学生第1讲相似三角形培优讲义1!26313.pdf
第 1 讲 相似三角形讲义 学习目标 解三角形相似的判定方法 学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题 学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路 学习过程 一、证明三角形相似 例 1：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD，BCE=BAD 求证：DBEABC 例 2、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论。下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形 ABCDEAABBCCDDEE(2)如图：其中1=2，则ADEABC 称为“相交线型”的相似三角形。ABCDE12AABBCCDDEE12412(3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA 二、相似三角形证明比例式和乘积式 例 3、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DFAC=BCFE ABCDEF 例 4：已知：如图，在ABC 中，BAC=900，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22 三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 5：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且31ADAFABEB。求证：AEF=FBD 例 6、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG ABCDEFKABCDEM12ABCDEFGABCDFGEE C D A F B 图 2 GFEDCBA 例 7、RtABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：AE=BF 目标训练 一、填空题 1、两个相似三角形的面积比 S1:S2与它们对应高之比 h1:h2之间的关系为 2、如图 2，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果23BEBC，那么BFFD 23 3、如图，点1234AAAA，在射线OA上，点123BBB，在射线OB上，且112233ABA BA B，213243A BA BA B若212A B B，323A B B的面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 4.ABC 中，DEFGBC，且 AD：DF：FB=3：2：1，则 SADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=二、选择题 1.已知 ABC DEF，且 AB：DE=1：2，则 ABC 的面积与 DEF 的面积之比为（）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x的值（）A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无数个 3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感如图，某女士身高 165cm，下半ABCDEFO123（第 3 题图）O A1 A2 A3 A4 A B B1 B2 B3 1 4 A D B C E F M(第 5 题身长 x 与身高 l 的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A4cm B6cm C8cm D10cm 4、如图，ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是 ABC的面积的（）91 92 31 94 5、如图，直角梯形 ABCD 中，BCD90，ADBC，BCCD，E 为梯形内一点，且BEC90，将BEC绕 C 点旋转 90使 BC 与 DC 重合，得到DCF，连 EF 交 CD 于 M 已知 BC5，CF3，则 DM:MC 的值为（）:3 :5 :3 :4 6、如图，在 RtABC 内有边长分别为,a b c的三个正方形，则,a b c满足的关系式是（）A、bac B、bac C、222bac D、22bac 7、如图,RtABAC 中,ABAC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PEAB 于 E,PDAC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（）A.35x B.45x C.72 D.21212525xx 三、解答题 1、如图 5，在ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DCAC,ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF.（1）求证：EFBC.E H F G C B A（第 4 题图）ABCDEP（2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积.2、（本小题满分 10 分）如图：在等腰ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一点，连接 AP 交 BC于点 E,连接 BP 交 AC 于点 F.(1)证明：CAE=CBF;(2)证明：AE=BF;(3)以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G），记ABC 和ABG 的面积分别为 SABC和 SABG,如果存在点 P,能使得 SABC=SABG,求C 的取之范围。3、如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点E.（1）求证：ABAFCBCD（2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是射线 DE 上的动点.设 DPxcm（x0），四边形 BCDP 的面积为 ycm2.F C A B P E H 求 y 关于 x 的函数关系式；当 x 为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值.4、如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N 求证：（1）CGAE；（2）.MNCNDNAN 5、如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为 2，若ABC 固定不动，AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围.（3）以ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图 12).在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD2CE2=DE2.DPAEFCBG F E D C B A （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD2CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.6、为了加强视力保护意识，小明想在长为米，宽为米的书房里挂一张测试距离为 5 米的视力表在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙（1）甲生的方案：如图 1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在 对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行请说明理由（2）乙生的方案：如图 2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙 ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处（3）丙生的方案：如图 3，根据测试距离为 5m 的大视力表制作一个测试距 为 3m 的小视 力表如果大视力表中“E”的长是，那么小视力表中相应“E”的长是多少 cm G y x O F E D C B A H H（图（图（图（第 6 题）A C F 3m B 5m D 7、将两块大小一样含 30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB 重合，直角边不重合，已知 AB=8，BC=AD=4，AC 与 BD 相交于点 E，连结 CD(1)填空：如图 9，AC=，BD=；四边形 ABCD 是 梯形.(2)请写出图 9 中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图 10，若以 AB 所在直线为x轴，过点 A 垂直于 AB 的直线为y轴建立如图 10 的平面直角坐标系，保持ABD 不动，将ABC 向x轴的正方向平移到FGH 的位置，FH 与 BD 相交于点 P，设 AF=t，FBP面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值值范围.D C B A E 图 9 E D C H F G B A P y x 图10 QPDEFCBAQPDEFCBAABCFPQRS8、如图 1，一副直角三角板满足 ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q【探究一】在旋转过程中，(1)如图 2，当CE1EA时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系并给出证明.(2)如图 3，当CE2EA时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系，并说明理由.(3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEAm时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为_,其中m的取值范围是_(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC30cm，连续 PQ，设EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中：(1)S 是否存在最大值或最小值若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.(2)随着 S 取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化不出相应 S 值的取值范围.（图 1）（图 2）（图 3）9.如图，在 RtABC 中，A=90，AB=3，AC=4，以斜边 BC 上距离 B 点 3 的点 P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 90 至DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少2 FC(E)BA(D)
