数列第十八讲数列的综合应用5396.pdf

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 一、选择题 1(2018 浙江)已知 1 2 3 4 ln(1 2 3)a，a，a，a 成等比数列，且 a a a a a a a 若 1 2 3 4 a1 1，则 A a a，a a B a a，a a 1 3 2 4 1 3 2 4 C a a，a a D 1 3 2 4 a a，a a 1 3 2 4 2 (2015 湖 北)设 a1,a2,L,an R，n3 若 p：a1,a2,L,an 成 等 比 数 列；q：(a a L a )2 2 2 1 2 n 1 ()()a a L a a a a a L a a，则 2 2 2 2 2 3 n 1 2 2 3 n 1 n Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 Cp 是 q 的充分必要条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 3（2014 新课标 2）等差数列 a 成等比数列，则 a 的公差为 2，若 a，a，a 的前 n n 2 4 8 n 项和 S=n A n n 1 B n n 1 C 1 n n 2 D n n 1 2 1 4（2014 浙江）设函数 2 x x x(f ，()2(2),1(x)x f ，2 f 3 x)|sin 2 x|3 ai,0,1,2,，记 Ik|fk(a1)fk(a0)|f a f a i i ,99|()()|k 2 k 1 99|f(a)f(a)|，k 1,2,3.则 k 99 k 98 A I1 I2 I3 B I2 I I C 1 3 I D 1 I I 3 2 I 3 I I 2 1 二、填空题 5(2018 江苏)已知集合 A x|x 2n 1,nN*，B x|x 2n,nN*将 A U B 的所有元 素从小到大依次排列构成一个数列 a 记 n S 为数列 a 的前 n 项和，则使得 n n S a 成立的 n 的最小值为 12 n n 1 1 6（2015 浙江）已知 a 是等差数列，公差 d 不为零若 n a，2 a，3 a 成等比数列，且 7 2a a 1，则 a ，d 1 2 1 7（2013 重庆）已知 a 是等差数列，a ，公差 d 0，1 1 S 为其前 n 项和，若 a a a 1,2,5 n n 成等比数列，则 S8 _ 8（2011 江苏）设 1 a a a，其中 1 2 7 a 成公比为 q 的等比数列，1,a,a,a 3 5 7 a2,a,a 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_ 4 6 三、解答题 9（2018 江苏）设a 是首项为 n a，公差为 d 的等差数列，b 是首项为b，公比为 q 的 1 n 1 等比数列 (1)设 a b q ，若|a b|b 对 n 1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围；1 0,1 1,2 n n 1 (2)若 a b mN q，证 明：存 在 d R，使 得 1 1 0,(1,m 2*|a b|b 对 n n 1 n 2,3,L,m 1均成立，并求 d 的取值范围（用 b1,m,q 表示）10*（2017 浙江）已知数列x 满足：n x ，1 1 x x 1 ln(1 x 1)(n)N *n n n 证明：当 nN*时 （）0 x x；n 1 n x x（）2x x 1 n n；n 1 n 2 1 1 n x n 1 2（）n 2 2*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考 11（2017 江苏）对于给定的正整数 k，若数列a 满足 n a a 1 a 1 a 1 a 1 a 2ka n k n k n n n k n k n 对任意正整数 n(n k)总成立，则称数列a 是“P(k)数列”n（1）证明：等差数列a 是“P(3)数列”；n（2）若数列a 既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：a 是等差数列 n n 2 12（2016 年四川）已知数列a 的首项为 1，n S 为数列a 的前 n 项和，1 1 S S ，n n n n 其中 q 0，n N*()若 2,3,2 3 a a a a 成等差数列，求数列a 的通项公式；n ()设双曲线 x 2 y 2 的离心率为 e ，求 e2 e2 e2 2 1 e，且 2 2 n 1 2 n a n 13（2016 年浙江）设数列 a 的前 n 项和为 n S.已知 S=4，a =2 Sn+1，n N.*n 2 n 1（I）求通项公式 a；n（II）求数列 a n 2的前 n 项和.n 9 14(2015 重庆)已知等差数列 a 满足 a3 2，前 3 项和 S n 3 2（）求 a 的通项公式；n（）设等比数列 b a，求 b 满足b a，b 前 n 项和 T n 1 1 4 15 n n 15（2015 天津）已知a 是各项均为正数的等比数列，1 1 1 b 是等差数列，且 a b ，n n b2 b3 2a3，a b 5 3 2 7（）求a 和b 的通项公式；n n（）设 c a b，nN*，求数列c 的前 n 项和 n n n n 16(2015 四川)设数列 a（n=1,2,3）的前 n 项和 n S 满足 n S 2a a，且 n n 1 a，a+1，1 2 a 成等差数列 3（）求数列 a 的通项公式；n 1（）设数列 T，求T 的前 n 项和为 n n a n 17（2015 湖北）设等差数列 S，等比数列 a 的公差为 d，前 n 项和为 b 的公比为 q，n n n b a，b2 2，q d，已知 1 1 S 10 100（）求数列a，b 的通项公式；n n 3 a（）当 d 1时，记 c=n n b n ，求数列c 的前 n 项和T n n 18(2014 山东）已知等差数列a 的公差为 2，前 n 项和为 S，且 n n S，S，S 成等比数 1 2 4 列（）求数列a 的通项公式；n 4n n 1（）令b=(1),n a a n n 1 求数列b 的前 n 项和T n n 19（2014浙江）已知数列a 和 1 若 b 满足 a a an 2 a 为等比数列，n N b n n n 2 n 且 a1 2,b 6 b.3 2（）求 a 与b；n n 1 1（）设 c n N c 的前 n 项和为 S 记数列 n n n a b n n（）求 S；n（）求正整数 k，使得对任意 n N，均有 S k S n 20（2014 湖南）已知数列 a 满足*a1 1,|a 1 a|pn,n N.n n n （）若 a 是递增数列，且 n a a a 成等差数列，求 p 的值；1,2 2,3 3 （）若 1 p ，且 2 a 是递增数列，a2n 是递减数列，求数列 an 的通项公式 2n 1 21（2014 四川）设等差数列a 的公差为 d，点(a,b)在函数 f(x)2x 的图象上 n n n（n N*）（）若 a ，点(a,4b)在函数 f(x)的图象上，求数列 1 2 a 的前 n 项和 8 7 n S；n （）若 a ，函数 f(x)的图象在点 1 1(a,b)处的切线在 x 轴上的截距为 2 2 1 2 ，ln 2 a 求数列 n b n 的前 n 项和T n 22(2014 江苏)设数列an 的前 n 项和为 Sn 若对任意正整数 n，总存在正整数 m，使得 4 S ，则称a 是“H 数列”n a m n （）若数列an 的前 n 项和 S 2(nN )，证明:n a 是“H 数列”；n n（）设an 是等差数列，其首项 a1 1，公差 d 0 若an 是“H 数列”，求 d 的 值；（）证明：对任意的等差数列 an ，总存在两个“H 数列”bn 和cn ，使得 a (nN )成立 n b c n n 23（2013 安徽）设数列 a a ，且对任意 nN*，函数 a 满足 a1 2，n 2 4 8 f x a a a x a x a x，满足()0()()cos-sin f n n 1 n 2 n 1 n 2 2（）求数列 a 的通项公式；n 1（）若 b （a ），求数列 2 b 的前 n 项和 n n a n 2 n S n 24（2013 广东）设各项均为正数的数列 a 的前 n 项和为 n S，满足 n 4 4 1,a2,a5,a14 构成等比数列 S a2 n n N 且 n n 1 （）证明：a a ；2 4 1 5（）求数列 a 的通项公式；n （）证明：对一切正整数 n，有 1 1 1 1 L a a a a a a 2 1 2 2 3 n n 1 25（2013 湖北）已知 S 是等比数列a 的前 n 项和，n n S，S，S 成等差数列，4 2 3 且 a a a .2 3 4 18（）求数列a 的通项公式；n（）是否存在正整数 n，使得 S 2013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；n 若不存在，说明理由 26（2013 江苏）设a 是首项为 a，公差为 d 的等差数列d 0，S 是其前 n 项和.记 n n b n nS n n c 2 ，n N*，其中 c 为实数.（）若 c 0，且 b 成等比数列，证明：2 N b，b，S n S k,n *；1 2 4 nk k 5 （）若b 是等差数列，证明：c 0 n 27(2012 山东)已知等差数列a 的前 5 项和为 105，且 a10 2a5 n（）求数列a 的通项公式；n（）对任意 mN*，将数列a 中不大于 72m 的项的个数记为 b.求数列b 的前 m n m m 项和 S m 28（2012 湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余 资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 a 万元 n （）用 d 表示 a a，并写出 1,2 a 与 an 的关系式；n 1（）若公司希望经过 m（m3）年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每 年上缴资金 d 的值（用 m 表示）29（2012 浙江）已知数列 S=2n2 n，nN*，数列 a 的前 n 项和为 S，且 b 满 n n n n 足 a 4 log b 3，nN*n 2 n（）求 a,b；n n（）求数列a b 的前 n 项和T n n n 30（2012 山东）在等差数列 a 中，84 a9 73 a3 a a ，n 4 5（）求数列 a 的通项公式；n（）对任意的 m N*，将数列a 中落入区间 9m,9 m 内的项的个数为b，求数 2 n m 列 b 的前 m 项和 m S m a b 31（2012 江苏）已知各项均为正数的两个数列a 和b 满足：a n n，nN n n n 1 2 2 a b n n 2 b b 1 1 n，N，求证：数列 n（）设 b n n a a n n 是等差数列；b（）设b 1 2 n，nN，且 a 和 a 是等比数列，求 b 的值 n n 1 1 a n 6 32（2011 天津）已知数列 1 1(2)1 a 与 b 满足 b a b a ，n n n n n n n 3(1)n 1 b ,n N,且 a 2*n 1 2（）求 a2,a3 的值；（）设c a2 1 a2 1,n N*，证明c 是等比数列；n n n n （）设 S S S S 1 S 为 n(n N).a 的前 n 项和，证明 1 2 L 2n1 2n *n n a a a a 3 1 2 2n 1 2n 3 (1)n 33（2011 天津）已知数列 b a a b a 0,b ，a 与b 满足：n n n n n 1 n 1 n 2 n 2 nN，且*a a 1 2,2 4（）求 3,4,5 a a a 的值；（）设 c a2 1 a2 1,n N*，证明：c 是等比数列；n n n n 4n S a k k （）设 S a2 a4 a2,k N*,证明：k k 1 k 7 (n N)*6 34（2010 新课标）设数列 a 满足 1 2,1 3 22 1 a a a g nn n n（）求数列 a 的通项公式；n （）令 b na，求数列的前 n 项和 n n S n 35（2010 湖南）给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 其中表 n（n=1,2,3 L）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1，3，5，L，2 n 1，从 第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和（）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结 论推广到表 n（n 3）（不要求证明）；7 （）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1，4，12，L，记此数列为 b b b L n (n N*)b，求和：3 4 2 n bb b b b b 1 2 2 3 n n 1 8