勾股定理竞赛试卷(含解答)43769.pdf
八年级数学勾股定理竞赛试卷（时间：120 分钟，总分：120 分）一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1、ABC 周长是 24，M 是 AB 的中点 MC=MA=5，则ABC 的面积是（）A12;B16;C24;D30 2、如图，在正方形 ABCD 中，N 是 CD 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMB=MBC，则 AM：AB=（）A31;B33;C21;D63 第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图 3、如图，已知 O 是矩形 ABCD 内一点，且 OA=1，OB=3，OC=4，那么 OD 的长为（）;2;3;4、如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PA=PB=10，并且 P 点到 CD 边的距离也等于 10，那么，正方形 ABCD的面积是（）A200;B225;C256;D150+102 5、如图，矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AB、AC 上各取一点 N、M，使得 BM+MN 的值最小，这个最小值为（）A12;B102;C16;D20 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）第（5）题图 6、如图，ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有 10 个不同的点1021,PPP，记 CPBPAPMiiii2（i=1，2，10），那 么，1021MMM=_。第（6）题图 7、如图，设MPN=20，A 为 OM 上一点，OA=43，D 为 ON 上一点，OD=83，C 为 AM 上任一点，B 是 OD 上任意一点，那么折线 ABCD 的长最小为_。第（7）题图 第（8）题图 8、如图，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形 ABCD 的面积=_。9、若 x+y=12，那么9422yx的最小值=_。10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题（共 70 分）11、（本题 10 分）如图ABC 三边长分别是 BC=17，CA=18，AB=19，过ABC 内的点 P 向ABC 三边分别作垂线 PD，PE，PF，且 BD+CE+AF=27，求 BD+BF 的长度。12、（本题 15 分）如图，在ABC 中，AB=2，AC=3，A=BCD=45，求 BC 的长及BDC 的面积。13、（本题 15 分）设 a,b,c,d 都是正数。求证：addbacbcddca2222222222 14、（本题 15 分）如图，四边形 ABCD 中，ABC=135，BCD=120，AB=6，BC=5-3，CD=6，求 AD。15、（本题 15 分）如图，正方形 ABCD 内一点 E，E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。答案 一、选择题 1C 2A 3B 4C 5C 解答：1MA=MB=MC=5，ACB=90 知周长是 24，则 AC+BC=14，AC2+BC2=102，2ACBC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)=142-102=424 2421BCACSABC 2如图，延长 MN 交 BC 的延长线于 T，设 MB 的中点为 O，连 TO，则BAMTOB AM：MB=OB：BT MB2=2AMBT （1）令 DN=1，CT=MD=k，则 AM=2 k 所以 BM=222)2(4kAMAB BT=2+k 代入（1），得 4+(2 k)2=2(2 k)(2+k)所以 k=34 所以 AM：AB=32：2=31 3如图，过 O 作 EFAD 于 E，交 BC 于 F；过 O 作 GHDC 于 G，交 AB 于 H 设 CF=x，FB=y,AH=s,HB=x,所以 OG=x,DG=s 所以 OF2=OB2-BF2=OC2-CF2 即 42-x2=32-y2 所以 x2-y2=16 9=7 （1）同理有 OH2=12-s2=32-t2 所以 t2-s2=32-12=8 （2）又因为 OH2+HB2=OB2 即 y2+t2=9（1）-（2）得(x2+s2)(y2+t2)=12 2 2 2 2 所以 OD2=x2+s2=(y2+t2)1=9 1=8 所以 OD=22 4如图，过 P 作 EFAB 于 E，交 CD 于 F，则 PFCD 所以 PF=PA=PB=10，E 为 AB 中点 设 PE=x，则 AB=AD=10+x 所以 AE=21AB=21(10+x)在 RtPAE 中，PA2=PE2+AE2 所以 102=x2+21(10+x)2 所以 x=6 所以正方形 ABCD 面积=AB2=(10+6)2=256 5如图，作 B 关于 AC 的对称点 B，连 A B，则 N 点关于 AC 的对称点 N在 A B上，这时，B 到 M 到 N 的最小值等于 BMN的最小值，等于B到A B的距离 BH，连 B 与 A B和 DC 的交点 P，则ABPS=212010=100，由对称知识，PAC=BAC=PCA 所以 PA=PC，令 PA=x，则 PC=x，PD=20 x，在 RtADP 中，PA2=PD2+AD2 所以 x2=(20 x)2+102 所以 x=因为ABPS=21PABH 所以 BH=165.1221002PASABP 二、填空题 140；212；3223415；413；56，8，10 或 5，12，13 解答：1如图，作 ADBC 于 D，在 RtABD 和 RtAPiD 中，AB2=AD2+BD2 222DPADAPii 所以22222)(DPADBDADAPABii BPCPDPBDDPBDDPBDiiiii)(22 所以422ABBPCPAPiii 所以4iM 所以401021MMM 1 如图，作 A 关于 ON 的对称点 A，D 关于 OM 的对称点 D，连结 AB，CD，则 AB=AB，CD=CD，从而 AB+BC+CD=AB+BC+CDAD 因 为 AON=MON=MOD=20 ，所 以 AOD=60 又因为 OA=OA=43，OD=OD=83，所以 OD=2OA 即ODA为直角三角形，且OAD=90 所以 AD=12)34()38(222 2 OAOD 所以，折线 ABCD 的长的最小值是 12 3如图，作 PMAB 于 M，PNBC 于 N，设 AB=m,PM=x,PN=y，则)3(9)()2(1)()1(4222222yxmymxyx 由（2）、（3）分别得，12222ymymx （3）92222xmxmy （4）将（1）代入（4）得;2303222mmymym 将（1）代入（5）得;2505222mmxmxm 把 x,y 的表达式分别代入（1）得0171024mm 因为 m20 所以 m2=5+22 所以 AB=22521,225,225ADBCm 所以223415)(21ABBCADSABCD 4如图，AB=12，AC=2，BD=3，且 ABAC，ABBD，P 在 AB 上且 PA=x，PB=y，连 PC，PD，在 RtCAP 和 RtDBP 中 9,4222222yPBBDPDxPAACPC 如图，P 点在0P位置时，PC+PD 的值最小，为线段 CD 的长度，而 CD=1312)32(22 所以9422yx的最小值为 13。5设三边长为 a,b,c，其中 c 是斜边，则有)3(2)1(222abcbacba（2）代入（1）得222)2(baabba 即0)844(4baabab 因为 ab0 所以 ab 4a 4b+8=0 所以484ba(a,b 为正整数)所以 b 4=1，2，4，8，所以 b=5，6，8，12；a=12，8，6，5；c=13，10，10，13，所以，三边长为 6，8，10 或 5，12，13 三、解答题 1如图,连结 PA,PB，PC，设 BD=x，CE=y，AF=z，则 DC=17-x，EA=18 y，FB=19 z 在 RtPBD 和 RtPFB 中，有2222)19(PFzPDx 同理有：22222222)18()17(PEyPFzPDxPEy 将以上三式相加，得222222)19()18()17(zyxzyx 即 17x+18y+19z=487 又因为 x+y+z=27，所以 x=z 1,所以 BD+BF=x+(19 z)=z 1+19 z=18 2如图，作 CEAB 于 E，则 CE=AE=2622AC 所以 BE=AB-AE=2-26426 又222BECEBC 所以 BC=1662722 BECE 再过 D 作 DFBC，交 CB 延长线于 F，并设 DF=CF=x，则 BF=x BC=x+1-6 又 RtDFBRtCEB，所以 DF：BF=CE：BE，即 x：(x+1-6)=264:26 所以 x=2623 所以4692623)16(2121DFBCSBCD 2 如图，构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形 ABCD，在 RtABE 中，BE=22ABAE 所以 BE=cddcadca2)(22222 在 RtBCF 中，BF=abdbadbaCFBC2)(2222222 在 R tDEF 中，EF=2222cbDFDE 在BEF 中，BE+EFBF 即abdbacbcddca2222222222 3 如图，过 A 作 AEBC 交 CD 于 E，则1=45，2=60，过 B 作 BFAE 于 F，作 CGAE 于 G，则 RtABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为 AB=6，BC=5-3，所以 BF=AF=22AB=3，所以 CG=BF=3，所以 CE=32CG=2，EG=31CG=1 所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过 D 作 DMAE 延长线于 M MED=180-AED=180-BCD=180-120=60 所以 EM=21DE=2，DM=23DE=23 在 RtAMD 中，AD=192)32()26(2222 DMAM 5如图，以 A 为中心，将ABE 旋转 60到AMN，连 NB，MB，则 AE+EB+EC=AN+MN+EC 因为 AE=AN，NAE=60 所以 AE=NE 所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC 当 AE+EB+EC 取最小值时，折线 MNEC 成为线段，且MC=62，MBC=150 在 RtPMC 中，设 BC=x，PM=xPBx23,2 所以222)23()2()62(xxx 所以 x=2,BC=2
