导数及其应用教案设计2719.pdf

标准 文案 课题：变化率问题 教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念 教学过程：一、情景导入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 二、知识探究 探究一：气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么343)(VVr 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考：当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(VVVrVr 探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述标准 文案 其运动状态?思考计算：5.00 t和21 t的平均速度v 在5.00 t这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；在21 t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv 探究：计算运动员在49650 t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650 t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。探究（三）：平均变化率 1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,称为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率 2若设12xxx,21()()yf xf x (这里x看作是对于 x1的一个“增量”可用x1+x代替 x2,同样)()(12xfxfyf)则平均变化率为yxxxfxxfxxxfxf)()()()(111212 思考：观察函数 f(x)的图象：平均变化率yx1212)()(xxxfxf表示什么?直线 AB 的斜率 h t ox2 x=x2-x1 y=f(x2)-f(x1)x y x1 O f(x1)f(x2)y=f(x)标准 文案 3、函数 f(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率怎么表示？00()()f xxf xx 三、典例分析 例 1 已知函数 f(x)=xx 2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy 解：)1()1(22xxy，xxxxxy32)1()1(2 例 2、求2xy 在0 xx 附近的平均变化率。解：2020)(xxxy，所以xxxxxy2020)(xxxxxxxx020202022 所以2xy 在0 xx 附近的平均变化率为xx02 例 3、求函数 y5x26 在区间2，2x内的平均变化率 例 4、某盏路灯距离地面高 8m，一个身 高 1.7m 的人从路灯的正底下出发，以 1.4m/s 的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.解：略 四课堂练习 1质点运动规律为32 ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲线 y=f(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1 时割线的斜率.五回顾总结 1平均变化率的概念 2函数在某点处附近的平均变化率 六布置作业 课后记:253 t1.7 8 标准 文案 课题:导数的概念 教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念 教学过程：一、复习引入 1、函数平均变化率：2121()()f xf xyxxx11()()f xxf xx 2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线)的斜率 3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。二、知识探究 1、引例：计算运动员在49650 t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650 t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 2、瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t 时的瞬时速度是多少？考察2t 附近的情况：h t o标准 文案、思考：当t趋近于 0 时，平均速度v有什么样的变化趋势？、结论：当t趋近于 0 时，即无论t从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1、从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t 时的瞬时速度是13.1/m s、为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt 表示“当2t，t趋近于 0 时，平均速度v趋近于定值13.1”、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3、导数的概念：函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxf xxf xyxx 我们称它为函数()yf x在0 xx出的导数，记作0()fx或0|x xy，即 0000()()()limxf xxf xfxx 说明：（1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率 （2）0 xxx，当0 x 时，0 xx，所以0000()()()limxf xf xfxxx 4、一般地，求函数 f(x)在 xx0处的导数有哪几个基本步骤？第一步，求函数值增量：yf(xx)f(x0)；第二步，求平均变化率：00()()f xxf xyxx 第三步，取极限，求导数：00()limxyf xx 5、常见结论：（1）0000()()lim()xxf xf xf xxx（2）0000()()lim()xf xxf xf xx（3）0000(2)()lim2()xf xxf xf xx （4）0000()()lim()xf xm xf xmf xn xn 三、典例分析 例 1（1）求函数 y=3x2在 x=1 处的导数.分析：先求y=f(x)-f()=6x+(x)2 标准 文案 再求6yxx再求0lim6xfx 解：法一（略）法二：2222111133 13(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx （2）求函数 f(x)=xx 2在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：xxxxxy32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx 例 2（课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)f xxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是(2)f和(6)f 根据导数定义，0(2)()fxf xfxx 22(2)7(2)15(272 15)3xxxx 所以00(2)limlim(3)3xxffxx 同理可得:(6)5f 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和 5，说明在2h附近，原油温度大约以3/C h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/C h的速率上升 注：一般地，0()fx反映了原油温度在时刻0 x附近的变化情况 四课堂练习 1质点运动规律为32 ts，求质点在3t 的瞬时速度为 2求曲线 y=f(x)=x3在1x 时的导数 3例 2 中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 五回顾总结 1瞬时速度、瞬时变化率的概念 2导数的概念 六布置作业 标准 文案 课题：导数的几何意义 教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义 教学过程：一复习引入 1、函数 f(x)在 xx0处的导数的含义是什么？00000()()()limlimxxf xxf xyf xxx 2、求函数 f(x)在 xx0处的导数有哪几个基本步骤？3、导数 f(x0)表示函数 f(x)在 xx0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题.二知识探究 探究一：导数的几何意义 1、曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当(,()(1,2,3,4)nnnP xf xn 沿着曲线()f x趋近于点00(,()P xf x时，割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点 P 即x0 时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.问题：割线nPP的斜率nk与切线 PT 的斜率k有什么关系？切线 PT 的斜率k为多少？图 3.1-2 标准 文案 容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx,当点nP沿着曲线无限接近点 P 时，nk无限趋近于切线 PT 的斜率k，即0000()()lim()xf xxf xkfxx 说明：、设切线的倾斜角为,那么当x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在0 xx处的导数.、曲线在某点处的切线：、与该点的位置有关；、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无切线；、曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.2、导数的几何意义：函数 y=f(x)在 x=x0处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率，即：0000()()()limxf xxf xfxkx 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:、求出 P 点的坐标;、求出函数在点0 x处的变化率0000()()()limxf xxf xfxkx ，得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率；、利用点斜式求切线方程.探究二；导函数概念：1、导函数定义：由函数 f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当 x=x0时,0()fx是一个确定的数，那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作：()fx或y，即:0()()()limxf xxf xfxyx 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数 2、函数()f x在点0 x处的导数0()fx、导函数()fx、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数0()fx，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的，就是函数 f(x)的导函数 3）函数()f x在点0 x处的导数0()fx就是导函数()fx在0 xx处的函数值，这也是求函数在点0 x处的导数的方法之一。标准 文案 三典例分析 例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.（2）求函数 y=3x2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100(1)1(11)2|limlim2xxxxxxyxx ,所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为22(1)yx即20 xy（2）因为2222111133 13(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为36(1)yx即630 xy 练习：求函数 f(x)=xx 2在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：xxxxxy32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx 例 2（课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510h xxx，根据图像，请描述、比较曲线()h t在0t、1t、2t附近的变化情况 解：我们用曲线()h t在0t、1t、2t处的切线，刻画曲线()h t在上述三个时刻附近的变化情况（1）当0tt时，曲线()h t在0t处的切线0l平行于x轴，所以，在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2）当1tt时，曲线()h t在1t处的切线1l的斜率1()0h t，所以，在1tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510h xxx 在1tt附近单调递减（3）当2tt时，曲线()h t在2t处的切线2l的斜率2()0h t，所以，在2tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510h xxx 在2tt附近单调递减 标准 文案 从图 3.1-3 可以看出，直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度，这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢 例 3（课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()cf t(单位：/mg mL)随时间t（单位：min）变化的图象根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t在此点处的切线的斜率 如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值 作0.8t 处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k 所以 (0.8)1.4f 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率()f t 0.4 0-0.7-1.4 四课堂练习 1求曲线 y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2求曲线yx在点(4,2)处的切线 五回顾总结 1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义 六布置作业 课后记 标准 文案 课题：几个常用函数的导数 教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、2yx、1yx 的导数公式；2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数 教学重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用 教学难点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式 教学过程：一复习引入 1、导数0()f x的几何意义是什么？2、如何求函数 f(x)的导函数？3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数()yf x，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数 二知识探究 1函数()yf xc的导数 根据导数定义，因为()()0yf xxf xccxxx，所以00limlim 00 xxyyx 0y 表示函数yc图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为 0若yc表示路程关于时间的函数，则0y 可以解释为某物体的瞬时速度为 0，即物体一直处于静止状态 2函数()yf xx的导数 因为()()1yf xxf xxxxxxx。所以00limlim11xxyyx 1y 表示函数yx图像（图 3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为 1若yx表示路程关于时间的函数，则1y 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动 函数 导数 yc 0y 函数 导数 yx 1y 标准 文案 3函数2()yf xx的导数 因为22()()()yf xxf xxxxxxx2xx 所以00limlim(2)2xxyyxxxx 2yx 表示函数2yx图像（图 3.2-3）上点(,)x y处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0 x 时，随着x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0 x 时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x 4函数1()yf xx的导数 因为11()()yf xxf xxxxxxx2()1()xxxx xxxxxx 所以220011limlim()xxyyxxxxx 函数 导数 1yx 21yx （2）推广：若*()()nyf xxnQ，则1()nfxnx 三课堂练习 1课本 P13探究 1；2课本 P13探究 2；3求函数yx的导数 四回顾总结 五布置作业 函数 导数 2yx 2yx 标准 文案 课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程：一复习引入 1、四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用 二知识探究 探究一：基本初等函数的导数公式表 探究二：导数的运算法则 导数运算法则 1()()()()f xg xfxg x 2()()()()()()f xg xfx g xf x g x 特别：()()cf xcfx 函数 导数 yc 0y *()()nyf xxnQ 1nynx sinyx cosyx cosyx sinyx ()xyf xa ln(0)xyaa a()xyf xe xye()logaf xx 1()(01)lnfxaaxa且()lnf xx 1()fxx 标准 文案 32()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x 三典例分析 例 1假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp tp，其中0p为0t 时的物价假定某种商品的01p，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有()1.05 ln1.05tp t 所以10(10)1.05 ln1.050.08p（元/年）因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨 例 2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数（1）323yxx（2）y xx1111；（3）y x sin x ln x；（4）y xx4；（5）y xxln1ln1（6）y（2 x25 x 1）ex（7）y xxxxxxsincoscossin 说明：求导数是在定义域内实行的求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心 例 3、日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将 1 吨水净化到纯净度为%x时所需费用为：5284()(80100)100c xxx 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98%解：略 四课堂练习 1课本 P92练习 2已知曲线 C：y 3 x 42 x39 x24，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；（y 12 x 8）五回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则 六布置作业 课后记 标准 文案 课题：复合函数的求导法则 教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则 教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积 教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确 教学过程：一复习引入 1、基本初等函数的导数公式表 2、导数的运算法则 函数 导数 yc 0y *()()nyf xxnQ 1nynx sinyx cosyx cosyx sinyx ()xyf xa ln(0)xyaa a()xyf xe xye()logaf xx 1()log()(01)lnaf xxfxaaxa且()lnf xx 1()fxx 导数运算法则 标准 文案 二、知识探究 1、复合函数的概念：一般地，对于两个函数()yf u和()ug x，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yf u和()ug x的复合函数，记作()yf g x。2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？yln(x23)y(2x3)3 ysin(ax1)3、复合函数的导数：复合函数()yf g x的导数和函数()yf u和()ug x的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 若()yf g x，则()()()yfg xfg xg x 三典例分析 例 1 求下列函数的导数：（1）y(2x3)3；（2）0.051xye （3）sin()yx （4）yln(3x2).例 2 求 y axxax22的导数 例 3 求 y sin4x cos 4x 的导数【解法一】y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x121sin22 x 141（1cos 4 x）4341cos 4 xysin 4 x【解法二】y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x(cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x(sin x)4 sin x cos x(sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x 例 4 曲线 y x（x 1）（2x）有两条平行于直线 y x 的切线，求此二切线之间的距离 【解】y x 3 x 2 2 x y3 x 22 x 2 令 y1 即 3 x22 x 10，解1()()()()f xg xfxg x 2()()()()()()f xg xfx g xf x g x 特别：()()cf xcfx 32()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x 标准 文案 得 x 31或 x 1于是切点为 P（1，2），Q（31，2714），过点 P 的切线方程为，y 2x 1 即 x y 10 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|22716 四课堂练习 1求下列函数的导数 (1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy;(3)2(log2xa 2.求)132ln(2 xx的导数 五回顾总结 六布置作业 课题：函数的单调性与导数 教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系；2 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一情景导入 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的 通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用 二知识探究 1 问 题：图 3.3-1（1），它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度h随 时 间t变 化 的 函 数2()4.96.510h ttt 的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数()()9.86.5v th tt 的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：、运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，标准 文案 即()h t是增函数相应地，()()0v th t、从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()h t是减函数相应地，()()0v th t 2函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图 3.3-3，导数0()fx表示函数()f x在点00(,)xy处的切线的斜率 在0 xx处，0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在0 x附近单调递增；在1xx处，0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b内，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内单调递减 说明：（1）特别的，如果()0fx，那么函数()yf x在这个区间内是常函数 3求解函数()yf x单调区间的步骤：（1）确定函数()yf x的定义域；（2）求导数()yfx；（3）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例 1已知导函数()fx的下列信息：当14x时，()0fx；当4x，或1x 时，()0fx；当4x，或1x 时，()0fx，试画出函数()yf x图像的大致形状 解：当14x时，()0fx，可知()yf x在此区间内单调递增；Oyxxy Oyx2xy Oyx3xy Oyxxy1(1)(2)(3)(4)标准 文案 当4x，或1x 时，()0fx；可知()yf x在此区间内单调递减；当4x，或1x 时，()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数()yf x图像的大致形状如图 3.3-4 所示 例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）3()3f xxx；（2）2()23f xxx（3）()sin(0,)f xxx x；（4）32()23241f xxxx 解：（1）因为3()3f xxx，所以，22()333(1)0fxxx 因此，3()3f xxx在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示 （2）因为2()23f xxx，所以，()2221fxxx 当()0fx，即1x 时，函数2()23f xxx单调递增；当()0fx，即1x 时，函数2()23f xxx单调递减；函数2()23f xxx的图像如图 3.3-5（2）所示（3）因为()sin(0,)f xxx x，所以，()cos10fxx 因此，函数()sinf xxx在(0,)单调递减，如图 3.3-5（3）所示（4）因为32()23241f xxxx，所以 当()0fx，即 时，函数2()23f xxx ；当()0fx，即 时，函数2()23f xxx ；函数32()23241f xxxx的图像如图 3.3-5（4）所示 注：（3）、（4）生练 标准 文案 例3 如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像 解：1,2,3,4BADC 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些 如图 3.3-7 所示，函数()yf x在0,b或,0a内的图像“陡峭”，在,b 或,a内的图像“平缓”例4 求证：函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数 证明：因为22661262612yxxxxxx 当2,1x 即21x 时，0y，所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数 说明：证明可导函数 f x在,a b内的单调性步骤：（1）求导函数 fx；（2）判断 fx在,a b内的符号；（3）做出结论：0fx 为增函数，0fx 为减函数 例 5、已知函数232()43f xxaxx在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围 解：2()422fxaxx，因为 f x在区间1,1上是增函数，所以()0fx 对1,1x 恒成立，即220 xax对1,1x 恒成立，解之得：11a 所以实数a的取值范围为1,1 标准 文案 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则()0fx；若函数单调递减，则()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解 四课堂练习 1求下列函数的单调区间（1）.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)=+2x 3.f(x)=sinx,x2,0 4.y=xlnx 2课本练习 五回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()yf x单调区间（3）证明可导函数 f x在,a b内的单调性 六布置作业 课后记 课题：函数的极值（一）教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入 1.函数 f(x)在区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有什么关系？2.利用导数求函数单调区间的基本步骤如何？二、知识探究 探究一；函数的极值的概念 1、观察下图中的曲线 a 点的函数值 f(a)比它临近点的函数值都大b 点的函数值 f(b)比它临近点的函数值都小 2、观察函数 f(x)2x36x27 的图象，思考：函数 yf(x)在点 x0，x2 处的函数值，与它们附近所有各点 处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在 x0 的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f(0)是函数的一个极大值；（2）函数在 x2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小，1xOxaf(a)Oxybf(b)6422Oyxf(0)f(2)标准 文案 则 f(2)是函数的一个极小值 函数 y2x36x27 的一个极大值:f(0)；一个极小值:f(2)函数 y2x36x27 的 一个极大值点:(0，f(0)；一个极小值点:(2，f(2)3、极值的概念：一般地，设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)f(x0)我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作：y 极大值f(x0)；如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)f(x0)，我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作：y 极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值 探究二：函数极值的求解 1、观察下图中的曲线 考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况 上图中，曲线在极值点处切线的斜率为 0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正 2、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大（小）值的方法是：如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么，f(x0)是极大值；如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么，f(x0)是极小值；思考：导数为 0 的点是否一定是极值点？（导数为 0 的点不一定是极值点）如函数 f(x)x3，x0 点处的导数是 0，但它不是极值点 说明：、函数的极值点 xi是区间a,b内部的点，区间的端点不能成为极值点、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值、函数在a,b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点()()()()()().f xabfxabf xab3、函数的定义域为开区间，导函数在，内的函数图像如图，则函数在开区间，内存在极小值点几个Oxf(a)0f(x)0f(x)0aOxyf(b)0f(x)0f(x)0bx1 x2 x3 x4 x6 x7 x8 标准 文案 三、典例分析 例 1 求函数3144.3yxx 的极值 解：yx24(x2)(x2)令 y0，解得 x12，x22 当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表 因此，当 x2 时，y 极大值283，当 x2 时，y 极小值43 总结：求可导函数 f(x)的极值的步骤：求导函数 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值 例 2求函数xexy2的极值 例 3 求函数 y(x21)31 的极值 解：定义域为 R，y6x(x21)2.由 y0 可得 x11，x20，x31 当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：当 x0 时，y 有极小值，并且 y极小值0 x极小值极大值y+00+y(2,+)2(2,2)2(,2)3283410842-44xyO6极小值无极值(0y00y0(1，0)1，1)x(1(0无极值y0y，+)1，1)x321-2-112xy标准 文案 例 423)1(22xxy的极值 例 532)1(xxy的极值 练习：求函数xexy3的极值 四、课堂小结 1函数的极值的定义。2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数 f(x)解方程 f(x)0判断在根附近左右两侧 f(x)的符号作出结论.五、课后作业 课后记 课题：函数的极值(二)教学目标：1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.2、掌握函数极值的判别方法进一步体验导数的作用.教学重点：求函数的极值 教学难点：严格套用求极值的步骤.教学过程：一、复习引入 1函数的极值的定义。略（1）函数的极值点 xi是区间a,b内部的点，区间的端点不能成为极值点（2）函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值（3）函数在a,b上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点 2、求函数极值的基本步骤：确定函数定义域，求导数 f(x)解方程 f(x)0判断在根附近左右两侧 f(x)的符号作出结论.二、讲授新课 321.()(0)1(1)1.121f xaxbxcx axfabcx 例 已知在时取得极值，且（）求常数、