4sin(2cossinxxxt，则22t，且21cossin2txx。由于1)1(212122ttty，故当 t=1 时，1maxy；当2t时，212miny。点评cossincossincossin，这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。cossin是纽带，三者之间知其一，可求其二。令xxtcossin换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。练一练：1.求函数)cos(sinsin2xxxy的最大值和最小值。2.求函数xxy2sincos3的最大值和最小值。3.已知26，x，求函数)1)(cos1(sinxxy的最大值和最小值。答案：1.2112minmaxyy，（提示：由1)42sin(22sin2cos1cossin2sin22xxxxxxy）2.474minmaxyy，（提示：由47)21(cos2coscos)cos1(cos3222xxxxxy）3.2223maxy，432miny（提示：令xxtcossin，则12sin2 tx。http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网 1123322tx，解得2213t。于是22)1(211211cossincossintttxxxxy，容易求解）