高考三角函数部分归类解析426.pdf
高考三角函数部分归类解析 近几年来，特别是使用了新教材后，高考试题中的三角函数试题的难度有所降低，无论是选择题、填空题，还是解答题，都是以中低档的形式为主.考查内容主要包括三角函数的求值、三角函数的图象和性质、解三角形及三角函数与向量、导数综合试题等.现将 全国各地高考试题中三角函数部分进行归类分析，供参考.一 三角函数的化简与求值问题 例 1（2005年广东省数学高考试题）化简：6161()cos(2)cos(2)33kkf xxx 2 3 sin(2)(,)3xxR kZ，并求函数()f x的值域和最小正周期 解：xxxxxkxkxf2cos4)23sin(32)23cos(2)23sin(32)232cos()232cos()(函数f(x)的值域为：4，4，函数f(x)的周期2T；评注：处理三角函数的周期，一般需先把函数解析式化简为Asin(x+)，Acos(x+)的形式，然后再利用周期公式求周期；或利用函数图象求周期.二三角函数的值域与最值问题 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现.例2（2005年全国卷高考试题）当20 x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为（）（A）2 （B）32 （C）4 （D）34 解：xxxxf2sinsin82cos1)(2=222cos8sin14tan2sincostanxxxxxx 4，当且仅当114tantan0tan22xxx时，即，显然在（，）内可以取到.故选（C）.例 3（2005年重庆市高考试题）：若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确定常数a 的值.22222cos111:()sincoscossinsin(),sin4cos222244114.,15.44xxxaaf xaxxxxaaa解其中角满足由已知有解之得 评注：三角函数的最值问题，可以化成y=Asin(x+)+k 的形式或通过换元变成二次函数的形式求最值；也可利用函数的单调性、均值不等式、数形结合等方法求解。三三角函数的图象变换、性质与画法 例 4（2005年全国卷高考试题）设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x。（）求；（）求函数)(xfy 的单调增区间；（）画出函数)(xfy 在区间,0上的图像。解：（I）x=8是函数y=f(x)的图像的对称轴，sin(28+)=1，4+=k+2，k Z.-0,=-43.（II）由（I）知=-43，因此 y=sin(2x-43).由题意得：2k-2 2x-43 2k+2,k Z.所以函数y=sin(2x-43)的单调增区间为：k+8,k+85,k Z.(III)由 y=sin(2x-43)知：故函数y=f(x)在区间0，上的图像是：小结:y=sinx图象的对称轴为)(2Zkkx，对称中心为(k,0)(k Z);y=cosx 图象的对称轴为x=k(kZ),对称中心为)0,2(k(kZ)；y=ctgx 及 y=tgx 的图象的对称中心为)(0,2(Zkk.在处理图象的对称中心问题时，注意不在图象上的对称中心是易错点.四三角函数与向量、导数、数列的综合试题 向量、导数是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为架起代数与几何知识的桥梁。其中向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点.例 5（2005年江西理科试题）已知向量(2cos,tan(),(2sin(),tan(),2242424xxxxab()f xa b 令.是否存在实数?)()(0)()(,0的导函数是其中使xfxfxfxfx若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf 21t a nt a n122222 2 cos(sincos)2sincos2cos1sincos222222221tan1tan22xxxxxxxxxxxx x 0 8 83 85 87 y-22-1 0 1 0-22()()0,:()()sincoscossin2cos0f xfxf xfxxxxxx令即.0)()(,02,2xfxfxx使所以存在实数可得 五三角函数的实际应用问题 三角函数的应用在考试大纲中要求：能运用三角函数的有关知识解决简单的实际问题，以及在其他方面的简单应用。这类问题以成为新高考数学试题的一个热点。例 6（2005年辽宁省高考试题）如右图，在直径为1 的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0 xy （）将十字形的面积表示为的函数；（）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？分析：本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力.（）解：设S 为十字形的面积，则22xxyS).24(coscossin22（）解法一：,21)2sin(25212cos212sincoscossin22S 其中.552arccos 当S,22,1)2sin(时即最大.所以，当S,552arccos214时最大.S 的最大值为.215 例 7（2005年天津市高考试题）（某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如下图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220 米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l与水平地面的夹角为a,tana=1/2 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）分析：本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力；本题利用倒角公式借助均值不等式求最值。解：以O 为原点，OA 为x轴、OB 为y轴建立直角坐标系，各点坐标为：A（200，0），B（0，220），C（0，300）直线l的方程为：12002yx 设点P 的坐标为（x，2002x）（200 x）直线PC 的斜率20030080022BCxxkxx，直线PB 的斜率20022064022BCxxkxx 由直线PC 到直线PB 的角的公式，得：216064642tan8006401606401288160640128822PBBCPBBCkkxxBPCxxkkxxxxxx 由均值不等式：1606402282 1606402880 xx 当且仅当160640 xx时，即320 x 时上式等号成立，这时，点 P 的纵坐标为1310220602y，当tanBPC最大时，BPC最大。所以，当此人距地面 60 米的时，观看铁塔的视角最大。六三角形的求解 例 8（2005年全国卷高考试题）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列，.43cosB （）求 cotA+cotC 的值；（）设caBCBA求,23的值.解：（）由,47)43(1sin,43cos2BB得 由 b2=ac 及正弦定理得 .s i ns i ns i n2CAB 于是BCACAACACCCAACACA2sin)sin(sinsinsincoscossinsincossincostan1tan1cotcot.774sin1sinsin2BBB （）由.2,2,43cos,23cos232bcaBBcaBCBA即可得由得 由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB 得 a2+c2=b2+2accosB=5.222()2549,3acacacac 例 9（2005年湖北省高考试题）在ABC 中，已知63,31cos,3tanACCB，求ABC 的面积.分析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b，.21cos,23sin,60,3tanBBBB得由 应用正弦定理得又,322cos1sin2CC：8232263sinsinBCbc.3263332213123sincoscossin)sin(sinCBCBCBA 故所求面积.3826sin21AbcSABC 2005 年 9 月 中学生理科月刊 第 9 期
