【参考实用】高考数学精英备考专题讲座-初等函数(文).doc7740.pdf
优质参考文档 优质参考文档 第一讲函数(文)第一节初等函数 函数是高中数学的主干知识，是高中数学的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础.一般地,在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分.难度值一般控制在 0.50.8之间.考试要求：了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;会求一些简单函数的定义域和值域；了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；了解反函数的概念及指数函数xay 与对数函数xaylog互为反函数；理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质；.题型一判定初等函数的性质 例 1 求函数1sinsin21sin3223xxxy的值域.点 拔 函 数 是 三 次 函 数 与 三 角 函 数 复 合 函 数 而 成 的，令sin,1,1tx t 得3221132yttt，本题 就转化为求3221132yttt，1,1t 的值域.三次函数求值域常用导数的方法.解 sin,1,1tx t 令,则3221()132yf tttt,221(21)(1)ytttt ,由0y,得12t 或1t ；由0y,，得121t ，列表：t 1 1(1,)2 12 1(,1)2 1 y 0 0 y 减函数 有极小值 增函数 1,2t 函数有极小值1211113123824224()1f 又211326(1)1 1,f ,215326(1)1 1f ,311246,y.易错点令sin,1,1tx t，忽略了 1,1t；错误地认为最值一定在端点处取得.变式与引申 1：函数3sin1sin2x+yx的值域为_ 题型二抽象函数的性质 例 2 已知函数f x()对任意实数xy，都有()()()f xyf xf y，且当x 0时，f xf()()012，求f x()在21，上的值域.点拔此题()f x是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如xxf2)(，由此 猜想抽象函数()f x在2,1是递增函数，再用定义证明递增.：设xx12，且xxR12，则xx210，再利用0,()0 xf x判断1()f x与2()f x的大小关系.下面只要求出(2),(1)ff的值就行.解设xx12，且xxR12，则xx210，由条件当x 0时，f x()0 优质参考文档 优质参考文档 又)()()()()(11121122xfxfxxfxxxfxf f x()为增函数，令0 xy得(0)0f，再令用1,1xy 得出2)1()1(ff,令1xy 得ff()()2214f x()在，21上的值域为24，易错点利用性质“当x 0时，()0f x”证明单调性，易出错.变式与引申 2：设函数 R=)(xf是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：对任意正数yx,有)()()(yfxfxyf；当1x时，0)(xf；1)3(f.(1)求)91()1(ff、的值;（2）证明Rxf在)(上是减函数.题型三函数奇偶性的判断 例 3 判断函数2()(0,)axf xxxaR的奇偶性.点拔利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则 为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证()fx与()f x的关系，若()()fxf x（或()()()0,1()f xf xfxfx）则()f x为偶函数；若()()fxf x （或()()()0,1()f xf xfxfx）则()f x为奇函数.当难于得出()()fxf x和()()fxf x 的时候，可以考虑验证特殊值.解当0a 时，2()f xx为偶函数；当0a 时，(1)1,(1)1fa fa 0,11,()()aaa fxf x 0,(1)1,()()aaafxf x ()f x既不是奇函数也不是偶函数.易错点用定义判断奇偶性时，容易漏掉0a 的情况.0a 的情况难于得出()fx与()f x的关系，易出错.变式与引申 3：设a为实数，函数2()|1()f xxxaxR讨论()f x的奇偶性.题型四函数思想的应用 例 4 关于R的方程2|10 xxa 有四个不同的解，求a的取值范围.点拔此题有多种思考方法：法 1：原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一 元二次方程：210(0)xxax 和210(0)xxax.原方程有四个不同的解，等价于210(0)xxax 有 2 个不等的正解，且210(0)xxax 有 2 个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.法 2：把原方程看作是关于x的一元二次方程，则令,0tx t，则原问题等价于210tta 有 2 个不等的正数解.法 3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：2|1xxa ，问题等价于函数2|yxxa和1y 的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：22|1,|1.xxa xxa 解法 12|10 xxa 有四个不同的解等价于210(0)xxax 有 2 个不等的正解，且210(0)xxax 有 2 个不同的负数解.优质参考文档 优质参考文档 210(0)xxax 有 2 个不等的正解121201 4(1)05014100axxaRaax x 210(0)xxax 有 2 个不同的负数解121201 4(1)05014100axxaRaax x 综上所述：514a.法 2 令,0tx t则原问题等价于210tta 有 2 个不等的正数解.121 201 4(1)05014100attaRaat t .法 3 在同一直角坐标系内画出直线1y 与曲线2|yxxa的图像，如图观图可知，a的取值必须满足41411aa,解得514a.易错点作为二次方程分类，运算量大，易出错;,tx易忽略0t;同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.变式与引申 4：（20RR年北京卷。文）已知函数32,2()(1),2xf xxxx若关于 R 的方程 f(R)=k 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是_ 本节主要考查初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；熟练作出初等函数的图像利用数形结合；函数思想.点评（1）基本方法：熟练掌握基本初等函数的性质和图像；初等函数利用变量代换转化为基本初 等函数；求出中间变量的范围.（2）求定义域的常用方法:根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是：分式分母不为0；偶次方根的被开放数不能小于0；对数函数的真数大于0,底数大于0且不等于 1；终边在y轴上的角的正切没有意义；00没有意义；复合函数 fg x的定义域，要保证内函数 g x的值域是外函数 f x的定义域.实际问题或几何问题给出的函数定义域除了要考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题或几何问题有意义.（3）求值域的常用方法:观察法；配方法；导数法；不等式法；单调性法；数形结合法；判别式法；有界性法；换元法.（4）判断函数奇偶性的步骤：12x 1y xyaO12x 414ay2|yxxa图111 求)(xf定义域 开始 关于原 是 否 优质参考文档 优质参考文档 习题 1 1 1.函数412()xxf x的图象().A 关于原点对称 B 关于直线RR对称 C 关于R轴对称 D 关于R轴对称 2.已 知 函 数2(3)1()mxmxf x的 值 域 是 0,),则 实 数m的 取 值 范 围 是_ 3.已知定义域为R的函数122()xxbaf x是奇函数，求,a b的值.4.定义在R上的函数()yf x,(0)0f,当0 x 时,()1f x,且对任意的a、bR,有()()()f abf a f b.（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR,恒有()0f x；5.设函数2()(1)2ln(1)f xxx.关于x的方程:2()f xxxa在区间0,2上有两个根，求实数 a 的取值范围.
