一元二次方程根的分布(WORD含答案)4152.pdf

一元二次方程根的分布 一知识要点 二次方程02cbxax的根从几何意义上来说就是抛物线cbxaxy2与x轴交点的横坐标，所以研究方程02cbxax的实根的情况，可从cbxaxy2的图象上进行研究 若在),(内研究方程02cbxax的实根情况，只需考察函数cbxaxy2与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由cbxaxy2的系数可判断出2121,xxxx 的符号，从而判断出实根的情况 若在区间),(nm内研究二次方程02cbxax，则需由二次函数图象与区间关系来确定 1二次方程有且只有一个实根属于),(nm的充要条件 若nm,其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根 若nm,不是二次方程02cbxax的根，二次函数cbxaxxf2)(的图象有以下几种可能：（1）21,0 xnxma （2）nxmxa21,0（3）21,0 xnxma（4）nxmxa21,0 由图象可以看出，)(xf在mx 处的值)(mf与在nx 处的值)(nf符号总是相反，即0)()(nfmf；反之，若0)()(nfmf，)(xf的图象的相对位置只能是图中四种情况之一所以得出结论：若nm,都不是方程)0(02acbxax的根，记cbxaxxf2)(，则0)(xf有且只有一个实根属于),(nm的充要条件是0)()(nfmf 2二次方程两个根都属于),(nm的充要条件 方程)0(02acbcax的两个实根都属于),(nm，则二次函数cbxaxxf2)(的图象与x轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m小于n，它的图象有以下几种情形：（1）nxxma21,0（2）nxxma21,0（3）nxxma21,0（4）nxxma21,0 由此可得出结论：方程)0(02acbxax的两个实根都属于区间),(nm的充要条件是：这里cbxaxxf2)(同理可得出：3二次方程02cbxax的两个实根分别在区间),(nm的两侧（一根小于m，另一根大于n）的充要条件是：这里cbxaxxf2)(4二次方程02cbxax的两个实根都在),(nm的右侧的充要条件是：二次方程02cbxax的两个实根都在),(nm的左侧（两根都小于m）的充要条件是：这里cbxaxxf2)(二例题选讲 例设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。例已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 ff(x)=x 也无实根 例设 2,4)A ，240Bx xax，若BA，求实数a的取值范围 变式：已知方程 x2+(3m-1)x+(3m-2)=0 的两个根都属于(-3,3)，且其中至少有一个根小于 1，求 m 的取值范围 例已知方程)(0)32()1(242Rmmxmx有两个负根，求m的取值范围 例求实数m的范围，使关于x的方程062)1(22mxmx（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根,，且满足410（）至少有一个正根 例已知关于 x的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m的范围.变式：已知方程 2x22(2a-1)x+a+2=0 的两个根在-3 与 3 之间，求 a 的取值范围 例已知二次方程02)12(2mxmmx的两个根都小于 1，求m的取值范围 变式：如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m的取值范围.例已知a是实数，函数2()223f xaxxa，如果函数()yf x在区间11，上有零点，求a的取值范围 二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用下面再举两个例子：例求函数 y=(1x0,求证(1)pf(1mm)0;(2)方程 f(x)=0在(0，1)内恒有解。参考答案 例 分析：可用换元法，设tx2，原方程化为二次方程022btt，但要注意0t，故原方程有解并不等价于方程022btt有解，而等价于方程022btt在),0(内有解另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于x的方程)(xfa 有解，则)(xfa的值域 解：（1）原方程为124xxb，11)12(22)2(24221xxxxx，),1b当时方程有实数解；（2）当1b时，12 x，方程有唯一解0 x；当1b时，bbxx1121)12(2.bbxx112,011,02的解为)11(log2bx；令,0111011bbb bbx112,01时当的解为)11(log2bx；综合、，得 1）当01b时原方程有两解：)11(log2bx；2）当10bb或时，原方程有唯一解)11(log2bx；3）当1b时，原方程无解。例 证明：方程 f(x)=x 即 f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0 无实根，f(x)-x 仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即=(b-1)2-4ac0 若 a0，则函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴上方，y0，即 f(x)-x0 恒成立，即：f(x)x 对任意实数 x 恒成立。对 f(x)，有 f(f(x)f(x)x 恒成立 f(f(x)=x 无实根 若 a0，函数 y=f(x)-x 的图象在 x 轴下方 y0，即 f(x)-x0 恒成立 对任意实数 x，f(x)0 恒成立 对实数 f(x)，有：f(f(x)f(x)x 恒成立 f(f(x)=x 无实根 综上可知，当 f(x)=x 无实根时，方程 f(f(x)=x 也无实根 例分析：观察到方程240 xax有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决 解：因240 xax有两个实根 21424aax，22424aax，故BA等价于12x 且24x，即 24224aa 且24424aa，解之得03a 变式：解：原方程即为(x+1)(x+3m-2)=0，所以方程两根分别为-1,2-3m，而-1 在(-3,1)上，则由题意，另一根满足-32-3m3-m.例解：依题意有 0320)1(0)32(44)1(42mmmm 11m 例解：设62)1(2)(2mxmxxfy（）依题意有0)2(f，即062)1(44mm，得1m（）依题意有 01410)4(054)1(062)0(mfmfmf 解得：4557m （）方程至少有一个正根，则有三种可能：有两个正根，此时可得02)1(20)0(0mf，即1351mmmm或13m 有一个正根，一个负根，此时可得0)0(f，得3m 有一个正根，另一根为，此时可得0)1(2026mm 3m 综上所述，得1m 例解：(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则 65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf2165m，实数 m的范围是)21,65(.(2)据抛物线与 x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或-m1-,实数 m 的范围是21,21(.变式：解：设 f(x)=2x22(2a-1)x+a+2，则原方程两根都属于(-3,3)的充要条件为 3)3)-m,4)或,4)m0(1)当 m0时，二次函数图象与 x轴有两个交点且分别在 y轴两侧，符合题意.(2）当 m0 时，则030mm解得 0m1 综上所述，m 的取值范围是m|m1 且 m0.例解析 1：函数()yf x在区间-1，1上有零点，即方程2()223f xaxxa=0 在-1，1上有解，a=0 时，不符合题意，所以 a0,方程 f(x)=0 在-1，1上有解(1)(1)0ff或(1)0(1)048(3)01 1.1afafaaa 15a 或372a 或5a 372a 或 a1.所以实数 a 的取值范围是372a 或 a1.解析 2：a=0 时，不符合题意，所以 a0,又 2()223f xaxxa=0 在-1，1上有解，2(21)32xax在-1，1上有解212132xax在-1，1上有解，问题转化为求函数22132xyx-1，1上的值域；设 t=3-2x，x-1，1，则23xt，t1,5,21(3)217(6)22tyttt，设2277().()tg ttg ttt，1,7)t时，()0g t，此函数 g(t)单调递减，(7,5t 时，()g t0,此函数 g(t)单调递增，y 的取值范围是 73,1，2()223f xaxxa=0 在-1，1上有解1a 73,11a或372a。例解：原函数即为 y(x2-3x+2)=x+1,yx2-(3y+1)x+2y-1=0,由题意，关于x的方程在(1,2)上有实根 易知 y0,令 f(x)=yx2-(3y+1)x+2y-1，则 f(1)=-20,f(2)=-30，所以方程在(1,2)上有实根当且仅当2)，解得 y-5-2.原函数的值域为(-,-5-2.例 10解：以(0,0),(1,1)为端点的线段所在直线为 y=x，代入抛物线方程得：x=2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0,由题意，方程在区间(0,1)上有实根，令 f(x)=2x2-(m+1)x+m，则当且仅当 f(0)f(1)0 或0,f(1)0)m0 或m3-2且 m0 故 m 的取值范围为(-,0)(0,3-2.巩固练习 1解：易知 x1=-1 是方程的一个根，则另一根为 x2=，所以原方程有且仅有一个实根属于(-1,1)当且仅当-10,-10,0)m，m 的取值范围为(-,-)(,+).2解：令xt2，当)1,(x时，)2,0(t 由于xt2是一一映射的函数，所以x在)1,(上有两个值，则t在)2,0(上有两个对应的值因而方程0)12(2mtmmt在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 由（1）得：41m，由（2）得：0m，由（3）得：0m或92m，由（4）得：2161 m 4192m，即m的取值范围为)41,92(3解：设 f(x)=)1(2)12(2mmxxm，由于 f(x)是二次函数，所以 2m+10，即m-.f(x)=0 在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当 f(1)f(2)0(5m+3)(m-2)0-m2.综上得：m 的取值范围是(-,-)(-,2)4令二次函数 f(x)=(m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则 m-10，即 m1 f(x)=0 的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当.0)1()1(,0)1()1(,122431,0)1)(1(4)43(2fmfmmmmmm545112125112124mm或 m 的取值范围为54511212|5112124|mmmm 5解：令 f(x)=x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当 2,f(0)0,f(2)0)解得-a0,所以，pf(1mm)0(2)由题意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r，当 p0 时，由(1）知 f(1mm)0，若 r0,则 f(0)0,又 f(1mm)0,所以 f(x)=0 在(0，1mm)内有解;若 r0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)(mrmp2)+r=mrmp20,又 f(1mm)0,所以 f(x)=0 在(1mm,1)内有解 当 p0 时同理可证 故方程 f(x)=0 在(0，1)内恒有解