大一高数知识点与例题讲解2797.pdf

实用文档 大一高数 函数与极限 第一节 函数 函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域）（）,|U ax xa,|0U axxa 第二节 数列的极限 数列极限的证明（）【题型示例】已知数列 nx，证明 limnxxa【证明示例】N语言 1由nxa化简得 gn，Ng 2即对0，Ng，当Nn 时，始终有不等式nxa成立，axnxlim 第三节 函数的极限 0 xx 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 xf，证明 Axfxx0lim【证明示例】语言 1由 f xA化简得 00 xxg，g 2即对0，g，当00 xx时，始终有不等式 f xA成立，Axfxx0lim x时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 xf，证明 Axfxlim【证明示例】X语言 1由 f xA化简得 xg，gX 2即对0，gX，当Xx 时，始终有不等式 f xA成立，Axfxlim 第四节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（）函数 xf无穷小 0limxf 函数 xf无穷大 xflim 无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设 xf为有界函数，xg为无穷小，则 lim0f xg x（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 xf 为无穷大，则 1fx为无穷小；反之，若 xf为无穷小，且实用文档 0f x，则 xf1为无穷大【题型示例】计算：0limxxf xg x（或x）1 f xM函数 f x在0 xx 的任一去心邻域,0 xU内是有界的；（f xM，函数 f x在Dx上有界；）2 0lim0 xgxx即函数 xg是0 xx 时的无穷小；（0limxgx即函数 xg是x时的无穷小；）3由定理可知 0lim0 xxfxg x（lim0 xf xg x）第五节 极限运算法则 极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则 关于多项式 p x、xq商式的极限运算 设：nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110 则有 0lim00baxqxpx mnmnmn 000lim00 xxf xg xf xg x 0000000,00g xg xf xg xf x（特别地，当 00lim0 xxf xg x（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx【求解示例】解：因为3x，从而可得3x，所以原式23333311limlimlim93336xxxxxxxxx 其中3x 为函数 239xf xx的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：00233323311limlimlim9269xL xxxxxxx 实用文档 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数 xf是定义域上的连续函数，那么，00limlimxxxxfxfx【题型示例】求值：93lim23xxx【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx 第六节 极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则（P53）（）第一个重要极限：1sinlim0 xxx 2,0 x，xxxtansin1sinlim0 xxx 0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx（特别地，000sin()lim1xxxxxx）单调有界收敛准则（P57）（）第二个重要极限：exxx11lim（一般地，limlimlimg xg xf xf x，其中 0limxf）【题型示例】求值：11232limxxxx【求解示例】211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解：12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）1 sin tan arcsin arctan ln(1)1UUUUUUUe 实用文档 2UUcos1212（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：xxxxxx31ln1lnlim20【求解示例】3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为 第八节 函数的连续性 函数连续的定义（）000limlimxxxxfxfxfx 间断点的分类（P67）（）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数 xaexfx2，00 xx应该怎样选择数a，使得 xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1 2 010000feeefaafa 2由连续函数定义 efxfxfxx0limlim00 ea 第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理（）【题型示例】证明：方程 f xg xC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1（建立辅助函数）函数 xf xg xC在闭区间,a b上连续；2 0ab（端点异号）3由零点定理，在开区间ba,内至少有一点，使得 0，即 0fgC（10）4这等式说明方程 f xg xC在开区间ba,内至少有一个根 第一章 导数与微分 第一节 导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）【题型示例】已知函数 baxexfx1 ，00 xx在0 x处可导，求a，b【求解示例】实用文档 1 0010fefa，00001120012feefbfe 2由函数可导定义 0010002ffafffb 1,2ab【题型示例】求 xfy 在ax 处的切线与法线方程（或：过 xfy 图像上点,a f a处的切线与法线方程）【求解示例】1 xfy，afyax|2切线方程：yf afaxa 法线方程：1yf axafa 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 函数和（差）、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一）：()uvuv 特别地，当1时，有()uvuv 2函数积的求导法则（定理二）：()uvu vuv 3函数商的求导法则（定理三）：2uu vuvvv 第三节 反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则（）【题型示例】求函数 xf1的导数【求解示例】由题可得 xf为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且 0 xf；11fxfx 复合函数的求导法则（）【题型示例】设2arcsin122lnxyexa，求y【求解示例】2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12211121121221221xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaexaeexa 解：2n1222212xxxxxxa 第四节 高阶导数 实用文档 1nnfxfx（或11nnnnd ydydxdx）（）【题型示例】求函数xy1ln的n阶导数【求解示例】1111yxx，12111yxx ，2311121yxx 1(1)(1)(1)nnnynx！第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对x求导）（）【题型示例】试求：方程yexy所给定的曲线C：xyy 在点1,1e的切线方程与法线方程【求解示例】由yexy两边对x求导 即 yyxe化简得1yyey eey11111 切线方程：exey1111 法线方程：exey111 参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程tytx，求22dxyd【求解示例】1.ttdxdy2.22dyd ydxdxt 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dxxfdy 第二章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 引理（费马引理）（）罗尔定理（）【题型示例】现假设函数 f x在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得 cossin0ff成立 【证明示例】1（建立辅助函数）令 sinxf xx 显然函数 x在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2又 00 sin00f 实用文档 sin0f 即 00 3由罗尔定理知 0,，使得 cossin0ff成立 拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当1x 时，xee x 【证明示例】1（建立辅助函数）令函数 xf xe，则对1x，显然函数 f x在闭区间1,x上连续，在开区间1,x上可导，并且 xfxe；2由拉格朗日中值定理可得，1,x 使得等式11xeexe成立，又1ee，111xeexee xe ，化简得xee x，即证得：当1x 时，xee x 【题型示例】证明不等式：当0 x 时，ln 1xx【证明示例】1（建立辅助函数）令函数 ln 1f xx，则对0 x，函数 f x在闭区间0,x上连续，在开区间0,上可导，并且 11fxx；2由拉格朗日中值定理可得，0,x 使得等式1ln 1ln 1001xx成立，化简得1ln 11xx，又0,x，111f，ln 11xxx，即证得：当1x 时，xee x 第二节 罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A属于两大基本不定型（0,0）且满足条件，则进行运算：limlimxaxaf xfxg xgx （再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出）B不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx【求解示例】10000201lnlnlimlnlimlimlim111lim0 xxL xxxxxxxxxxxxxa 解：（一般地，0limln0 xxx，其中,R）实用文档 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011limsinxxx【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxx解：000000002sin1 cos1 cossinlimlimlimlim0222L xxL xxxxxxxxxx 00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0limxxx【求解示例】0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0lim lnlimlim111limlim0limlim11xxxxxL xyyxxxxxyxyxxxxxxxyxxxxyeeex 解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 1型（对数求极限法）【题型示例】求值：10lim cossinxxxx【求解示例】01000000limlnln100ln cossincossin,ln,ln cossinln0limlnlimln cossincossin1 0limlim1,cossin1 0lim=limxxxxL xxyyxxxxyxxyxxxyxyxxxxxxxxyeeee解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得 0型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx【求解示例】实用文档 tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlim tanln1lnlnlimlimlim1sec1tantantansinsinlimlimlixxxxLxxxL xyyxxxyxyxxxxxxxxxxxxx 解：令两边取对数得对求时的极限，00limlnln0002sincosm0,1lim=lim1xxyyxxxxyeee从而可得 运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）0000001 (1)(2)(3)通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数 3229123f xxxx的单调区间【求解示例】1函数 f x在其定义域R上连续，且可导 261812fxxx 2令 6120fxxx，解得：121,2xx 3（三行表）x,1 1 1,2 2 2,fx 0 0 f x 极大值 极小值 4函数 f x的单调递增区间为,1,2,；单调递减区间为1,2【题型示例】证明：当0 x 时，1xex【证明示例】1（构建辅助函数）设 1xxex，（0 x）2 10 xxe，（0 x）00 x 3既证：当0 x 时，1xex 实用文档 【题型示例】证明：当0 x 时，ln 1xx【证明示例】1（构建辅助函数）设 ln 1xxx，（0 x）2 1101xx，（0 x）00 x 3既证：当0 x 时，ln 1xx 连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数2313yxx 的单调性、极值、凹凸性及拐点 【证明示例】1236326661yxxx xyxx 2令320610yx xyx 解得：120,21xxx 3（四行表）x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y 0 0 y y 1 (1,3)5 4函数2313yxx 单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0),(2,)；函数2313yxx 的极小值在0 x 时取到，为 01f，极大值在2x 时取到，为 25f；函数2313yxx 在区间(,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)上凸；函数2313yxx 的拐点坐标为1,3 第五节 函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系（）设函数 f x的定义域为D，如果Mx的某个邻域MU xD，使得对MxU x，都适合不等式 Mf xf x，我们则称函数 f x在点,MMxf x处有极大值Mf x；令123,.,MMMMMnxxxxx 则函数 f x在闭区间,a b上的最大值M满足：123max,.,MMMMnMf axxxxf b；设函数 f x的定义域为D，如果mx的某个邻域 mU xD，使得对mxU x，都适合不等式 mf xf x，我们则称函数 f x在点,mmxf x处有极小值 mf x；实用文档 令123,.,mmmmmnxxxxx 则函数 f x在闭区间,a b上的最小值m满足：123min,.,mmmmnmf axxxxf b；【题型示例】求函数 33f xxx在1,3上的最值 【求解示例】1函数 f x在其定义域1,3上连续，且可导 233fxx 2令 3110fxxx，解得：121,1xx 3（三行表）x 1 1,1 1 1,3 fx 0 0 f x 极小值 极大值 4又 12,12,318fff maxmin12,318f xff xf 第六节 函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求）第三章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数 F x的导函数为 Fx，即当自变量xI时，有 Fxf x或 dF xf xdx成立，则称 F x为 f x的一个原函数 原函数存在定理：（）如果函数 f x在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数 F x使得 Fxf x，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间I上，函数 f x的带有任意常数项C的原函数称为 f x在定义区间I上的不定积分，即表示为：f x dxF xC（称为积分号，f x称为被积函数，f x dx称为积分表达式，x则称为积分变量）基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）1212k f xk g x dxkf x dxkg x dx 第二节 换元积分法 第一类换元法（凑微分）（）（dxxfdy的逆向应用）fxx dxfxdx【题型示例】求221dxax 实用文档 【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxxaa解：【题型示例】求121dxx【求解示例】11112121221212 2121dxdxdxxxxxC 解：第二类换元法（去根式）（）（dxxfdy的正向应用）对于一次根式（0,abR）：axb：令taxb，于是2tbxa，则原式可化为t 对于根号下平方和的形式（0a）：22ax：令tanxat（22t），于是arctanxta，则原式可化为secat；对于根号下平方差的形式（0a）：a22ax：令sinxat（22t），于是arcsinxta，则原式可化为cosat；b22xa：令secxat（02t），于是arccosatx，则原式可化为tanat；【题型示例】求121dxx（一次根式）【求解示例】2211122112121txxtdx tdtdxtdtdttCxCtx 解：【题型示例】求22ax dx（三角换元）【求解示例】2sin()222222arcsincos22cos1cos221sin2sin cos222x attxtadx ataax dxatdtt dtaattCtttC 解：第三节 分部积分法 分部积分法（）设函数 uf x，vg x具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udvuvvdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；实用文档 就近凑微分：（v dxdv）使用分部积分公式：udvuvvdu 展开尾项vduv u dx，判断 a若v u dx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b若v u dx依旧是相当复杂，无法通过 a 中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2xex dx【求解示例】222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxex dxx e dxx dex ee d xx ex e dxx ex d ex exee dxx exeeC解：【题型示例】求sinxexdx【求解示例】sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxe dxexxd eexexdxexe dxexexxd eexexexdx 解：sincossinsinxxxxexdxexexxd e 即：1sinsincos2xxexdxexxC 第四节 有理函数的不定积分 有理函数（）设：101101mmmnnnP xp xa xa xaQ xq xb xb xb 对于有理函数 P xQ x，当 P x的次数小于 Q x的次数时，有理函数 P xQ x是真分式；当 P x的次数大于 Q x的次数时，有理函数 P xQ x是假分式 有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数 P xQ x的分母 Q x分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式kxa；而另一个多项式可以表示为二次质因式2lxpxq，（240pq）；即：12Q xQ xQx 一般地：nmxnm xm，则参数nam 实用文档 22bcaxbxca xxaa 则参数,bcpqaa 则设有理函数 P xQ x的分拆和式为：122klP xP xPxQ xxaxpxq 其中 1122.kkkP xAAAxaxaxaxa 2112222222.llllP xM xNM xNxpxqxpxqxpxqM xNxpxq 参数121212,.,.,lklMMMA AANNN由待定系数法（比较法）求出 得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21xdxx（构造法）【求解示例】221111111111ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx 第五节 积分表的使用（不作要求）第四章 定积分极其应用 第一节 定积分的概念与性质 定积分的定义（）01limnbiiaifx dxfxI（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，,a b称为积分区间）定积分的性质（）bbaaf x dxf u du 0aafx dx bbaakfxdxkfx dx（线性性质）实用文档 1212bbbaaak f xk g xdxkf x dxkg x dx（积分区间的可加性）bcbaacfx dxfx dxfx dx 若函数 f x在积分区间,a b上满足 0f x，则 0bafx dx；（推论一）若函数 f x、函数 g x在积分区间,a b上满足 f xg x，则 bbaafx dxg x dx；（推论二）bbaaf x dxf x dx 积分中值定理（不作要求）第二节 微积分基本公式 牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数 F x是连续函数 f x在区间,a b上的一个原函数，则 bafx dxF bF a 变限积分的导数公式（）（上上导下下导）xxdf t dtfxxfxxdx【题型示例】求21cos20limtxxedtx【求解示例】221100coscos2002limlim解：ttxxxL xdedtedtdxxx 2222221coscos000cos00coscos0cos010sinsinlimlim22sinlim2cossin2sin coslim21limsincos2sin cos21122xxxxxL xxxxxxeexx exxdx edxxx ex exxexxxxee 第三节 定积分的换元法及分部积分法 定积分的换元法（）（第一换元法）bbaafxx dxfxdx【题型示例】求20121dxx 实用文档 【求解示例】222000111121ln 212122121ln5ln5ln122解：dxdxxxx （第二换元法）设函数,f xC a b，函数 xt满足：a,，使得 ,ab ；b在区间,或,上，,ftt连续 则：bafx dxftt dt【题型示例】求40221xdxx【求解示例】22121 0,43220,1014,33233231113222211311 133222 3522933解：ttxxxtxttxdxdxtxtt dttdttxt （分部积分法）bbaabbbaaau x v x dxu x v xv x ux dxu x dv xu x v xv x du x 偶倍奇零（）设,f xCa a，则有以下结论成立：若 fxf x，则 02aaaf x dxf x dx 若 fxf x，则 0aafx dx 如：不定积分公式21arctan1dxxCx的证明。很多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：tan22arctan22222211tan11tan111cosseccoscosarctanxtttxdxtdtxtdttdtdtttttCxC 如此，不定积分公式2211arctanxdxCaxaa也就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。