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填空 弯曲内力图 1、在静定多跨梁中，如果中间铰点处没有外力偶，那么 不变，恒等于零；答案 剪力、弯矩 答疑 中间铰只传递剪力，不传递弯矩。当中间铰处没有外力偶作用时，中间铰处的弯矩恒等于零，剪力图没有变化。2、简支梁的受力如图，为使梁的中点的截面处的弯矩为零，那么外力偶 m 。答案 mqL2/4 答疑 对 A 点取矩，得到 B 处的约束反力为 NB=M/L+ql/2 中间截面处的弯矩为：M（L/2）NBL/2-M-qL/2L/4 整理得到：M（L/2）(M/L+qL/2)L/2-M-ql2/8=-M/2+qL2/8 考虑到已知条件有 M（L/2）=0 得到外力偶的大小为：M=qL2/4 3、图示中的四个梁的跨度、材料、截面、载荷均相同，比较各梁的最大弯矩值（绝对值），其中最大的在 梁上。答案 最大弯矩发生在 C 梁上 答疑 a 图中的最大弯矩为 qL2/8；b 图中的最大弯矩为qL2/40；c 图中的最大弯矩为 qL2/2；d 图中的梁为一次静不定，与图 c 相比，梁的弯曲变形较小，中性层处的曲率较小，根据1/=M(x)/EI 可知，d 图中的最大弯矩偏小 选择 梁的合理受力 1、工人工作在木板的中点，为改善木板的受力，下列做法哪一个好？A：在 A、B 处同时堆放适量砖；B：在 A、B 端同时堆放砖块，越多越好；C：只在 A 或只在 B 处堆放适量砖；D：什么也不放。答案 正确选择 A 答疑 木板的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。只有在 A、B 两处同时堆放适量砖的情况下，C、D 两截面处产生最大负弯矩，且要求最大负弯矩的数值相等。但是堆放的砖不是越多越好，应该保证在 C、D 截面处的最大负弯矩与木板的中间截面处产生的最大正弯矩的绝对值相等，此时木板的受力最合理。填空 梁的合理受力 1、图示木板，受力为 P、梁的总长为 L、外伸部分长为，使梁的最大弯矩为最小时，梁端的重物 Q 。答案 Q=P(L-2a)/8a 答疑 当梁的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等时，梁的最大弯矩为最小。此时有-Qa=(P/2+Q)（L/2-a）-QL/2 整理得到：-Qa=PL/4-Pa/2-Qa求解得到：Q=PL/8a-P/4=P(L-2a)/8a。2、外伸梁的总跨度为 L，承受一个可移动的载荷 F，若 F 与 L 均为已知的，为减小梁的最大弯矩值，外伸长度 a=。答案 a=L/5 答疑 梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。当载荷移动到最左端时，在左支座处产生最大负弯矩，数值为Fa；当载荷移动到两支座的中点时，在梁的中间截面处产生最大正弯矩，数值为 F/2(L-a)/2。梁的受力合理要求FaF/2(L-a)/2 求解得到：a=L/5。3、双杠的总长为 L，外伸段的合理长度 a=。答案 a=L/6 答疑 双杠在受力时，可能会出现三种受力状况：最左端受力、最右端受力、中间截面受力。设双杠受力时载荷的大小为 P，当载荷 P 作用在最左端、最右端时，双杠产生最大的负弯矩，数值的大小为-Pa；当载荷作用在梁的中间截面时，在中间截面产生最大的正弯矩，数值的大小为 P/2(L-2a)/2。根据梁的受力合理的状态是最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等，得到PaP/2(L-2a)/2 求解得到：a=L/6。4、力 P 固定，M 可在梁上自由移动，M 应在 x=处使梁的受力最合理并画出剪力图和弯矩图 答案 x=a 时梁的受力最合理 内力图如下 答疑 力偶在任意位置 x 处时梁的弯矩图如下 要使梁的受力合理必须满足，-Mmax=+Mmax,因而有：-Px=-Pa=2Pa-Px，得到 x=a。5、铰链 C 安放在 x=处使梁的受力最合理。答案 答疑 梁在外载作用下的弯矩图如下 要使梁的受力合理必须满足，-Mmax=+Mmax,因而有：-qx(L-x)/2-q(L-x)2/2=qx2/8求解得到：6、一外伸梁 AC 受载如图，梁的总长度为 L。力 P 可在梁上自由移动，欲使力 P 在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，问支座 B 到梁端 C 的距离 BC=答案 BCL/5 答疑 当载荷移到 AB 的中间截面时，梁上产生最大正弯矩，大小为 PAB/4=P(L-BC)/4；当载荷移到端截面 C 时，梁内产生最大负弯矩，大小为-PBC。欲使力 P 在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，必须满足-Mmax=+Mmax,因而有：P(L-BC)/4=PBC求解得到：BCL/5。7、欲用钢索起吊一根自重为 q（均布于全梁）、长度为 L 的等截面梁，如图所示。吊点位置 x 应是 才合理。答案 x=0.2L 答疑 梁的弯矩图如下：欲使梁的受力合理必须满足-Mmax=+Mmax,因而有：qL2/8-qLx/2=qx2/2求解得到：x=。8、一个体重为 P 的人，试图走过两端简单搁置在河两岸的木板便桥。只要板内最大弯矩超过板材所能承受的弯矩，板桥就会断开。问人走在何处时会有坠入河中的危险？为什么？答案 人走在桥的中间截面处有坠河的危险。答疑 木板桥简化为简支梁，当人在桥上行走到任意位置时梁的弯矩图如下：由图示可知，梁内最大弯矩发生在 x=L/2 处，即桥的中间截面。固当人行走到桥中点时，有坠河的危险。第 五 章 弯 曲 应 力重点 1、纯弯和横力弯曲的概念；2、中性层和中性轴的概念；3、弯曲正应力的分布规律和计算公式，以及公式的适用条件；4、弯曲剪应力的分布规律和计算公式；5、梁的弯曲强度校核 6、提高梁的弯曲强度的措施难点 1、危险截面的确定：对于等直梁，危险面就在Mmax处，而对于变截面梁，要分别计算Mmax处和截面最弱处的应力，这些截面都可能是危险面；对于抗拉压强度不等的脆性材料其危险面可能发生在Mmax或Mmax处或截面最弱处；2、弯曲剪应力的计算：b 要求剪应力处截面的宽度，SZ*要求剪应力处横线距中性轴以外部分对中性轴的静矩；基本知识点 1、横力弯曲与纯弯曲的概念；2、梁在弯曲时横截面上的正应力分布规律和计算公式；3、梁在横力弯曲时横截面上的正应力的计算；4、梁的弯曲正应力强度计算；5、满足强度条件的前提下的各类计算方法；6、梁在横力弯曲时的剪应力的分布规律及计算公式；7、掌握工程上几种常见截面(矩形、工字形、圆形)梁的弯曲剪应力分布规律及其计算公式；8、掌握常见截面的最大剪应力的计算公式；9、掌握梁的弯曲剪应力强度计算；10、提高梁弯曲强度的措施；判断 弯曲正应力 1、“弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。”答案 此说法错误 答疑 当轴力为零，且材料的抗拉压弹性模量相等的条件下，中性轴通过截面的形心；否则中性轴有所偏移。2、“梁的截面如图，其抗弯截面系数为 WZBH2/6-bh2/6”答案 此说法错误 答疑 抗弯截面系数 WZ=IZ/(H/2)=(BH3/12-bh3/12)2/H=BH2/6-bh3/6H 3、“控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值”答案 此说法错误 答疑 控制塑性材料的弯曲强度的因素是最大弯矩，控制脆性材料的弯曲强度的因素是最大正弯矩和最大负弯矩；控制弯曲剪应力强度的因素是最大剪力。4、“设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的和缩短的”答案 答疑 5、“中性轴是梁的中性层与横截面的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转”答案 此说法正确 答疑 中性轴是横截面的中性层与横截面的交线，中性轴上的正应力为零。梁在发生平面弯曲时，以中性轴分界：上压下拉或上拉下压，横截面是绕中性轴发生旋转。6、“平面弯曲时，中性轴垂直于载荷作用面”答案 此说法正确 答疑 梁在发生平面弯曲时，中性轴与外载的作用面垂直。7、“等截面梁产生纯弯时，变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变”答案 此说法错误 答疑 等截面梁发生纯弯曲时，横截面在变形后仍保持为平面，但以中性轴为界，上压下拉或上拉下压，固横截面的形状和大小均发生变化。选择 弯曲正应力 1、梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转。A：轴线；B：中性轴；C：横截面对称轴；答案 正确选择：B 答疑 梁在发生平面弯曲时，中性轴的一侧受拉、纤维伸长，另一侧受压、纤维缩短，只有中性轴处既不受拉也不受压，所以横截面绕中性轴发生旋转 2、矩形截面纯弯梁，M、均已知，则图示斜截面上正应力的分布规律为：。A:12My/bh3 B:6 My/bh3 C:3 My/bh3 D:9 My/bh3 答案 正确选择：C 答疑 横截面的分布规律为：=My/IZ=12My/bh3，=cos2=cos260=/4=3My/bh3 3、如图所示的二铸铁梁，材料相同，长度相等。承受相同的载荷F。当 F 增大时，破坏的情况是：A：同时破坏；B：1 梁先坏；C：2 梁先坏 答案 正确选择：B 答疑 两梁的危险面均发生在固定端处，且危险面处有最大负弯矩，最大负弯矩值相同均为FL。由于梁承受最大负弯矩，所以在横截面上产生上拉下压的弯曲正应力；1 梁的中性轴偏下，产生拉应力的一侧距离中性轴较远，横截面上有较大的拉应力；又由于材料为铸铁，抗压不抗拉，所以 1 梁首先发生破坏。4、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（虚线所示）配置最合理的是：。答案 正确选择：3 答疑 混凝土属于塑性材料，抗拉强度较弱，所以应在梁内配置钢筋以提高梁的抗拉强度。考虑到梁在左右两段承受负弯矩，使得梁在中性轴的上侧受拉，固在左右两段梁内钢筋应该布置在中性轴的上侧；中间一段梁承受正弯矩，使得中性轴的下侧纤维受拉，固钢筋应该布置在中性轴的下方。选择 弯曲正应力 5、如图所示，抗拉压弹性模量不等的材料制成矩形截面弯曲梁，如果 E拉E压,则中性轴应该从对称轴 Z 。A：上移；B：下移；C：不动 答案 正确选择：B 答疑 抗拉压弹性模量相等的材料制成的矩形截面梁在纯弯时中性轴位于横截面的对称轴处。若 E拉E压，此时中性轴不在横截面的对称轴处。由于横截面上不承受轴力的作用，固由弯矩产生的正应力满足以下关系：拉dA拉-压dA压=0 而 拉=E拉y拉/、压=E压y压/。代入得到：E拉y拉/bdy-E压y压/bdy=0。整理得到：E拉y拉dyE压y压dy。由于 E拉E压，所以有y拉dyy压dy，固有 y拉b,得到 Ma(x)/EIMb(x)/EI，整理得到 Ma(x)Mb(x)。由于两梁的横截面相同，根据弯曲正应力的计算公式=M/Wz，得到ab。4、在拉压、扭转与弯曲的应力分析中，均引入了平面假设的概念，三者的平面假设有何不同？答疑 拉压的平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线；扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变；弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。在拉压时的平面假设允许截面的大小发生变化，但横截面只是沿轴线方向有位移；扭转时的平面假设，截面的大小、形状无变化，只是像刚性圆盘一样绕轴线产生相对转角；弯曲变形的平面假设，横截面绕中性轴产生旋转，变形后的平面与变形前的平面有一夹角。5、矩形截面梁的尺寸中，高 h 为宽度 b 的 2 倍，承受铅垂载荷的作用，如果将梁由竖放改为平放，其他条件不变，梁的强度将发生怎样的变化？答案 梁的强度减低 答疑 竖放时=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3，横放时=M/Wz=M/hb2/6=6M/2b3；所以由竖放改为横放梁的强度降低，最大正应力是竖放时的 2 倍。简述 弯曲正应力 6、有一直径为 d 的钢丝绕在直径为 D 的圆筒上，钢丝仍然处于弹性范围。为减少弯曲应力，有人认为要加大钢丝的直径，你说行吗？说明理由。答案 此方案不行 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系 1/M(x)/EI，此时钢丝的曲率半径(D+d)/2，整理得到钢丝承受的弯矩为 M(x)=2EI/(D+d)；根据弯曲正应力的计算公式=M/Wz，得到=2EIz/(D+d)Wz=2E/(D+d)(IZ/Wz)=2E/(D+d)d/2=Ed/(D+d)，由此可见钢丝内的最大正应力与钢丝的直径有关，钢丝的直径增大，钢丝的横截面上的正应力也增大，固不能通过加大钢丝直径的办法来减少钢丝内的弯曲正应力。7、悬臂梁的刚度为 EI，一端固定，另一端自由。刚性圆柱面的半径为 R，若使梁变形后与圆柱面完全吻合而无接触压力，应如何加载？。答案 施加一个瞬时针的力偶，力偶矩的大小为 EI/R。答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系 1/M(x)/EI，此时梁的曲率半径 R，所以有 M(x)=EI/R。梁的抗弯刚度 EI 为常量，刚性圆柱面的半径 R 为常量，所以悬臂梁的横截面的弯矩 M 为常量，大小为 EI/R。8、用铅笔写字，笔尖折断，是什么应力导致的结果？为什么？答案 是拉应力导致笔尖折断 答疑 写字时，笔尖受弯，且是脆性材料，在受拉的一侧应力达到极限应力时，笔尖发生脆性断裂。9、矩形截面梁承受纯弯曲，分别在 11、22 截面处有铅垂和水平方向的直径为的穿透圆孔如图。分别画出 11、22 截面的正应力分布图，并写出此二截面的最大正应力的计算公式。答案 11 截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-dh3/12)=6M/h2(b-d)。2-2 截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-bd3/12)=6Mh/b(h3-d3)。答疑 1-1 截面上的弯曲正应力线性分布，中性层处的正应力为零，正应力按上压下拉连续变化；绝对值最小的正应力的值为零，发生在中性层处；绝对值最大的正应力发生在 h/2 处。22 截面在中性层附近为空心，在 d/2 到 h/2 的范围内正应力线性分布。绝对值最小的正应力发生在 d/2 处，绝对值最大的正应力发生在 h/2 处。10、在推导梁的纯弯曲正应力的计算公式时，作过平面假设，问此假设在推导过程中起到了什么作用？答疑 因为假设横截面保持为平面，才可以得出纵向纤维的线应变在横截面上成直线变化，从而可以建立应变与位移（转角）之间的几何关系。判断 弯曲剪应力 1、“横力弯曲梁某截面上的最大弯曲剪应力一定位于该截面的中性轴上。”答案 此说法错误 答疑 宽度 b 没有突变的横截面上，最大剪应力总是出现在中性轴上各点处，如矩形截面、圆形截面、工字钢截面。但对于横截面宽度有变化、或横截面的宽度 b 在中性轴处显著增大的截面如十字型截面，或某些变宽度的截面如等腰三角形截面，最大剪应力不出现在中性轴上。例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处。2、“梁在横力的作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力点的正应力不一定为零“答案 此说法正确 答疑 梁在发生平面弯曲时，最大剪应力不一定总是位于中性轴处，固最大剪应力的所在的点处正应力不一定为零。例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，但最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处，此处的正应力不为零。选择 弯曲剪应力 1、下列各梁的面积相等，其上的剪力也相等，则 截面上的最大剪应力最大。A：矩形；B：正方形 C：圆型；D：薄壁圆环；答案 正确选择：D 答疑 矩形截面梁的最大剪应力为 3Q/2A；正方形截面梁的最大剪应力为 3Q/2A；圆形截面梁的最大剪应力为 4Q/3A；设薄壁圆环的平均半径为 R，则薄壁圆环截面的惯性矩为 IZ=R3t，半截面对中性轴的面矩为 S*=，固截面的最大剪应力为 Q S*/bIz=2QR2t/(2tR3t)=Q/Rt=2Q/A。2、横力弯曲时，横截面上 。A：正应力不等于零，剪应力等于零；B：正应力等于零，剪应力不等于零；C：正应力、剪应力均不等于零；D：正应力、剪应力均等于零；答案 正确选择：C 答疑 横力弯曲时，横截面上既有剪力又有弯矩，弯矩产生正应力，剪力产生剪应力。填空 弯曲剪应力 1、矩形截面简支梁，不计梁的自重，A 点处的最大剪应力 ，B 点处的最大正应力 。答案 =3F/8bh；=3Fa/bh2 答疑 截面为矩形截面，A 点处的最大剪应力为=3Q/2A=3F/4/2bh=3F/8bh；B 点处的最大正应力=M/Wz=Fa/2(6/bh2)=3Fa/bh2。2、一矩形截面简支梁的跨度为 L，当一载荷 P 从 A 运动到 B 时，梁上的最大弯曲正应力为 ，最大弯曲剪应力为 。答案 =3PL/2bh2；=3P/2bh；答疑 当载荷移到梁的中点时，梁承受最大正弯矩，大小为 PL/4,此时在中间截面的最上面与最下面分别产生最大正应力，大小为=M/Wz=PL/4Wz=3PL/2bh2；当载荷移到离支座很近时，梁承受最大剪力的作用，剪力的大小为 P，此时在危险截面的中性层处产生最大剪应力，大小为=3Q/2A=3P/2bh。3、简支梁承受集中载荷的作用，梁内 A 点处的剪应力等于 ，B 点处的正应力等于 ，C 点处的正应力等于 。答案 0、0、2Pa/bh2 答疑 A、B、C 三点所在的截面上的剪力为 QP/3,弯矩为MPa/3。A 点位于截面的最下层纤维处，所以 A 点处的剪应力为零；B 点位于横力弯曲的中性层处，B 点的弯曲正应力为零；C 点的正应力为该截面上的最大正应力发生处，大小为=M/Wz=Pa/3/bh2/6=2Pa/bh2。4、跨度较短的工字型截面梁，在横力弯曲的条件下，危险点可能发生在 处、处和 处。答案 上下翼缘的最外侧、腹板的中点、腹板和翼缘的交接处 答疑 跨度较小的工字型截面梁，在上下翼缘的外侧存在最大正应力，在腹板的中点存在最大剪应力，在腹板与翼缘的交接处同时存在较大的正应力和较大的剪应力。5、工字型截面梁在横力弯曲的作用下，翼缘的主要功能是 ；腹板的主要功能是 。答案 抗弯、抗剪 答疑 翼缘承担大部分的弯矩，腹板承担大部分的剪力；简述 弯曲剪应力 1、横力弯曲时平面假设为何不成立？既然平面假设不成立，为何仍用纯弯的应力计算公式计算横力弯曲时的正应力？答疑 横力弯曲时横截面上不但有正应力还有剪应力，由于剪应力的存在，必然要引起剪应变，剪应力沿高度并非均匀分布，所以剪应变沿高度也不是均匀分布，靠近顶面和底面处的单元体无剪应变，随着离中性层距离的减小，剪应变逐渐增加，在中性层上达到最大值，剪应变沿高度的这种变化，引起在横力弯曲时横截面不再保持为平面，固平面假设不能成立。但是当梁的横截面高度 h 远小于梁的跨度 L 时，用纯弯得到的正应力的计算公式来计算横力弯曲的正应力，不会引起太大的误差，能够满足工程问题所需要的精度。而 h0；全梁的弯矩 M0 时，应该选择倒放；危险点的可能位置发生在最大正弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。；全梁的弯矩 M0 时，说明梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，材料本身抗压不抗拉，中性轴应偏下，选择倒 T 型截面；全梁的弯矩 M|右|C：|左|(b)B：(a)(b)C：(a)=(b)D：不一定 答案 正确选择：C 答疑 正方形截面对于过形心的任何轴的惯性矩相等，固两种放置方式中的抗弯刚度相同。填空 弯曲变形 1、应用叠加原理求梁的位移，必须满足的条件有 ，。答案 线弹性（材料服从虎克定律）、小变形。答疑 在线弹性、小变形的条件下，挠曲线微分方程是线性的；在小变形的前提下，计算弯矩时用梁在变形前的位置，这样弯矩与载荷之间的关系是线性的，对于几种不同的载荷弯矩可以叠加，微分方程的解也可以叠加。2、应用梁的挠曲线近似微分方程 y=M(x)/EI 时，其使用条件应为：。答案 应力小于比例极限、小变形、剪力对变形的影响可以略去不计 答疑 在推导此近似微分方程的过程中，忽略了转角 dv/dx，近似认为挠曲线是一条很平坦的曲线，转角 dv/dx 非常小，忽略不计；在推导公式的过程中没有考虑剪力对变形的影响；3、图示中静定梁的抗弯刚度为 EI。D 点的挠度为 fD=-Pa3/(3EI)，B 截面的转角为 B=5Pa2/(6EI)，则 D 截面的转角为 D=；C 点的挠度为 fC=。答案 D=Fa2/2EI、fC=-5Pa3/6EI 答疑 整个梁在变形后的挠曲线形状为：梁在 BC 段不受外力的作用，通过静力平衡分析得到 B、C 两处的约束反力均为零，BC 段的内力为零，固在 BC 段上梁不发生弯曲，只是绕 B 点转动一个角度 B，通过几何关系得到 tgB=fc/BC=fc/a,整理得到 fc=atgB，在小变形的情况下有 tgBB ，得到 fc=aB=-5Pa3/6EI。由于 C 处的约束反力为零，所以 CD 段的弯矩为零，CD 段也不产生弯曲，只是由于 AD 段的弯曲变形带动 CD 段产生沿 AD 段的 D 截面切线方向的位移。通过图示中红线所围成的三角形的几何关系有：tgD=(fc-fD)/a 在小变形的情况下有 DtgD=Fa2/2EI,方向为瞬时针方向。4、悬臂梁的抗弯刚度为 EI，梁长为 2L。坐标轴的原点在 A 处。写出挠曲线近似微分方程 EIy=。当 M3PL/2 时，该悬臂梁转角 0 的截面位于 x 处。答案 挠曲线方程为 EIy=M-P(2L-x)；转角等于零的截面位于 x=0、x=L/2；答疑 横截面的弯矩方程为 M(x)=M-P(2L-x)；当 M3PL/2 时,弯矩方程为 M(x)=px-PL/2,代入挠曲线微分方程得到：EIy=Px-PL/2,积分一次得到转角方程为 EIy=Px2/2-PLx/2，令转角 y0，得到 x=0、x=L/2。5、已知图中梁在中点的挠度为 5qL4/384EI,那么图中点的挠度为 。答案 5qL4/384EI 答疑线性分布载荷的梁在中点处的挠度的等于同一梁上作用有大小为 2q 的均布载荷梁的中点处挠度的一半。固中点的挠度为f=52qL4/384EI1/2=5qL4/384EI。6、如图所示的外伸梁，已知 B 截面的转角为 FL2/16EI，则 C 截面的挠度 yC=。答案 yc=aB=FL2a/16EI 答疑 挠曲线的大致形状为：根据几何关系得到：tgB=yc/BC yc=BC tgB=a tgBaB=FL2a/16EI。7、如图所示中两梁的横截面大小形状均相同，跨度为 L，则两梁的内力图 ，两梁的最大正应力 ，两梁的变形 。（填写“相同”或“不同”）答案两梁的内力图相同，最大正应力相同，两梁的变形不同。答疑 简支梁两端的支反力的大小分别为 P，且左端的支反力向下，固两梁的内力图相同；两梁的最大弯矩相等均为PL，在横截面大小形状相同的条件下，最大正应力相等。虽然两梁的弯矩方程相同，挠曲线微分方程相同，但积分后的边界条件不同，固得到两条形状不同的曲线，所以弯曲变形不同。8、图示中梁的抗弯刚度为 EI，C 处为弹性支座，弹簧刚度为 K。为求弹簧所受的力，则所取变形协调条件为：。答案 fc（Nc,P）=Nc/K 答疑 协调方程为：梁在 C 处的挠度等于弹簧的变形。9、用积分法求梁的变形时，边界条件为：，连续条件为 。答案 以 A 为原点，向右为 x 轴正方向 边界条件 x=0 y1=0,y1=0；x=3a y2=0 连续性条件x=2a y1=y2 答疑 A 处为固定端约束处，挠度为零，转角为零；D 处为活动铰支，挠度为零；C 处为中间铰，左右两侧的挠度相等，但转角不等。10、梁上作用有外力偶，M1和 M2，A 点位于 L/3 处。使 A 点成为挠曲线的拐点，那么 M1/M2=。答案 M1/M2=1/2 答疑 设左端有向上的约束反力 R，根据静力平衡得到 R（M2-M1）/L。取梁的左端为原点，向右为 x 轴正方向，那么任意截面处的弯矩方程为：M(x)=Rx+M1=（M2-M1）x/L+M1。由数学知识得到要使得 A 点成为挠曲线的拐点，在点 A 处有 y=0；根挠曲线微分方程 y=M(x)/EI 可得在点 A 处有 M(x)0，整理得到M1/M21/2 11、两简支梁的材料、截面形状、梁承受的载荷集度相同，而两梁的则其最大挠度之比为 y1max/y2max=。答案 y1max/y2max=1:16 答疑 跨度为 L 承受均布载荷 q 的简支梁在中间截面处的挠度为5ql4/384EI。固左图中的简支梁在中间截面处的挠度为 5ql4/384EI,右图中的梁的最大挠度为 5q(2l)4/384EI。固左右两梁的最大挠度之比为 1:16 12、两根梁的尺寸、受力和支撑完全相同，但材料不同，弹性摸量分别为 E1和 E2，且 E17E2，则两梁的挠度之比为：。答案 最大挠度之比为 1：7 答疑 由两梁的受力和支撑相同可以确定两梁的弯矩方程 M(x)相同，又由两梁的尺寸相同可以确定截面的惯性矩相等。根据挠曲线微分方程 EIy=M(x)可知：E1y1=E2y2,将 E17E2代入得到 7y1=y2。由于两梁的支撑情况相同，积分后得到y1/y2=1:7 13、矩形截面梁由木、钢两种材料组成。木、钢的弹性摸量分别为E110GPa，E2210GPa。求木材、钢材所受的弯矩之比为 。答案 M1/M2=5/21 答疑 变形后两种材料有相同的曲率半径，根据曲率与弯矩之间的关系 1/=M(x)/EI,有 1/=M1(x)/E1I1=M2(x)/E2I2，各截面的惯性矩为 I1=10th3/12、I2=2th3/12,从而得到 M1/10E1=M2/2E2,代入弹性模量后得到：M1/1010=M2/2210,整理得到 21M1=5M2，所以 M1/M2=5/21 14、图示中的梁材料、截面相同，则两梁的最大挠度之比为：。答案 1：4 答疑 跨度为 L 的悬臂梁在自由端承受集中力 P 时的最大挠度为PL3/3EI，固上图的最大挠度为 2PL3/3EI，下图中的悬臂梁的最大挠度为 P(2L)3/3EI=8PL3/3EI，固二者的最大挠度之比为 1：4。15、已知简支梁在力 P 作用下中点 C 处的挠度为，那么当梁上的载荷如右图时，梁的中点 C 处的挠度为：。答案 、向上 答疑 在简支梁上作用有集中力 P 时梁的中间截面处的挠度为。将右图中的载荷分解，相当于在梁上作用有向下的集中力 P 和向上的集中力 2P。又由于简支梁的左右对称性可以得到：在力 P 的单独作用下 C 截面的挠度为、方向向下；在 2P 的单独作用下 C截面的挠度为 2、方向向上；叠加后得到 C 截面的挠度为、方向向上。16、梁的跨度为 L、抗弯刚度 EI 为常量，B 支座位于梁的中点。写出在图示的坐标系下的边界条件及连续性条件 。答案 边界条件：x1=0 y1=0；x1=L/2 y1=0；x2=L/2 y2=0；连续性条件：x1=x2=L/2 y1=y2；答疑 在固定铰支处挠度为零；左右两段梁在活动铰支处的挠度均为零；在活动铰支处的转角相同。17、图示中的边界条件为 x=0，yA=0；x=L，yB=。右端的弹簧刚度为 K。答案 yB=P/2K 答疑 通过受力分析得到 B 处弹簧受力为 P/2，弹簧的变形为P/2K。梁与弹簧接触，固梁在 B 处的挠度等于弹簧的变形，所以有yB=P/2K。18、简支梁的抗弯刚度 EI 已知，A 位于梁的中间截面处，则中性层在 A 处的曲率半径为 。答案 8EI/qL2 答疑 简支梁在中间截面处的弯矩为 qL2/8，根据曲率与弯矩之间的关系 1/=M(x)/EI 有 1/=qL2/8/EIqL2/8EI，从而得到中性层处的曲率半径为 8EI/qL2。19、用积分法求图示梁的变形时，边界条件为 ；连续条件为 。答案边界条件：x=0 y1=0 y1=0 x=3a y3=0 连续条件 x=a y1=y2 y1=y2 x=2a y2=y3 答疑在左端固定端处，挠度为零，转角为零；在右端活动铰支处挠度为零；在力的作用点处挠度相等、转角相等；在中间铰处挠度相等，转角不等。20、图示中两根材料相同的梁 A 和 B，当自由端具有相同的位移时，最大应力较大的梁是 ，其最大正应力 。答案 B 梁；max=P2L/Wz=6P2L/bh2 答疑 B 梁的抗弯刚度大，在二者自由端的挠度相同时，B 梁的内力大，固 B 梁的应力较大；最大应力为 max=M/Wz=P2L/Wz=6P2L/bh2 21、用积分法求梁的变形时，边界条件为 ，连续条件为 。并大致画出挠曲线的形状。答案 边界条件：x=0 y=0 y=0 x=2a y=0 x=3a y=0 连续条件 x=a y左=y右 答疑 固定端处挠度、转角均为零；中间铰处左右两侧的挠度相等；活动铰支处挠度为零；在自由端处弯矩为零即 y=0。简述 弯曲变形 1、在 XY 坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为 v=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI。求最大弯矩及最大剪力。梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。画出此梁的受力图 答疑根据挠曲线微分方程 EIy=M(x),将已知的挠曲线方程求二阶导数得到：v=q(-18Lx+24x2)/48EI,从而得到弯矩方程为M(x)=q(-3Lx/8+x2/2),将弯矩方程对 x 求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=q(-3L/8+x)。剪力为零的点弯矩取得极值，所以弯矩的极值点发生在 x=3L/8 处，固梁的最大弯矩为：M=q(-3L/83L/8+(3L/8)2/2)=-qL3/128。剪力的一阶导数为 q，且一阶导数值大于零，说明剪力是递增函数，在整个梁上作用有均布载荷且均方向向上。固剪力的最大值发生在 x=L 处，大小为 Q=5qL/8。将 x=0 分别代入剪力方程、弯矩方程得到 Q=-3ql/8、M=0；将 x=L 分别代入剪力方程、弯矩方程得到 Q=5ql/8、M=qL2/8；根据 x=0 时剪力不为零，弯矩为零可以断定左端为自由端，且受向下的集中力的作用，集中力的大小为 3ql/8；在 x=L 剪力不为零、弯矩不为零可以断定，梁的右端为固定端。梁的受力及约束如下：2、钢制悬臂梁在自由端受到力偶 M 后发生弯曲，在小变形情况下作工程计算时，其挠曲线是圆弧状还是二次抛物线？还是二者均可？为什么？答案 圆弧状 答疑 由于梁上作用有力偶，固梁的弯矩方程为常量 M(x)=M。根据曲率与弯矩之间的微分关系 1/=M(x)/EI M/EI，所以梁中性层的曲率半径为常量，挠曲线为圆弧状；3、等截面悬臂梁 EI 已知，梁的下面有一刚性曲面，曲面方程为y=-ax3,欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁上应作用什么样的载荷？并绘制梁的载荷图及梁的内力图。答疑 对曲面方程 y=-ax3求二阶导数得到 y=-6ax。欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁的挠曲线与曲面重合。将曲面的二阶导数代入挠曲线微分方程得到：-6aEIx=M(x)，从而得到梁的弯矩方程为 M(x)-6aEIx。将弯矩方程求一阶导数、二阶导数分别得到剪力方程为 Q(x)=-6EIa、均布载荷集度为 q(x)=0。由均布载荷的集度为零可以断定梁上不作用有均布载荷；由于剪力方程为常量说明在梁的自由端上作用有集中力，集中力的大小为 6EIa、方向向上；根据梁的弯矩方程 M(x)-6aEIx 可知，在梁的自由端处弯矩的大小为 6aEIL、方向瞬时针；梁的载荷图以及内力图如下：4、高度 h、宽度 b 的梁受力偶 M 的作用，如图（）所示，问中性层上的正应力、剪应力各等于多少？在该力偶的作用下是否可以认为图（）中的高度为 h/2，宽度为 b 的两根梁的迭放在强度与刚度方面与之完全相同？为什么？答案 中性层处的正应力为零；中性层处的剪应力为零；不同 答疑 弯曲变形时在中性层处的正应力为零；由于梁受纯弯，横截面上没有剪力的作用，固中性层处的剪应力为零。a 图中的最大弯曲正应力为=M/W=12M/bh3、最大挠度为f=12ML2/2Ebh3；图中的两梁迭放，每一梁承担弯矩的一半M/2，最大弯曲正应力为=M/W=12M/2/b(h/2)3=48M/bh3、最大挠度为 f=M/2L2/2Eb(h/2)3/12=48ML2/2Ebh3。5、若只在悬臂梁的自由端作用有弯曲力偶 M，使其成为纯弯曲，则由 1/=M/EI 知 为常量，挠曲线应为圆弧。若由 y=M(x)/EI 积分，将得到 y=Mx2/2EI，它表面挠曲线是一条抛物线。为何产生这样的差别？答疑 y=M(x)/EI 称为挠曲线的近似微分方程，近似微分方程是由挠曲线微分方程 中忽略了非常小的量 y而得到，因此会产生此差别。6、细长工件，加工完成后会变成什么形状？答案 左细右粗的锥状 答疑 在车刀的作用下相当于悬臂梁受集中力的作用，当车刀位于自由端时，悬臂梁有最大的向上的挠度，被车削掉的较少，加工后的横截面直径偏大；随车刀向固定端移动，悬臂梁的变形较小，被车削掉的部分较多，加工后的横截面直径偏小。最后成为固定端处截面细、自由端处截面粗的锥状。7、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？答案 自由端施加瞬时针的大小为 EI/R 的力偶 答疑 梁在变形后与刚性曲面重合也就是梁在变形后的挠曲线与刚性曲面重合，刚性曲面的半径就是挠曲线的曲率半径，根据挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系有 1/R=M(x)/EI，考虑到梁的抗弯刚度 EI 为常量，挠曲线的曲率为常量，固梁上的弯矩 M(x)也是常量，大小为 M(x)EI/R。固应在自由端施加瞬时针的大小为 EI/R的力偶。8、写出边界条件与连续性条件、弹簧常数为 K。答案 边界条件 x=0 y1=0；x=a+b y2=N/K=Pa/(a+b)K 连续性条件 x=a y1=y2 y1=y2 答疑 x=0 处为固定铰链支座，此处的挠度为零；在 x=a+b 处为弹性支撑，梁的挠度等于弹簧的变形，弹簧的受力根据静力平衡求解大小为 Pa/(a+b)；在外力的作用点 x=a 处满足连续性条件，挠度相同，转角相同。9、写出梁的挠曲线近似微分方程及边界条件。答案 近似微分方程 EIy=qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L 边界条件 x=0 y=0；x=L y=Na/EA=qla/6EA 答疑 对左端的固定铰支取矩求拉杆的受力为：N=qL/6。在图示坐标系下梁的弯矩方程为：M(x)=N(L-x)-q(L-x)/2(L-x)/3。其中 q为 x 处的线性分布载荷的最大挠度，通过几何关系得到 q=q(L-x)/L，代入弯矩方程得到：M(x)=qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L。所以挠曲线的近似微分方程为 EIy=qL(L-x)/6-q(L-x)3/6L。梁的左端为固定铰支、挠度为零；在右端由拉杆连接，梁的右端的挠度等于拉杆的伸长量。10、图示中梁的跨度为 L，B 处为一刚度为 K 的弹簧，写出挠曲线近似微分方程，写出梁的边界条件。答案 近似微分方程 EIy=3qL(L-x)/2-q(L-x)2/2；边界条件 x=0 y=0；x=L y=N/K=3qL/2K 答疑 对梁的左端取矩得到弹簧的受力为 N3qL/2，在图示坐标系下梁的弯矩方程为 M(x)=N(L-x)-q(L-x)2/2=3qL(L-x)/2-q(L-x)2/2，从而得到梁的挠曲线近似微分方程为 EIy=3qL(L-x)/2-q(L-x)2/2。梁的左端为固定铰支，此处挠度为零；在梁的右端为弹性支撑，梁的变形等于弹簧的变形。11、从弯曲的理论解释为什么传动轴上的齿轮或带轮总是避免放置在跨中，而尽量靠近轴承处。答疑 传动轴在工作时可以简化为简支梁，传动轴上的齿轮或带轮传递给传动轴一个集中力的作用。如果将齿轮或带轮安装在跨中，此时传动轴承受最大弯矩，大小为集中力与传动轴跨度乘积的四分之一；如果齿轮或带轮尽量靠近轴承处，此时传动轴承受的最大弯矩总小于集中力与传动轴跨度乘积的四分之一，从而提高了传动轴的弯曲强度。12、在设计中，一受弯的碳素钢轴的刚度不够，有人建议改用优质合金钢，此项建议是否合理？答案 此建议不合理 答疑 钢轴的弯曲刚度不够，说明钢轴的变形过大。根据弯曲变形的挠曲线近似微分方程 EIy=M(x)/EI 可以看出，梁的变形与梁的内力大小、截面惯性矩、梁的材料有关。考虑到各种钢材的弹性模量 E 的变化不大，尽管选择了优质钢，但对提高弯曲刚度的效果不大，且增加成本。一般情况下应考虑通过降低梁承受的弯矩、提高截面的惯性矩、等强度梁等办法来提高梁