2017年浙江省宁波市中考数学试卷6229.pdf

修正版 2017 年浙江省宁波市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4 分）在，0，2 这四个数中，为无理数的是（）A B C0 D2 2（4 分）下列计算正确的是（）Aa2+a3=a5 B（2a）2=4a Ca2a3=a5 D（a2）3=a5 3（4 分）2017 年 2 月 13 日，宁波舟山港 45 万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮“泰欧”轮，其中 45 万吨用科学记数法表示为（）A0.45106吨 B4.5105吨 C45104吨 D4.5104吨 4（4 分）要使二次根式有意义，则 x 的取值范围是（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 5（4 分）如图所示的几何体的俯视图为（）A B C D 6（4 分）一个不透明的布袋里装有5 个红球，2 个白球，3 个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出 1 个球，是黄球的概率为（）A B C D 7（4 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置（ABC=30），其中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若1=20，则2 的度数为（）修正版 A20 B30 C45 D50 8（4 分）若一组数据 2，3，x，5，7 的众数为 7，则这组数据的中位数为（）A2 B3 C5 D7 9（4 分）如图，在 RtABC 中，A=90，BC=2，以 BC 的中点 O 为圆心分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，则的长为（）A B C D2 10（4 分）抛物线 y=x22x+m2+2（m 是常数）的顶点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11（4 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 在边 AB 上，BE=4，过点 E 作 EFBC，分别交 BD，CD 于 G，F 两点若 M，N 分别是 DG，CE 的中点，则 MN 的长为（）A3 B C D4 12（4 分）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中 若知道九个小矩形中 n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是（）A3 B4 C5 D6 修正版 二、填空题（每题 4 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）13（4 分）实数8 的立方根是 14（4 分）分式方程=的解是 15（4 分）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第个图案有 个黑色棋子 16（4 分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34的斜坡，从 A 滑行至 B，已知 AB=500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米（参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67）17（4 分）已知ABC 的三个顶点为 A（1，1），B（1，3），C（3，3），将ABC 向右平移 m（m0）个单位后，ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数 y=的图象上，则 m 的值为 18（4 分）如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB=2，A=60，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F，G 分别在边 AB，AD 上，则 cosEFG的值为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）修正版 19（6 分）先化简，再求值：（2+x）（2x）+（x1）（x+5），其中 x=20（8 分）在 44 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上（1）在图 1 中画出与ABC 成轴对称且与ABC 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图 2 中的ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90，画出经旋转后的三角形 21（8 分）大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共 300 尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为 80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由 22（10 分）如图，正比例函数 y1=3x 的图象与反比例函数 y2=的图象交于 A、B 两点点 C 在 x 轴负半轴上，AC=AO，ACO 的面积为 12（1）求 k 的值；修正版（2）根据图象，当 y1y2时，写出 x 的取值范围 23（10 分）2017 年 5 月 14 日至 15 日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同 30 多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共 8 万件销往“一带一路”沿线国家和地区 已知 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售收入相同，3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售收入多 1500 元（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件？24（10 分）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形 ABCD 的四边 BA、CB、DC、AD 分别延长至 E、F、G、H，使得 AE=CG，BF=DH，连接 EF，FG，GH，HE（1）求证：四边形 EFGH 为平行四边形；（2）若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且FEB=45，tanAEH=2，求 AE 的长 25（12 分）如图，抛物线 y=x2+x+c 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C（6，）在抛物线上，直线 AC 与 y 轴交于点 D 修正版（1）求 c 的值及直线 AC 的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点 求证：APMAON；设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）26（14 分）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形 （1）如图 1，在半对角四边形 ABCD 中，B=D，C=A，求B 与C的度数之和；（2）如图 2，锐角ABC 内接于O，若边 AB 上存在一点 D，使得 BD=BO，OBA 的平分线交 OA 于点 E，连结 DE 并延长交 AC 于点 F，AFE=2EAF求证：四边形 DBCF 是半对角四边形；（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 D 作 DGOB 于点 H，交 BC 于点 G，当DH=BG 时，求BGH 与ABC 的面积之比 修正版 2017 年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4 分）（2017宁波）在，0，2 这四个数中，为无理数的是（）A B C0 D2【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项【解答】解：，0，2 是有理数，是无理数，故选：A【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如，0.8080080008（每两个 8 之间依次多 1个 0）等形式 2（4 分）（2017宁波）下列计算正确的是（）Aa2+a3=a5 B（2a）2=4a Ca2a3=a5 D（a2）3=a5【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 A 不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故 B 不符合题意；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 C 符合题意；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故 D 不符合题意；故选：C【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键 3（4 分）（2017宁波）2017 年 2 月 13 日，宁波舟山港 45 万吨原油码头首次挂修正版 靠全球最大油轮“泰欧”轮，其中 45 万吨用科学记数法表示为（）A0.45106吨 B4.5105吨 C45104吨 D4.5104吨【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n是负数【解答】解：将 45 万用科学记数法表示为：4.5105 故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4（4 分）（2017宁波）要使二次根式有意义，则 x 的取值范围是（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx3【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数【解答】解：依题意得：x30，解得 x3 故选：D【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 5（4 分）（2017宁波）如图所示的几何体的俯视图为（）A B C D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上边看外边是正六边形，里面是圆，故选：D【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键 修正版 6（4 分）（2017宁波）一个不透明的布袋里装有 5 个红球，2 个白球，3 个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出 1 个球，是黄球的概率为（）A B C D【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率【解答】解：因为一共 10 个球，其中 3 个黄球，所以从袋中任意摸出 1 个球是黄球的概率是 故选：C【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 7（4 分）（2017宁波）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式放置（ABC=30），其中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若1=20，则2 的度数为（）A20 B30 C45 D50【分析】根据平行线的性质即可得到结论【解答】解：直线 mn，2=ABC+1=30+20=50，故选 D【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 8（4 分）（2017宁波）若一组数据 2，3，x，5，7 的众数为 7，则这组数据的中位数为（）A2 B3 C5 D7【分析】根据众数的定义可得 x 的值，再依据中位数的定义即可得答案 修正版【解答】解：数据 2，3，x，5，7 的众数为 7，x=7，则这组数据为 2、3、5、7、7，中位数为 5，故选：C【点评】本题考查众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数众数是数据中出现最多的一个数 9（4 分）（2017宁波）如图，在 RtABC 中，A=90，BC=2，以 BC 的中点 O 为圆心分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，则的长为（）A B C D2【分析】连接 OE、OD，由切线的性质可知 OEAC，ODAB，由于 O 是 BC 的中点，从而可知 OD 是中位线，所以可知B=45，从而可知半径 r 的值，最后利用弧长公式即可求出答案【解答】解：连接 OE、OD，设半径为 r，O 分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，OEAC，ODAB，O 是 BC 的中点，OD 是中位线，OD=AE=AC，AC=2r，同理可知：AB=2r，修正版 AB=AC，B=45，BC=2 由勾股定理可知 AB=2，r=1，=故选（B）【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是连接 OE、OD 后利用中位线的性质求出半径 r 的值，本题属于中等题型 10（4 分）（2017宁波）抛物线 y=x22x+m2+2（m 是常数）的顶点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线 y=x22x+m2+2（m 是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答【解答】解：y=x22x+m2+2=（x1）2+（m2+1），顶点坐标为：（1，m2+1），10，m2+10，顶点在第一象限 故选 A【点评】本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键 11（4 分）（2017宁波）如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 在边AB 上，BE=4，过点 E 作 EFBC，分别交 BD，CD 于 G，F 两点若 M，N 分别是修正版 DG，CE 的中点，则 MN 的长为（）A3 B C D4【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明EMFCMD，则 EM=CM，利用勾股定理得：BD=6，EC=2，可得EBG 是等腰直角三角形，分别求 EM=CM 的长，利用勾股定理的逆定理可得EMC 是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得 MN 的长【解答】解：连接 FM、EM、CM，四边形 ABCD 为正方形，ABC=BCD=ADC=90，BC=CD，EFBC，GFD=BCD=90，EF=BC，EF=BC=DC，BDC=ADC=45，GFD 是等腰直角三角形，M 是 DG 的中点，FM=DM=MG，FMDG，GFM=CDM=45，EMFCMD，EM=CM，过 M 作 MHCD 于 H，由勾股定理得：BD=6，EC=2，EBG=45，修正版 EBG 是等腰直角三角形，EG=BE=4，BG=4，DM=MH=DH=1，CH=61=5，CM=EM=，CE2=EM2+CM2，EMC=90，N 是 EC 的中点，MN=EC=；故选 C 【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明EMC 是直角三角形 12（4 分）（2017宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中 若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）A3 B4 C5 D6【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面修正版 积，进而得出符合题意的答案【解答】解：如图所示：设的周长为：4x，的周长为 2y，的周长为 2b，即可得出的边长以及和的邻边和，设的周长为：4a，则的边长为 a，可得和中都有一条边为 a，则和的另一条边长分别为：ya，ba，故大矩形的边长分别为：ba+x+a=b+x，ya+x+a=y+x，故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中 b，x，y 都为已知数，故 n 的最小值是 3 故选：A 【点评】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键 二、填空题（每题 4 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）13（4 分）（2017宁波）实数8 的立方根是 2 【分析】利用立方根的定义即可求解【解答】解：（2）3=8，8 的立方根是2 故答案2【点评】本题主要考查了立方根的概念如果一个数 x 的立方等于 a，即 x 的三次方等于 a（x3=a），那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根 14（4 分）（2017宁波）分式方程=的解是 x=1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：4x+2=93x，解得：x=1，修正版 经检验 x=1 是分式方程的解，故答案为：x=1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 15（4 分）（2017宁波）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第个图案有 19 个黑色棋子 【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案【解答】解：第一个图需棋子 1，第二个图需棋子 1+3，第三个图需棋子 1+32，第四个图需棋子 1+33，第 n 个图需棋子 1+3（n1）=3n2 枚 所以第个图形有 19 颗黑色棋子 故答案为：19；【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律 16（4 分）（2017宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34的斜坡，从 A滑行至 B，已知 AB=500 米，则这名滑雪运动员的高度下降了 280 米（参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67）【分析】如图在 RtABC 中，AC=ABsin34=5000.56280m，可知这名滑雪运修正版 动员的高度下降了 280m【解答】解：如图在 RtABC 中，AC=ABsin34=5000.56280m，这名滑雪运动员的高度下降了 280m 故答案为 280 【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型 17（4 分）（2017宁波）已知ABC 的三个顶点为 A（1，1），B（1，3），C（3，3），将ABC 向右平移 m（m0）个单位后，ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数 y=的图象上，则 m 的值为 4 或 【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得 AB 边的中点（1，1），BC 边的中点（2，0），AC 边的中点（2，2），然后分两种情况进行讨论：一是 AB 边的中点在反比例函数 y=的图象上，二是 AC 边的中点在反比例函数 y=的图象上，进而算出 m 的值【解答】解：ABC 的三个顶点为 A（1，1），B（1，3），C（3，3），AB 边的中点（1，1），BC 边的中点（2，0），AC 边的中点（2，2），将ABC 向右平移 m（m0）个单位后，AB 边的中点平移后的坐标为（1+m，1），AC 边的中点平移后的坐标为（2+m，2）ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数 y=的图象上，1+m=3 或2（2+m）=3 m=4 或 m=（舍去）故答案为 4 或 修正版【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k 18（4 分）（2017宁波）如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB=2，A=60，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F，G 分别在边 AB，AD上，则 cosEFG 的值为 【分析】作 EHAD 于 H，连接 BE、BD，连接 AE 交 FG 于 O，如图，利用菱形的性质得BDC 为等边三角形，ADC=120，再在在 RtBCE 中计算出BE=CE=，接着证明 BEAB，设 AF=x，利用折叠的性质得到 EF=AF，FG 垂直平分 AE，EFG=AFG，所以在 RtBEF 中利用勾股定理得（2x）2+（）2=x2，解得 x=，接下来计算出 AE，从而得到 OA 的长，然后在 RtAOF 中利用勾股定理计算出 OF，再利用余弦的定义求解【解答】解：作 EHAD 于 H，连接 BE、BD，连接 AE 交 FG 于 O，如图，四边形 ABCD 为菱形，A=60，BDC 为等边三角形，ADC=120，E 点为 CD 的中点，CE=DE=1，BECD，在 RtBCE 中，BE=CE=，ABCD，BEAB，设 AF=x，菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F，G 分别在边 AB，AD 上，EF=AF，FG 垂直平分 AE，EFG=AFG，修正版 在 RtBEF 中，（2x）2+（）2=x2，解得 x=，在 RtDEH 中，DH=DE=，HE=DH=，在 RtAEH 中，AE=，AO=，在 RtAOF 中，OF=，cosAFO=故答案为 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了菱形的性质 三、解答题（本大题共 8 小题，共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19（6 分）（2017宁波）先化简，再求值：（2+x）（2x）+（x1）（x+5），其中 x=【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=4x2+x2+4x5=4x1，当 x=时，原式=61=5【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的修正版 关键 20（8 分）（2017宁波）在 44 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上（1）在图 1 中画出与ABC 成轴对称且与ABC 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图 2 中的ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90，画出经旋转后的三角形 【分析】（1）根据成轴对称图形的概念，分别以边 AC、BC 所在的直线为对称轴作出图形即可；（2）根据网格结构找出点 A、B 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的对应点的位置，再与点 C 顺次连接即可【解答】解：如图所示 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键 21（8 分）（2017宁波）大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象修正版 山港”共 300 尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为 80%，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）：（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由【分析】（1）求出“宁港”品种鱼苗的百分比，乘以300 即可得到结果；（2）求出“甬岱”品种鱼苗的成活数，补全条形统计图即可；（3）求出三种鱼苗成活率，比较即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：300（130%25%25%）=60（尾），则实验中“宁港”品种鱼尾有 60 尾；（2）根据题意得：30030%80%=72（尾），则实验中“甬岱”品种鱼苗有 72 尾成活，补全条形统计图：（3）“宁港”品种鱼苗的成活率为100%=85%；“御龙”品种鱼苗的成活率为100%=74.6%；“象山港”品种鱼苗的成活率为100%=80%，修正版 则“宁港”品种鱼苗的成活率最高，应选“宁港”品种进行推广【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键 22（10 分）（2017宁波）如图，正比例函数 y1=3x 的图象与反比例函数 y2=的图象交于 A、B 两点点 C 在 x 轴负半轴上，AC=AO，ACO 的面积为 12（1）求 k 的值；（2）根据图象，当 y1y2时，写出 x 的取值范围 【分析】（1）过点 A 作 AD 垂直于 OC，由 AC=AO，得到 CD=DO，确定出三角形ADO 与三角形 ACD 面积，即可求出 k 的值；（2）根据函数图象，找出满足题意 x 的范围即可【解答】解：（1）如图，过点 A 作 ADOC，AC=AO，CD=DO，SADO=SACD=6，k=12；（2）根据图象得：当 y1y2时，x 的范围为 x2 或 0 x2 修正版【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握各函数的性质是解本题的关键 23（10 分）（2017宁波）2017 年 5 月 14 日至 15 日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同 30 多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共 8 万件销往“一带一路”沿线国家和地区已知 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售收入相同，3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售收入多 1500 元（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件？【分析】（1）可设甲种商品的销售单价 x 元，乙种商品的销售单价 y 元，根据等量关系：2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售收入相同，3 件甲种商品比 2件乙种商品的销售收入多 1500 元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种商品 a 万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400万元，列出不等式求解即可【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价 x 元，乙种商品的销售单价 y 元，依题意有，解得 答：甲种商品的销售单价 900 元，乙种商品的销售单价 600 元；（2）设销售甲种商品 a 万件，依题意有 900a+600（8a）5400，解得 a2 答：至少销售甲种商品 2 万件【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系 24（10 分）（2017宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习修正版 小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形 ABCD 的四边 BA、CB、DC、AD 分别延长至 E、F、G、H，使得 AE=CG，BF=DH，连接 EF，FG，GH，HE（1）求证：四边形 EFGH 为平行四边形；（2）若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且FEB=45，tanAEH=2，求 AE 的长【分析】（1）由矩形的性质得出 AD=BC，BAD=BCD=90，证出 AH=CF，在 RtAEH 和 RtCFG 中，由勾股定理求出 EH=FG，同理：EF=HG，即可得出四边形EFGH 为平行四边形；（2）在正方形 ABCD 中，AB=AD=1，设 AE=x，则 BE=x+1，在 RtBEF 中，BEF=45，得出 BE=BF，求出 DH=BE=x+1，得出 AH=AD+DH=x+2，在 RttAEH 中，由三角函数得出方程，解方程即可【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，BAD=BCD=90，BF=DH，AH=CF，在 RtAEH 中，EH=，在 RtCFG 中，FG=，AE=CG，EH=FG，同理：EF=HG，四边形 EFGH 为平行四边形；（2）解：在正方形 ABCD 中，AB=AD=1，修正版 设 AE=x，则 BE=x+1，在 RtBEF 中，BEF=45，BE=BF，BF=DH，DH=BE=x+1，AH=AD+DH=x+2，在 RttAEH 中，tanAEH=2，AH=2AE，2+x=2x，解得：x=2，AE=2【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行四边形的判定、正方形的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解决问题的关键 25（12 分）（2017宁波）如图，抛物线 y=x2+x+c 与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C（6，）在抛物线上，直线 AC 与 y 轴交于点 D（1）求 c 的值及直线 AC 的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点 求证：APMAON；设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）修正版【分析】（1）把 C 点坐标代入抛物线解析式可求得c 的值，令 y=0 可求得 A 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的函数表达式；（2）在 RtAOB 和 RtAOD 中可求得OAB=OAD，在 RtOPQ 中可求得MP=MO，可求得MPO=MOP=AON，则可证得APMAON；过 M 作 MEx 轴于点 E，用 m 可表示出 AE 和 AP，进一步可表示出 AM，利用APMAON 可表示出 AN【解答】解：（1）把 C 点坐标代入抛物线解析式可得=9+c，解得 c=3，抛物线解析式为 y=x2+x3，令 y=0 可得x2+x3=0，解得 x=4 或 x=3，A（4，0），设直线 AC 的函数表达式为 y=kx+b（k0），把 A、C 坐标代入可得，解得，直线 AC 的函数表达式为 y=x+3；（2）在 RtAOB 中，tanOAB=，在 RtAOD 中，tanOAD=，OAB=OAD，在 RtPOQ 中，M 为 PQ 的中点，OM=MP，MOP=MPO，且MOP=AON，APM=AON，APMAON；如图，过点 M 作 MEx 轴于点 E，则 OE=EP，修正版 点 M 的横坐标为 m，AE=m+4，AP=2m+4，tanOAD=，cosEAM=cosOAD=，=，AM=AE=，APMAON，=，即=，AN=【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）中用 m 表示出 AP 的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质 本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大 26（14 分）（2017宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形 修正版 （1）如图 1，在半对角四边形 ABCD 中，B=D，C=A，求B 与C的度数之和；（2）如图 2，锐角ABC 内接于O，若边 AB 上存在一点 D，使得 BD=BO，OBA 的平分线交 OA 于点 E，连结 DE 并延长交 AC 于点 F，AFE=2EAF求证：四边形 DBCF 是半对角四边形；（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 D 作 DGOB 于点 H，交 BC 于点 G，当DH=BG 时，求BGH 与ABC 的面积之比【分析】（1）根据题意得出B=D，C=A，代入A+B+C+D=360求出即可；（2）求出BEDBEO，根据全等得出BDE=BOE，连接 OC，设EAF=，则AFE=2EAF=2，求出EFC=1802，AOC=1802，即可得出等答案；（3）过点 O 作 OMBC 于 M，求出ABC+ACB=120，求出OBC=OCB=30，根据直角三角形的性质得出 BC=2BM=BO=BD，求出DBGCBA，根据相似三角形的性质得出即可【解答】解：（1）在半对角四边形 ABCD 中，B=D，C=A，A+B+C+D=360，3B+3C=360，B+C=120，即B 与C 的度数和为 120；（2）证明：在BED 和BEO 中 修正版 BEDBEO，BDE=BOE，BCF=BOE，BCF=BDE，连接 OC，设EAF=，则AFE=2EAF=2，EFC=180AFE=1802，OA=OC，OAC=OCA=，AOC=180OACOCA=1802，ABC=AOC=EFC，四边形 DBCF 是半对角四边形；（3）解：过点 O 作 OMBC 于 M，四边形 DBCF 是半对角四边形，ABC+ACB=120，BAC=60，BOC=2BAC=120，OB=OC，OBC=OCB=30，BC=2BM=BO=BD，DGOB，HGB=BAC=60，DBG=CBA，DBGCBA，修正版=（）2=，DH=BG，BG=2HG，DG=3HG，=，=【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，难度偏大