南山实验九年级(上)期中数学试卷与答案11115.pdf

第 1 页（共 26页）一、选择题南山实验九年级（上）期中数学试卷（10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）已知，则的值是（）A B C 2D 2 （3 分）如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（）A B C D 3 （3 分）如图，ABC中，点 D，E分别在 AB，AC 边上，DE BC，AD：AB 3：4，则 AE：EC 的值为（）A 3：1B 4：1C 4：3D 3：24 （3 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数 y 的图象上，则下列结论中正确的是（）A y1y2y3B y2y3y1C y1y3y2D y3y2y15 （3 分）设 a，b 是方程 x2+x 20210 的两个不相等的实数根，则 a2+2a+b 的值为（）A 0B 1C 2021D 2020第 2 页（共 26页）6 （3 分）在如图所示的电路中，随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个，能让灯泡 L2发光的概率是（）A B C D 7 （3 分）菱形的一个内角是 60，边长是 3 cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A B C 3 cmD 8 （3 分）如图，在长为 32 米、宽为 12 米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为 300平方米，则可列方程为（）A 321232x 12x 300B （32x）（12x）+x2300C （32x）（12x）300D 2（32x+12x）3009 （3 分）如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AB 6，BC 8，过点 O作 OM AC，交 BC 于点 M，过点 M作 MN BD，垂足为 N，则 OM+MN 的值为（）A B C D 第 3 页（共 26页）10（3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E在边 AB 上，BE 1，DAM45，点 F在射线 AM 上，且 AF，过点 F作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、EG、EF 下列结论：CG；AEG 的周长为 8；EGF 的面积为其中正确的是（）A B C D 二、填空题（5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）一元二次方程 x2x 0 的解是12（3 分）如图，在长为 8 的线段 AB 上，作如下操作：经过点 B作 BC AB，使得 BC AB；连接 AC，在 CA 上截取 CE CB；在 AB 上截取 AD AE，则 AD 的长为13（3 分）已知 x 1 是关于 x 的方程 ax22 x+30 的一个根，则另一个根是14（3 分）如图，点 A在反比例函数 y 的图象上，点 B在反比例函数 y 的图象上，且 AB x 轴于点C，点 D在 y 轴上，则ABD 的面积为第 4 页（共 26页）15（3 分）平面直角坐标系中，四边形 OABC是矩形，点 A（10，0），点 C（0，3），点 D是 OA 的中点，点 P是 BC 边上的一个动点，当POD 是等腰三角形时，点 P的坐标为三.解答题（共 7 小题共 55 分，第 16 题 8 分，第 17 题 6 分，第 18 题 8 分，第 19 题 8 分，第 20 题 8 分，第 21 题 8 分，第 22 题 9 分。）16（8 分）解下列方程：（1）x24 x 5 0；（2）2 x25 x+10 17（6 分）如图，已知 A（4，n），B（2，4）是一次函数 y kx+b 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）求不等式 kx+b 0 的解集（请直接写出答案）第 5 页（共 26页）18（8 分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有 3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取 2 名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率19（8 分）如图，在四边形 ABCD中，BAC90，E是 BC 的中点，AD BC，AE DC（1）求证：四边形 AECD是菱形；（2）过点 E作 EF CD 于点 F，若 AB 6，BC 10，求 EF 的长第 6 页（共 26页）20（8 分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是 200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为 162元/个（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以 200元/个销售时，平均每天可销售20个为了减少库存，该电脑城决定降价销售经调查发现，单价每降低 5 元，每天可多售出 10 个，如果每天盈利 1150元，单价应降低多少元？21（8 分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A作 AE BC，垂足为点 E，连接 DE，F为线段 DE 上一点，且AFEB（1）求证：ADFDEC；（2）若 AB 4，求 AE 的长第 7 页（共 26页）22（9 分）如图，已知四边形 ABCD是矩形，点 E在 BA 的延长线上，AE AD，EC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AF AB（1）求证：BD EC；（2）求 AD：AB 的值；（3）连接 AG，求证：EG DG AG 第 8 页（共 26页）一、选择题南山实验教育集团九年级（上）期中数学试卷（10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）已知，则的值是（）A B C 2D【分析】直接利用已知得出 a，进而代入化简得出答案【解答】解：，a，故选：D【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形再化简是解题关键2 （3 分）如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（）A B C D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是解决此题关键3 （3 分）如图，ABC中，点 D，E分别在 AB，AC 边上，DE BC，AD：AB 3：4，则 AE：EC 的值为（）第 9 页（共 26页）A 3：1B 4：1C 4：3D 3：2【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：AD：AB 3：4，AD：DB 3：1，DE BC，AE：EC AD：DB 3：1，故选：A【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键4 （3 分）已知点 A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数 y 的图象上，则下列结论中正确的是（）A y1y2y3B y2y3y1C y1y3y2D y3y2y1【分析】根据点的坐标得出 A在第二象限，B、C在第四象限，得出 y10，0 y 3 y2，即可得出选项【解答】解：点 A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数 y 的图象上，A在第二象限，B、C在第四象限，y10，2 4，0 y3y2，y2y3y1，故选：B【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的理解能力5 （3 分）设 a，b 是方程 x2+x 20210 的两个不相等的实数根，则 a2+2a+b 的值为（）A 0B 1C 2021D 2020【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出 a2+a 2021、a+b 1，将其代入 a2+2a+b a2+a+（a+b）中，即可求出结论【解答】解：a，b 是方程 x2+x 20210 的两个不相等的实数根，第 10页（共 26页）a2+a 2021，a+b 1，a2+2a+b a2+a+（a+b）20211 2020故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解及根与系数的关系，找出 a2+a 2021、a+b 1 是解题的关键6 （3 分）在如图所示的电路中，随机闭合开关 S1、S2、S3中的两个，能让灯泡 L2发光的概率是（）A B C D【分析】画树状图展示所以 6 种等可能的结果，再找出能让灯泡 L2发光的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 6 种等可能的结果，其中能让灯泡 L2发光的结果数为 2，所以能让灯泡 L2发光的概率故选：A【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件 A或 B的结果数目，然后利用概率公式求事件 A或 B的概率7 （3 分）菱形的一个内角是 60，边长是 3 cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A B C 3 cmD【分析】证出ABC是等边三角形，得 AC AB 3 cm 即可【解答】解：如图，菱形的一个内角是 60，边长是 3 cm，AB BC 3 cm，ABC是等边三角形，AC AB 3 cm，第 11页（共 26页）即这个菱形的较短的对角线长为 3 cm，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明ABC为等边三角形是解题的关键8 （3 分）如图，在长为 32 米、宽为 12 米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为 300平方米，则可列方程为（）A 321232x 12x 300B （32x）（12x）+x2300C （32x）（12x）300D 2（32x+12x）300【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32x）米、宽（12x）米的矩形面积，结合草坪的面积为 300平方米，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解【解答】解：道路的宽为 x 米，铺设草坪的面积等于长为（32x）米、宽（12x）米的矩形面积草坪的面积为 300平方米，（32x）（12x）300故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键9 （3 分）如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AB 6，BC 8，过点 O作 OM AC，交 BC 于点 M，过点 M作 MN BD，垂足为 N，则 OM+MN 的值为（）第 12页（共 26页）A B C D【分析】由矩形的性质可得 AO CO BO DO 5，由三角形的面积和差关系可求解【解答】解：AB 6，BC 8，AC 10，四边形 ABCD是矩形，AO CO，BO DO，AC BD 10，AO CO BO DO 5，SABCAB BC 24，SBOC12，SBOCSBOM+SCOM，125 MN+5 OM，OM+MN，故选：A【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积关系，掌握矩形的性质是解题的关键10（3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E在边 AB 上，BE 1，DAM45，点 F在射线 AM 上，且 AF，过点 F作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、EG、EF 下列结论：CG；AEG 的周长为 8；EGF 的面积为其中正确的是（）A B C D 第 13页（共 26页）【分析】先判断出H 90，进而求出 AH HF 1 BE 进而判断出EHFCBE（SAS），得出EF EC，HEFBCE，判断出CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出 EC217，求出 SECF，先判断出四边形 APFH是矩形，进而判断出矩形 AHFP是正方形，得出 AP PF AH 1，同理：四边形 ABQP是矩形，得出 PQ 4，BQ 1，FQ 5，CQ 3，再判断出FPGFQC，得出，求出 PG，再根据勾股定理求得 EG，即AEG 的周长为 8，判断出 正确；先求出 DG，进而在 RtCDG 中，根据勾股定理得，CG，故 错误，用 SECGS正方形ABCDSAEGSEBCSGDC求出面积，进而求出 SEGFSECFSECG，故 正确【解答】解：如图，在正方形 ABCD中，AD BC，AB BC AD 4，B BAD90，HAD90，HF AD，H 90，HAF90DAM45，AFHHAFAF，AH HF 1 BE AE 3，EH AE+AH AB BE+AH 4 BC，EHFCBE（SAS），EF EC，HEFBCE，BCE+BEC90，HEF+BEC90，FEC90，CEF是等腰直角三角形，在 RtCBE中，BE 1，BC 4，EC2BE2+BC217，SECFEF EC EC2，过点 F作 FQ BC 于 Q，交 AD 于 P，APF90H HAD，第 14页（共 26页）四边形 APFH是矩形，AH HF，矩形 AHFP是正方形，AP PF AH 1，同理：四边形 ABQP是矩形，PQ AB 4，BQ AP 1，FQ FP+PQ 5，CQ BC BQ 3，AD BC，FPGFQC，PG，AG AP+PG，DG AD AG 4，在 RtEAG 中，根据勾股定理得，EG，AEG 的周长为 AG+EG+AE+38，故 正确；在 RtCDG 中，根据勾股定理得，CG，故 错误；SECGS正方形ABCDSAEGSEBCSGDCAD2AG AE GD DC EB BC 4234 1 4，SEGFSECFSECG，故 正确；故选：D 第 15页（共 26页）【点评】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出 AG 是解本题的关键二、填空题（5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）一元二次方程 x2x 0 的解是x10，x21【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可【解答】解：x2x 0，x（x 1）0，x 0 或 x 1 0，x10，x21，故答案为：x10，x21【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤12（3 分）如图，在长为 8 的线段 AB 上，作如下操作：经过点 B作 BC AB，使得 BC AB；连接 AC，在 CA 上截取 CE CB；在 AB 上截取 AD AE，则 AD 的长为44【分析】利用 BC AB 可得 BC 4，由勾股定理得：AC 4，根据 AD AE AC CE 即可求解【解答】解：AB 8，BC AB，BC 4，由勾股定理得：AC 4，第 16页（共 26页）CE BC 4，AD AE AC CE 44 故答案为 44【点评】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长13（3 分）已知 x 1 是关于 x 的方程 ax22 x+30 的一个根，则另一个根是3【分析】把 x 1 代入方程 ax22 x+30 求得 a 1，设方程的另一个根为 x2，根据根与系数的关系得出 1 x23，解之可得答案【解答】解：x 1 是关于 x 的方程 ax22 x+30 的一个根，a 2+30，a 1，设方程的另一个根为 x2，根据题意，得：1 x23，解得：x23，即方程的另一个根为3，故答案为：3【点评】本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c 0（a 0）的两根时，x1+x2，x1x214（3 分）如图，点 A在反比例函数 y 的图象上，点 B在反比例函数 y 的图象上，且 AB x 轴于点C，点 D在 y 轴上，则ABD 的面积为【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义和三角形的面积公式进行计算即可第 17页（共 26页）【解答】解：设 C（m，0），则 OC m，B（m，），A（m，），AB AC BC，SABDAB OC m，故答案为：【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键15（3 分）平面直角坐标系中，四边形 OABC是矩形，点 A（10，0），点 C（0，3），点 D是 OA 的中点，点 P是 BC 边上的一个动点，当POD 是等腰三角形时，点 P的坐标为（4，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3）【分析】当 P1O OD 5 或 P2O P2D或 P3D OD 5 或 P4D OD 5 时分别作 P2E OA 于 E，DF BC 于 F，P4G OA 于 G，利用勾股定理 P1C，OE，P3F，DG 的值，就可以求出 P的坐标【解答】解：点 A（10，0），点 C（0，3），OC 3，OA 10，点 D是 OA 的中点，OD 5，POD 是等腰三角形，点 P1O OD 5 时，由勾股定理可以求得 P1C 4，当 P2O P2D时，作 P2E OA 于 E，OE ED 2.5；当 P3D OD 5 时，作 DF BC 于 F，由勾股定理，得，P3F 4，P3C 1；当 P4D OD 5 时，作 P4G OA 于 G，由勾股定理，得，DG 4，OG 9 P1（4，3），P2（2.5，3），P3（1，3），P4（9，3）第 18页（共 26页）故答案为：（4，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3）【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质，正确分类讨论是解题关键三.解答题（共 7 小题共 55 分，第 16 题 8 分，第 17 题 6 分，第 18 题 8 分，第 19 题 8 分，第 20 题 8 分，第 21 题 8 分，第 22 题 9 分。）16（8 分）解下列方程：（1）x24 x 5 0；（2）2 x25 x+10【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得【解答】解：（1）x24 x 5 0，则（x 5）（x+1）0，则 x 5 0 或 x+10，解得 x15，x21；（2）a 2，b 5，c 1，（5）24 2 1 170，x，x1，x2【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键17（6 分）如图，已知 A（4，n），B（2，4）是一次函数 y kx+b 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；第 19页（共 26页）（3）求不等式 kx+b 0 的解集（请直接写出答案）【分析】（1）先把 B点坐标代入 y 求出 m得到反比例函数解析式为 y，再利用反比例函数解析式确定 A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先求 C点坐标，然后根据三角形面积公式和 SAOBSAOC+SBOC进行计算；（3）观察函数图象得到当4 x 0 或 x 2 时，一次函数图象都在反比例函数图象下方，即有 kx+b【解答】解：（1）把 B（2，4）代入 y 得 m 2（4）8，所以反比例函数解析式为 y，把 A（4，n）代入 y 得4 n 8，解得 n 2，则 A点坐标为（4，2），把 A（4，2）、B（2，4）代入 y kx+b 得，解得，所以一次函数解析式为 y x 2；（2）把 y 0 代入 y x 2 得x 2 0，解得 x 2，则 C点坐标为（2，0），所以 SAOBSAOC+SBOC2 2+2 4 6；（3）4 x 0 或 x 2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了待定系数法求一次函数解析式和观察函数图象的能力18（8 分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图第 20页（共 26页）请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有 3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取 2 名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题；（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为 1530%50（名）；（2）喜爱“体育”的人数为 50（4+15+18+3）10（名），补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有 3000600（名）；第 21页（共 26页）（4）列表如下：甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）所有等可能的结果为 12 种，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19（8 分）如图，在四边形 ABCD中，BAC90，E是 BC 的中点，AD BC，AE DC（1）求证：四边形 AECD是菱形；（2）过点 E作 EF CD 于点 F，若 AB 6，BC 10，求 EF 的长【分析】（1）先证四边形 AECD是平行四边形，再根据直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和面积解答即可【解答】（1）证明：AD BC，AE DC，四边形 AECD是平行四边形又BAC90，E是 BC 的中点，AE BC CE，平行四边形 AECD是菱形；（2）解：过点 A作 AG BC 于点 G，如图所示：由（1）得：四边形 AECD是菱形，CD CE，第 22页（共 26页）BAC90，AB 6，BC 10，AC 8，AB AC BC AG，即6 8 10AG，AG，又EF CD，AG BC，S菱形AECDCD EF CE AG，CD CE，EF AG【点评】此题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键20（8 分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是 200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为 162元/个（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以 200元/个销售时，平均每天可销售20个为了减少库存，该电脑城决定降价销售经调查发现，单价每降低 5 元，每天可多售出 10 个，如果每天盈利 1150元，单价应降低多少元？【分析】（1）设平均下降率为 x，利用 2021年该类电脑显卡的出厂价2019年该类电脑显卡的出厂价（1 下降率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设单价应降低 m元，则每个的销售利润为（38m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于 m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论【解答】解：（1）设平均下降率为 x，第 23页（共 26页）依题意得：200（1 x）2162，解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去）答：平均下降率为 10%（2）设单价应降低 m元，则每个的销售利润为（200m 162）（38m）元，每天可售出 20+10（20+2m）个，依题意得：（38m）（20+2m）1150，整理得：m228m+1950，解得：m115，m213为了减少库存，m 15，答：单价应降低 15 元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键21（8 分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A作 AE BC，垂足为点 E，连接 DE，F为线段 DE 上一点，且AFEB（1）求证：ADFDEC；（2）若 AB 4，求 AE 的长【分析】（1）ADF和DEC 中，易知ADFCED（平行线的内错角），而AFD 和C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）由（1）知ADFDEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出 DE 的长，再利用勾股定理即可求出 AE 的长【解答】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，AB CD，AD BC，B+C 180，ADFDECAFD+AFE180，AFEBAFDCADFDEC；第 24页（共 26页）（2）解：四边形 ABCD是平行四边形，CD AB 4，由（1）知ADFDEC，在 RtADE 中，由勾股定理得：【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质22（9 分）如图，已知四边形 ABCD是矩形，点 E在 BA 的延长线上，AE AD，EC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F，AF AB（1）求证：BD EC；（2）求 AD：AB 的值；（3）连接 AG，求证：EG DG AG【分析】（1）证明AEFADB（SAS），得出AEFADB，证得EGB90，则结论得出；（2）证明AEFDCF，得出，即 AE DF AF DC，设 AE AD a，AF AB b，则有 a（a b）b2，化简得 a2abb20，解方程即可得出答案；（3）在线段 EG 上取点 P，使得 EP DG，证明AEPADG（SAS），得出 AP AG，EAPDAG，证得PAG为等腰直角三角形，可得出结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD是矩形，点 E在 BA 的延长线上，EAFDAB90，又AE AD，AF AB，AEFADB（SAS），AEFADB，第 25页（共 26页）GEB+GBEADB+ABD90，即EGB90，故 BD EC；（2）解：四边形 ABCD是矩形，AE CD，AEFDCF，EAFCDF，AEFDCF，即 AE DF AF DC，设 AE AD a（a 0），则有 a（a b）b2，化简得 a2abb20，解得 a b 或b（舍去），AD：AB a：b；（3）证明：如图，在线段 EG 上取点 P，使得 EP DG，在AEP与ADG 中，AE AD，AEPADG，EP DG，AEPADG（SAS），AP AG，EAPDAG，PAGPAD+DAGPAD+EAPDAE90，PAG为等腰直角三角形，EG DG EG EP PG AG【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性第 26页（共 26页）质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明出AEFDCF 以及截去 EP 证明出AEPADG是解题的关键