数列的综合应用15083.pdf

第十六节 数列的综合应用 自我反馈 1已知正项等差数列an满足：an1an1a2n(n2)，等比数列bn满足：bn1bn12bn(n2)，则 log2(a2b2)()A1 或 2 B0 或 2 C2 D1 解析：选 C 由题意可知，an1an12ana2n，解得an2(n2)(由于数列an每项都是正数)，又bn1bn1b2n2bn(n2)，所以bn2(n2)，log2(a2b2)log242.2已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1 an2，当an为偶数时，3an1，当an为奇数时.若a61，则m所有可能的取值为()A4,5 B4,32 C4,5,32 D5,32 解析：选 C an1 an2，当an为偶数时，3an1，当an为奇数时，注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数由a61 一直往前面推导可得a14 或 5 或 32.3在等差数列an中，a12，a36，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_ 解析：由题意知等差数列an的公差da3a122，则a48，a510，设所加的数为x，依题意有(8x)2(2x)(10 x)，解得x11.答案：11 4某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_ 解析：设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为 2，公比为 2，所以由题意可得212n12100，即 2n51，而 2532,2664，nN*，所以n6.答案：6 5已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，数列bn为等比数列，且首项b11，b48.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列满足abn，求数列的前n项和Tn.解：(1)数列an的前n项和为Sn，且Snn2，当n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1.当n1 时，a1S11 亦满足上式，故an2n1(nN*)又数列bn为等比数列，设公比为q，b11，b4b1q38，q2.bn2n1(nN*)(2)abn2bn12n1.Tnc1c2c3(211)(221)(2n1)(21222n)n212n12n.所以Tn2n12n.考向一 等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2016 XX模拟)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)求数列bn的前 n 项和.【母题变式】1.若本例题条件“bn-an是等比数列”变为“bn-an是等差数列”,其他条件不变,求数列bn的通项公式.2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且bn-an是等比数列”变为“an+2an-1=nb1”,求数列bn的通项公式.【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于 1 的可 能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式训练】(2016XX 模拟)已知等差数列an的 公差和首项都不等于 0,且 a2,a4,a8成等比数列,则 15923aaaaa =()A.2 B.3 C.5 D.6 【加固训练】1.等比数列an的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比 q 为()A.-2 B.1 C.-2 或 1 D.2 或-1 2.(2016XX 模拟)已知数列an是公差大于零的等 差数列,数列bn为等比数列,且 a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设=anan+1,求数列 n1c 的前 n 项和 Tn.因为 d0,所以 d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2 2n-1=2n,即 an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).考向二 数列中的图表问题【典例 2】(1)(2016XX 模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律,第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为_.(2)(2016XX 模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知 a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 求数列an,2的通项公式.【解题导引】(1)求出第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.(2)设第一行组成的等差数列的公差是 d,各列依次组成的等比数列的公比是 q(q0),则 a2,3=qa1,3=q(1+2d)q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)q2(1+d)=8,解得 d=1,q=2.a1,2=2an,2=22n-1=2n.【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键(1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置.(2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.【变式训练】(2016XX 模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第 3 行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第 i 行第 j 列数为 aij(i,jN*),则a43=_.141 12 43 3 34 8 16，【加固训练】1.(2016模拟)已知 an=(13)n,把数列an的各项 排列成如下的三角形形状.a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12)=()93929411211A.()B.()3311C.()D.()33 2.(2016XX 模拟)正整数按下列方法分组:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记第 n 组中各数之和为 An;由自然数的立方构成下列数组:03,13,13,23,23,33,33,43,记第 n 组中后一个数 与前一个数的差为 Bn,则 An+Bn=_.【解析】由题意知,前 n 组共有 1+3+5+(2n-1)=n2个数,所以第 n-1 组的最后一个数为(n-1)2,第 n 组的第一个数为(n-1)2+1,第 n 组共有 2n-1 个数,所以根据等差数列的前 n 项和公式可得 3.(2016XX 模拟)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1 a2a3 a4a5a6 a7a8a9a10 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1.Sn为数列bn的前 n 项和,且满足n2nnn2bb SS=1(n2).(1)证明数列 n1S 成等差数列,并求数列bn的通项公 式.(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的 顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 a81=491 时,求上表中第 k(k3)行所有项的和.考向三 数列的实际应用问题【典例 3】(2016日照模拟)某大学 X 教授年初向银行贷款 2 万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10 年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?【规 X 解答】设每年还款 x 元,需 10 年还清,那么各年还款利息情况如下:第 10 年付款 x 元,这次还款后欠款全部还清;第 9 年付款 x 元,过 1 年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为 x(1+10%)元;第 8 年付款 x 元,过 2 年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为 x(1+10%)2元;第 1 年付款 x 元,过 9 年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为 x(1+10%)9元.10 年后应还款总数为 20000(1+10%)10.【一题多解】第 1 次还款 x 元之后欠银行 20000(1+10%)-x=200001.1-x,第 2 次还款 x 元后欠银行 20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.12-1.1x-x,【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求 an还是 Sn,特别是要弄清项数.【变式训练】某市 2015 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2015 年为累 计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的 比例首次大于 85%?(参考数据:1.0841.36,1.085 1.47,1.0861.59)数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题 简单递推 数列 指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为 20%,每年年底要拿出 a(常数)作为下年度的开销,即数列an满足 an+1=1.2an-a 答:到 2024 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米.(2)设新建住房的面积构成数列bn,由题意可知,bn 是等比数列,其中 b1=400,q=1.08,则 bn=4001.08n-1.由题意可知 an0.85bn,有 250+(n-1)504001.08n-10.85.当 n=5 时,a50.85b6,即满足上述不等式的最小正整数 n 为 6.答:到 2020 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.【加固训练】1.(2016XX 模拟)X 丘建算经卷上第 22 题为:今 有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织 相同量的布,若第 1 天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计)共 织 390 尺布,则每天比前一天多织_尺布.()181616A.B.C.D.2152931 2.某工业城市按照“十二五”(2011 年至 2015 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.现以降低 SO2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少 0.3 万吨,已知该城市 2011 年 SO2的年排放量约为 9.3 万吨.(1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放 SO2约多少万吨?(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在 2012 年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自2013年起,SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为 p,为使 2020 年这一年 SO2的年排放量控制在 6 万吨以内,求 p 的取值 X 围.9822(0.950 60.955 9)33参考数据：，答:按原计划,“十二五”期间该城市共排放 SO2约为 43.5 万吨.答:SO2的年排放量每年减少的百分率 p 的取值 X 围为(4.94%,1).考向四 数列与函数、不等式的综合问题【考情快递】【考题例析】命题方向 1:数列与函数的综合问题【典例 4】(2014XX 高考)设 fn(x)=x+x2+xn-1,nN,n2.命题方向 2:数列与不等式的综合问题【典例 5】(2014全国卷)已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1.(1)证明 n1a2 是等比数列,并求an的通项公式.(2)证明:12n1113.aaa2 【技法感悟】1.解决函数与数列的综合问题的基本思路(1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;因此可考虑借助数形结合的思想思考数列问题.(2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数的知识,如单调性、最值来解决.2.数列中不等式的处理方法(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.(3)比较方法:作差或者作商比较.【题组通关】1.(2016XX 模拟)已知等比数列an的首项 a1=2014,公比为 q=12,记 bn=a1a2a3an,则 bn达到最大值时,n 的值 为()A.10 B.11 C.12 D.不存在 2.(2016XX 模拟)已知函数 f(x)=x 63a x3(x7)a(x7),若数列an满足 an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则 实数 a 的取值 X 围是_.3.(2016滨州模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(nN*),等差数列bn中 b2=5,且公差 d=2.(1)求数列an,bn的通项公式.(2)是否存在正整数 n,使得 a1b1+a2b2+anbn60n?若存 在,求出 n 的最小值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)a1=1,an+1=2Sn+1,所以当 n2 时,an=2Sn-1+1,相减得:an+1=3an(n2),又 a2=2a1+1=3,所以 a2=3a1,所以数列an是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,an=3n-1.又 b2=b1+d=5,所以 b1=3,bn=2n+1.(2)anbn=(2n+1)3n-1,令 Tn=a1b1+a2b2+anbn=31+53+732+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-得:-2Tn=31+2(3+32+3n-1)-(2n+1)3n,所以 Tn=n3n,所以 n3n60n,即 3n60,当 n3 时,3n60,所以存在 n 的最小值为 4.课时提升作业 1.(2014高考)设an是公比为 q 的等比数列,则“q1”是“an为递增数列”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 D.当 a11 时,an是递减数列;当an为递增数列时,a10,0q0,q1.因此,“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016XX 模拟)在公差不为 0 的等差数列an中,2a3-+2a11=0,数列bn是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=()A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选 D.因为an是等差数列,所以 a3+a11=2a7,所以 2a3-+2a11=4a7-=0,解得a7=0 或 4,因为bn为等比数列,所以 bn0,所以 b7=a7=4,b6b8=16.2.设 y=f(x)是一次函数,若 f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 f(2)+f(4)+f(2n)等于()A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解 析】选 A.由 题 意 可 设 f(x)=kx+1(k 0),则(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解 得k=2,f(2)+f(4)+f(2n)=(22+1)+(24+1)+(22n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.(2016聊城模拟)已知 a,1,c 成等差数列,a2,1,c2成等比数列,则 log(a+c)(a2+c2)=()A.1 B.1 或 log26 C.3 D.3 或 log26【解析】选 B.由条件得ac=1,所以 log(a+c)(a2+c2)=log2(4-2ac)=1 或 log26.4.(2016 XX 模拟)莱因德纸草书 是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小的一份为()A.B.C.D.【解 析】选 A.设 五 个 人 所 分 得 的 面 包 为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其 中 d0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以 a=20,由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得 d=,所以最小 1 份为 a-2d=20-=.5.(2016 XX 模拟)已知 a,b,c 成等比数列,a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等差数列,则+等于()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+=2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选 C.因为 a,b,c 成等比数列,所以令 a=2,b=4,c=8,又 a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等差数列,则 m=3,n=6,因此+=+=2.6.已知数列an满足 3an+1+an=4(n1),且 a1=9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数 n 的值为()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选 C.由已知式子变形得 3(an+1-1)=-(an-1),则an-1是以 8 为首项,-为公比的等比数列,则|Sn-n-6|=|an-1+an-1-1+a1-1-6|=6250,故满足条件的最小整数 n 的值为 7.7.(2016XX 模拟)学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选 A 菜的,下星期一会有 20%改选 B 菜;而选 B 菜的,下星期一会有 30%改选 A 菜,用 an表示第 n 个星期一选 A 菜的人数,如果 a1=428,则 a4的值为()A.324 B.316 C.304 D.302【解析】选 B.依题意有:an=an-1+(500-an-1)=an-1+150(n2,nN*),即 an-300=(an-1-300)(n2,nN*),an=128+300,因此 a4=128+300=316.【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量Sn(单位:万件)近似地满足 Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,12).按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是()A.5 月,6 月 B.6 月,7 月 C.7 月,8 月 D.8 月,9 月【解析】选 C.设第 n 个月的需求量为 an,因为从年初开始的 n 个月内累积的需求量为Sn(n=1,2,3,12).所以当 n2 时,an=Sn-Sn-1=(21n-n2-5)-21(n-1)-(n-1)2-5=(-n2+15n-9).当 n=1 时,a1=S1=,适合上式,综上可知,an=(-n2+15n-9).令 an1.5,即(-n2+15n-9)1.5,解得 6n9.又 n 的取值为 1,2,3,12,所以 n=7 或 n=8.8.已知数列an为等差数列,a1=1,公差 d0,a1,a2,a5成等比数列,则 a2016的值为.【解析】由已知得=a1a5,所以(1+d)2=1+4d,d=2,所以 a2016=1+20152=4031.答案:4031 9.(2016 滨 州 模 拟)在 等 比 数 列 an 中,0a11,+=(a1+a2+an)-=-0,化简得 q-3q4-n,则-34-n,n7.答案:7 10.(2016 XX 模拟)设数列an满足 a2+a4=10,点 Pn(n,an)对任意的 nN*,都有向量=(1,2),则数列an的前 n 项和 Sn=.【解析】由题意可知,Pn+1(n+1,an+1),所以=(1,an+1-an)=(1,2),所以 an+1-an=2,所以数列是以 2 为公差的等差数列,又a2+a4=10,所以 a1=1,an=2n-1,Sn=1+3+(2n-1)=n2.答案:n2 11.(2016XX 模拟)如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前 12 项(如表所示),按如此规律下去,则 a2017+a2018+a2019=.a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6【解析】a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4 等,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,偶数项为 1,2,3,故 a2017+a2019=0,a2018=1009.答案:1009 12.(2016XX 模拟)已知数列与满足:a1+a2+a3+an=log2bn.若为等差数列,且 a1=2,b3=64b2.(1)求 an与 bn.(2)设=,求数列的前 n 项和 Tn.【解析】(1)由已知得:a1+a2+a3=log2b3,a1+a2=log2b2,-得,a3=log2=6,因为 a1=2,所以公差 d=2,所以 an=2n,因为 a1+a2+an=log2bn,即=log2bn,所以 bn=2n(n+1).(2)由题意得=(3n+1)4n-1,Tn=4+74+1042+(3n+1)4n-1,4Tn=44+742+1043+(3n+1)4n,-得:-3Tn=4+34+342+34n-1-(3n+1)4n,-3Tn=4+3(4+42+4n-1)-(3n+1)4n,-3Tn=4+3-(3n+1)4n,整理得:Tn=n4n(nN*).13.记公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式 an及 Sn.(2)若=n2+an,n=1,2,3,问是否存在实数,使得数列为单调递增数列?若存在,请求出的取值 X 围;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)设公差为 d,构造方程组求出 a1,d,进而可求 an,Sn.(2)利用+1-0 恒成立求解.【解析】(1)设公差为 d,由 S3=9,=a3a8,得:解得:a1=2,d=1.所以 an=n+1,Sn=+n.(2)由题知=n2+(n+1),若使为单调递增数列,则+1-=(n+1)2+(n+2)-n2+(n+1)=2n+1+0 对一切 nN*恒成立,即:-2n-1 对一切 nN*恒成立,又(n)=-2n-1 是单调递减的,所以当 n=1 时,(n)max=-3,所以-3.【加固训练】(2016XX 模拟)已知单调递增的等比数列an满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式.(2)若 bn=anloan,Sn=b1+b2+bn,求 Sn+n2n+162 成立的正整数 n 的最小值.【解析】(1)设等比数列an的首项为 a1,公比为 q,依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28,可得 a3=8,所以 a2+a4=20,所以 解得或又数列an单调递增,所以 q=2,a1=2,所以数列an的通项公式为 an=2n.(2)因为 bn=2nlo2n=-n2n,所以 Sn=-(12+222+n2n),2Sn=-122+223+(n-1)2n+n2n+1,两式相减,得 Sn=2+22+23+2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,所以 Sn+n2n+162,即 2n+1-262,即 2n+164=26,所以 n+16,从而 n5,故正整数 n 的最小值为 6.所以使 Sn+n2n+162 成立的正整数 n 的最小值为 6.14.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2Sn Sn-1(n2).求证:+-.【证明】因为 an=-2SnSn-1(n2),所以 Sn-Sn-1=-2SnSn-1(n2).两边同除以 SnSn-1,得-=2(n2),所 以 数 列是 以=2为 首 项,以 d=2为 公 差 的 等 差 数 列,所 以=+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,所以 Sn=.将 Sn=代入 an=-2SnSn-1,得 an=因为=(n2),=,所以当 n2 时,+=+,nN*,所以当 n2 时,=.即 Tn,n2.又当 n=1 时,T1=成立,综上,当 nN*时,Tn成立.【新题快递】1.【2015 高考 XX，文 10】已知 na是等差数列，公差d不为零若2a，3a，7a成等比数列，且1221aa，则1a，d 【答案】2,13【解析】由题可得，2111(2)()(6)adad ad，故有1320ad，又因为1221aa，即131ad，所以121,3da.2.【2016 高考 XX 文科】（本小题满分 12 分）已知数列na 的首项为 1，nS为数列na的前 n 项和，11nnSqS，其中q0，*nN.（）若2323,a a aa成等差数列，求na的通项公式；（）设双曲线2221nyxa的离心率为ne，且22e，求22212neee.【答案】（）1=nnaq；（）1(31)2nn.【解析】试题分析：（）已知nS的递推式11nnSqS，一般是写出当2n时，11nnSqS，两式相减，利用1nnnaSS，得出数列na的递推式，从而证明na为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（）先利用双曲线的离心率定义得到ne的表达式，再由22e 解出q的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.（）由（）可知，1nnaq.所以双曲线2221nyxa的离心率22(1)11nnneaq.由2212eq解得3q.所以，22222(1)12222(1)2(11)(1+)11111(31).2nnnnneeeqqqnqqnqn，3.【2014XX，文 19】设等差数列na的公差为d，点(,)nna b在函数()2xf x 的图象上（*nN）.（1）证明：数列 nb是等比数列；（2）若11a，函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列2nna b的前n项和nS.【答案】（1）详见解析；（2）1(31)449nnnT.【解析】试题分析：据题设可得，2nanb.（1）当1n 时，将1,nnbb相除，可得商为常数，从而证得其为等比数列.（2）首先可求出()2xf x 在22(,)a b处的切线为2222ln2()aybxa，令0y 得222221(2ln2)(),2ln2abxaxaa，由此可求出nan，2nnb.所以24nnna bn，这个数列用错位相消法可得前n 项和nT.4.【2014 年普通高等学校招生全国统一考试 XX 卷 18】已知等差数列na满足：21a，且1a、2a、5a成等比数列.（）求数列na的通项公式.（）记nS为数列na的前n项和，是否存在正整数n，使得?80060 nSn若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.（）当2na时，nSn2，显然800602nn，不存在正整数n，使得80060 nSn.当24 nan时，222)24(2nnnSn，令8006022nn，即0400302nn，解得40n或10n（舍去）此时存在正整数n，使得80060 nSn成立，n的最小值为 41.综上所述，当2na时，不存在正整数n；当24 nan时，存在正整数n，使得80060 nSn成立，n的最小值为 41.