二阶常微分方程解3324.pdf
实用文档 标准 第七节 二阶常系数线性微分方程的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 22dxydpdxdyqy0 (7.1)其中 p、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解 y1,y就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dxyd，dxdy，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数 y，实用文档 标准 其22dxyd，dxdy，y 之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数 erx，符合上述要求，于是我们令 yerx(其中 r 为待定常数)来试解 将 yerx，dxdyrerx，22dxydr2erx代入方程(7.1)得 r2erxprerxqerx0 或 erx（r2prq）0 因为 erx0，故得 r2prq0 由此可见，若 r 是二次方程 r2prq0 (7.2)的根，那么 erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根 r，r2，称为特征根，由代数知识，特征根 r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根 r，r2，此时 erx，er2x是方程(7.1)的两个特解。实用文档 标准 因为 xrxr21eeex)rr(21常数 所以 er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为 yC1er1xC2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根 r1r2，此时 p24q0，即 有 r1r22p，这样只能得到方程(7.1)的一个特解 yerx，因此，我们还要设法找出另一个满足12yy常数，的特解 y2，故12yy应是 x 的某个函数，设12yyu，其中 uu(x)为待定函数，即 y2uy1uerx 对 y2求一阶，二阶导数得 dxdy2dxduer1xruer1x(dxdur1u)er1x 222dxyd(r2u2r1dxdu22dxud)er1x 将它们代入方程(7.1)得 (r21ur1dxdu22dxud)er1xp(dxdur1u)er1xquer1x0 实用文档 标准 或 22dxud(2r1p)dxdu(rpr1q)u er1x0 因为 er1x0，且因 r1是特征方程的根，故有 rprq0，又因 r12p故有 2r1p0，于是上式成为 22dxud0 显然满足22dxud0 的函数很多，我们取其中最简单的一个 u(x)x 则 y2xerx是方程(7.1)的另一个特解，且 y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是 yC1er1xC2xer1x(C1C2x)er1x (3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1i，r2i 此时方程(7.1)有两个特解 y1e(i)x y2e（i）x 则通解为 yC1e（i）xC2e（i）x 其中 C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，实用文档 标准 在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式 eixcosxisinx，eixcosxisinx 有 21(eixeix)cosx i 21(eixeix)sinx 21(y1y)21ex(eixeix)excosx i 21(y1y2)i 21ex(eixeix)exsinx 由上节定理一知，21(y1y2)，i 21(y1y2)是方程(7.1)的两个特解，也即 excosx，exsinx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为 yC1excosxC2exsinx 或 yex(C1cosxC2sinx)其中 C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中，分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下 实用文档 标准 特征方程 r2prq0 的根 微分方程22dxydpdxdyqy0 的通解 有二个不相等的实根 r1，r2 yC1er1xC2er2x 有二重根 r1r2 y(C1C2x)er1x 有一对共轭复根irir21 yex(C1cosxC2sinx)例 1.求下列二阶常系数线性齐次方程的通解 (1)22dxyd3dxdyy0(2)22dxyd4dxdy4y0(3)22dxyd4dxdy7y0 解 (1)特征方程 r23r100 有两个不相等的实根 r15，r22 所求方程的通解 yC1e 5rC2e2x(2)特征方程 r24r40，有两重根 r1r22 所求方程的通解 y(C1C2x)e2x(3)特征方程 r24r70 有一对共轭复根 r123i r223i 实用文档 标准 所求方程的通解 ye2x(C1cos3xC2sin3x)7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法 由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程 22dxydpdxdyqyf(x)(7.3)的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见的形式进行讨论。一、f(x)pn(x)ex，其中 pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当0 时，即当 f(x)pn（x）时方程 22dxydpdxdyqypn(x)(7.4)的一个特解。(1)如果 q0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解yQn(x)a0 xna1xn1实用文档 标准 an，其中 a0，a1，an是待定常数，将y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是 n 次多项式，比较两边 x 的同次幂系数，就可确定常数 a0，a1，an。例 1.求22dxyddxdy2yx23 的一个特解。解 自由项 f(x)x23 是一个二次多项式，又 q20，则可设方程的特解为 ya0 x2a1xa2 求导数 y2a0 xa1 y2a0 代入方程有 2a0 x2(2a02a1)x（2a0a12a）x23 比较同次幂系数 3a2aa20a2a21a2210100 解得 47a21a21a210 所以特解y21x221x47(2)如果 q0，而 p0，由于多项式求导一次，其实用文档 标准 次数要降低一次，此时yQn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n1)次多项式所满足，此时我们可设 yxQn(x)a0 xn1a1xnanx 代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数 a0，a1，an。例 2.求方程22dxyd4dxdy3x22 的一个特解。解 自由项 f(x)3x22 是一个二次多项式，又q0，p0，故设特解 ya0 x3a1x2a2x 求导数 y3a0 x22a1xa2 y6a0 x2a1 代入方程得 12a0 x2（8a16a0）x（a14a2）3x22，比较两边同次幂的系数 2a4a20a6a83a1221010 解得 3219a163a41a210 实用文档 标准 所求方程的特解 y41x3163x23219x(3)如果 p0，q0，则方程变为22dxydpn(x)，此时特解是一个(n2)次多项式，可设 yx2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。下面讨论当0 时，即当 f(x)pn(x)ex时方程 22dxydpdxdyqypn(x)ex (7.5)的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子 ex，如果能通过变量代换将因子 ex去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设 yuex，其中 uu(x)是待定函数，对 yuex，求导得 dxdyexdxduuex 求二阶导数 22dxydex22dxud2exdxdu2uex 代入方程(7.5)得 ex22dxud2dxdu2upexdxduuquexpn(x)ex 实用文档 标准 消去 ex得 22dxud(2p)dxdu(2pq)upn（x）(7.6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：(1)如果2pq0，即不是特征方程 r2prq0 的根，则可设(7.6)的特解 un(x)，从而可设(7.5)的特解为 yQn(x)ex (2)如果2pq0，而p0，即是特征方程 r2prq0 的单根，则可设(7.6)的特解 uxQn(x)，从而可设(7.5)的特解为 yxQn(x)e x (3)如果 r2pq0，且p0，此时是特征方程 r2prq0 的重根，则可设(7.6)的特解 ux2Qn(x)，从而可设(7.5)的特解为 yx2Qn(x)e x 例 3.求下列方程具有什么样形式的特解 (1)22dxyd5dxdy6ye3x 实用文档 标准(2)22dxyd5dxdy6y3xe 2x(3)22dxyddxdyy(3x21)e x 解 (1)因3 不是特征方程 r25r60 的根，故方程具有形如 ya0e3x的特解。(2)因2 是特征方程 r25r60 的单根，故方程具有形如 yx(a0 xa1)e 2x的特解。(3)因1 是特征方程 r22r10 的二重根，所以方程具有形如 yx2(a0 x2a1xa)e x的特解。例 4.求方程22dxydy(x2)e3x的通解。解 特征方程 r10 特征根 ri 得，对应的齐次方程22dxydy0的通解为 YC1cosxCsinx 由于3 不是特征方程的根，又 pn(x)x2 为一次多项式，令原方程的特解为 实用文档 标准 y(a0 xa1)e3x 此时 ua0 xa1，3，p0，q1，求 u 关于 x的导数dxdua0，22dxud0，代入 22dxud(p)dxdu(2pq)u(x2)得：10a0 x10a16a0 x2 比较两边 x 的同次幂的系数有 2a6a101a10010 解得 a0101，a15013 于是，得到原方程的一个特解为 y(101x5013)e3x 所以原方程的通解是 yYyC1cosxC2sinx（101x5013）e3x 例 5.求方程22dxyd2dxdy3y(x1)ex的通解。解 特征方程 r22r30 特征根 r11，r23 实用文档 标准 所以原方程对应的齐次方程22dxyd2dxdy3y0 的通解YC1exC2e3x,由于1是特征方程的单根，又 pn(x)x21 为二次多项式，令原方程的特解 yx(a0 x2a1xa2)ex 此时 ua0 x3a1x2a2x，1，p2，q3 对 u 关于 x 求导 dxdu3a0 x22a1xa2 22dxud6a0 x2a1 代入22dxud(2p)dxdu(2prq)ux21，得 12a0 x2(6a08a)x2a14ax21 比较 x 的同次幂的系数有 0a8a6121a1a121000 解得 329a0a4a2161a2011 故所求的非齐次方程的一个特解为 y4x(3x24x89)ex 实用文档 标准 二、f(x)pn(x)excosx 或 pn（x）exsinx，即求形如 22dxydpdxdyqypn(x)excosx (7.7)22dxydpdxdyqypn(x)exsinx (7.8)这两种方程的特解。由欧拉公式知道，pn（x）excosx，pn(x)exsinx 分别是函数 pn(x)e（i）x的实部和虚部。我们先考虑方程 22dxydpdxdyqypn（x）e（i）x (7.9)方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面讨论。由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的一个特解。注意到方程(7.9)的指数函数 e（i）x中的i实用文档 标准(0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以i最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特解形为 Qn(x)e（i）x或xn(x)e（i）x。例 6.求方程22dxydyexcos2x 的通解。解 特征方程 r210 特征根 r11，r21 于是原方程对应的齐次方程的通解为 YC1exC2ex 为求原方程的一个特解y。先求方程22dxydye（2i）x的一个特解，由于 12i 不是特征方程的根，且 pn(x)为零次多项式，故可设 ua0，此时(12i)，p0，q1 代入方程 22dxud(2p)dxdu(2pq)u1 得（2i）21a01，即(4i4)a01，得 a0)1i(4181(i1)这样得到22dxydye（2i）x的一个特解 实用文档 标准 y81(i1)e（2i）x 由欧拉公式 y 81(i1)e（2i）x 81(i1)ex(cosxisin2x)81ex（cos2xsin2x）i(cos2xsin2x)取其实部得原方程的一个特解 y81ex(cosxsin2x)故原方程的通解为 yYyC1exC2ex81ex(cos2xsin2x)例 7.求方程22dxydy(x2)e3xxsinx 的通解。解 由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别求22dxydy0 的特解 Y，22dxydy(x2)e3x的一个特解1y，22dxydyxsinx 的一个特解2y 然而相加即可得原方程的通解，由本节例 4 有 实用文档 标准 YC1cosxC2sinx，1y(101x5013)e3x 下面求2y，为求2y先求方程 22dxydyxeix 由于 i 是特征方程的单根，且 pn（x)x 为一次式，故可设 ux(a0 xa1)a0 x2a1x，此时i，p0，q1，对 u 求导 dxdu2a0 xa1，22dxud2a0 代入方程 22dxud(2p)dxdu(2pq)ux 得 2a2i(2a0 xa1)0 x 即 4ia0 x2ia12a0 x 比较 x 的同次幂的系数有：0a2ia21ia4010 得 41a41i 41a10 即方程22dxydyxeix的一个特解 y(4ix241x)eix (4ix241)(cosxisinx)实用文档 标准 (41x2sinx41xcosx)i(41x2cosx41xsinx)取其虚部，得2y41x2cosx41xsinx 所以，所求方程的通解 y Y1y2y C1cosxC2sinx(101513)ex41xcosx41xsinx 综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程 22dxydpdxdyqyf(x)当自由项 f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解y可用待定系数法求得，其特解形式列表如下：自由项 f(x)形式 特解形式 f(x)pn(x)当 q0 时yQn(x)当 q0,p0 时yQn(x)当 q0,p0 时yx2Qn(x)f(x)pn（x）ex 当不是特征方程根时 yQn(x)ex 实用文档 标准 当是特征方程单根时yxQn(x)ex 当是特征方程重根时yx2Qn(x)ex f(x)pn(x)excosx 或 f(x)pn(x)exsinx 利用欧拉公式 eixcosxisinx，化为 f(x)pn(x)e（i）x的形式求特解，再分别取其实部或虚部 以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。例 8.求 y3y3yyex的通解 解 对应的齐次方程的特征方程为 r33r23r10 r1r2r31 所求齐次方程的通解Y(C1C2xC3x2)e x 由于1 不是特征方程的根 因此方程的特解ya0ex代入方程可解得 a081 故所求方程的通解为 yYy(C1C2xC3x2)ex81ex。7.3 欧拉方程 下述 n 阶线性微分方程 实用文档 标准 a0 xnnnaxyda1xn11n1ndxydan1xdxdyanyf(x)称为欧拉方程，其中 a0，a1，an都是常数，f(x)是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。对于二阶欧拉方程 a0 x222dxyda1xdxdya2yf(x)(7.10)作变量替换令 xet，即 tlnx 引入新变量 t，于是有 dxdydtdydxdt dtdyx1x1dtdy 22dxyddxd(x1dtdy)x1dxd(dtdy)dtdydxd(x1)x122dtyddxdt2x1dtdy 2x122dtyd2x1dtdy 代入方程(7.10)得 a0(22dtyddtdy)a2dtdya1yf(et)实用文档 标准 即 22dtyd002aaa dtdy01aay0a1f(et)它是 y 关于 t 的常系数线性微分方程。例 9.求 x222dxydxdxdy6lnxx1的通解。解 所求方程是二阶欧拉方程 作变换替换，令 xet，则 dxdyx1dxdy 22dxyd2x122dtyd2x1dtdy 代入原方程，可得 22dtyd6tet 两次积分，可求得其通解为 yC1C2tt3et 代回原来变量，得原方程的通解 yC1C2lnx(lnx)3x1 第八节 常系数线性方程组 前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的个数都只有一个，但在实际问题中常遇到含有一个自变量的两个或多个未知函数的常微分方程组。本节只讨论常系数线性方程组，并且用代数的方法将其化为常实用文档 标准 系数线性方程的求解问题。下面以例说明。例 1.求方程组 )2(0y3x4dtdy)1(ey2xdtdxt的通解。解 与解二元线性代数方程组中的消元法相类似，我们设法消去一个未知函数，由(1)得 y21(dtdxxet)(3)将其代入(2)得 21(22dtxddtdxet)4x23(dtdxxet)0 化简得 22dtxd4dtdx5x2et 它是一个二阶常系数非齐次方程 它的通解为 xC1e5tC2et41et 代入(3)得 y2C1e5tC2et21et 即所求方程组的通解为 tt2t51tt2t51e21eCeC2ye41eCeCx 实用文档 标准 例 2.求解方程组 )2(t2yxdtdydtdx)1(ytdtdydtdx2的通解 解 为消去 y，先消去dtdy，为此将(1)(2)得 dtdxx2yt0 即有 y21(dtdxxt)(3)代入(2)得 dtdx21dtd(dtdxxt)x21(dtdxxt)2t0 即 22dtxd2dtdxx3t1 这是一个二阶常系数线性非齐次方程，解得 xCetC2tet3t7 代入(3)得 yC1etC(21t)ett 所以原方程组的通解为 5te)t21(CeCy7t 3teCeCxt2t1t2t1
