高等数学等价无穷小替换极限的计算9667.pdf
讲义 无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20 分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25 分钟），课堂练习（15 分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了n数列nx的极限、x（x、x）函数 xf的极限、0 xx（0 xx、0 xx）函数()f x的极限这七种趋近方式。下面我们用 x表示上述七种的某一种趋近方式，即 000 xxxxxxxxxn 定义：当在给定的x下，()f x以零为极限，则称()f x是x下的无穷小，即 0limxfx。例如,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小是当函数xx【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x下，xf无限增大，则称 xf是x下的无穷大，即 xfxlim。显然，n时，、32nnn都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0limxxe，xxelim，所以xe当x时为无穷小，当x 时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 xf为无穷大，则 xf1为无穷小；反之，如果 xf为无穷小，且 0 xf，则 xf1为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理 1 0lim()()(),xxxf xAf xAx其中)(x是自变量在同一变化过程0 xx（或x）中的无穷小.证：（必要性）设0lim(),xxf xA令()(),xf xA则有0lim()0,xxx（充分性）设()(),f xAx其中()x是当0 xx时的无穷小，则【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f xxf xAx给出了函数在 附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质 定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(limnnn，01sinlim0 xxx，0sin1limxxx 推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较 例如，2210,sin,sinxx xx xx当时都是无穷小，观察各极限：2201sinlimxxxxxx1sinlim0.不存在不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1定义:设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.例 1 .tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx 证：430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx 例 2 .sintan,0的阶数关于求时当xxxx 解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx 2常用等价无穷小:,0时当 x（1）xsinx；（2）xarcsinx；（3）xtanx；（4）xarctanx；（5）)1ln(xx；（6）1xex（7）xcos122x （8）1)1(xx （9）1xalnax 用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如),(sinxoxx).(211cos22xoxx 3等价无穷小替换 定理：.limlim,lim,则存在且设 证：lim)lim(limlimlim.lim 例 3 （1）.cos12tanlim20 xxx求；（2）1cos1lim20 xexx 解:（1）.22tan,21cos1,02xxxxx 时当 故原极限202(2)lim12xxx=8（2）原极限=2lim220 xxx=21 例 4 .2sinsintanlim30 xxxx求 错解:.sin,tan,0 xxxxx时当 30)2(limxxxx原式=0 正解:,0时当 x,22sinxx)cos1(tansintanxxxx,213x 故原极限33012lim(2)xxx.161【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例 5 .3sin1cos5tanlim0 xxxx求 解:),(5tanxoxx),(33sinxoxx).(21cos122xoxx 原式22015()()2lim3()xxo xxo xxo xxxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20.35 三、极限的简单计算 1.代入法：直接将0 xx 的0 x代入所求极限的函数中去，若 0 xf存在，即为其极限，例如924231232lim3451xxxxxx；若 0 xf不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，39lim23xxx就代不进去了，但我们看出了这是一个00型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式，消去零因子法 例如，63lim39lim323xxxxx。3.分子（分母）有理化法 例如，355125125123535lim51235lim222222xxxxxxxxxx 又如，011lim1lim22xxxxxx 4.化无穷大为无穷小法 例如，2222173373limlim142422xxxxxxxxxx，实际上就是分子分母同时除以2x这个无穷大量。由此不难得出 又如，12111lim21limxxxxxx，（分子分母同除x）。再如，1153152lim5352limnnnnnnnn，（分子分母同除n5）。5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，0131arctanlim2xxxxx，（无穷小量乘以有界量）。又如，.3214lim21xxxx求 解：)32(lim21xxx,0商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21xxxx 再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例 3例 5。6.利用两个重要极限求极限（例题参见例 3例 5）7.分段函数、复合函数求极限 例如，).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx求设 解:两个单侧极限为是函数的分段点,0 x 左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故【启发与讨论】思考题 1：110,sinxyxx当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0kkx取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk充分大时当无界，,kxk充分大时当 kkxyk2sin2)(但.0M不是无穷大 结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题 2：若0)(xf，且Axfx)(lim，问：能否保证有0A的结论试举例说明.解：不能保证.例xxf1)(,0 x 01)(xxf)(limxfx.01limAxx 思考题 3：任何两个无穷小量都可以比较吗 解：不能例如当x时,1)(xxfxxxgsin)(都是无穷小量 但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大，故当x时)(xf和)(xg不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxexxcoslim0；解：原极限=1cos1lim1limcoslim000 xxxexxexxxxx（2）求)1ln()cos1(1cossin3lim20 xxxxxx【分析】“00”型，拆项。解：原极限=xxxxx21cossin3lim20=xxxxxx21cos2sin3lim20=23（3）142345lim5245xxxxxx；【分析】“抓大头法”，用于型 解：原极限=543142345limxxxxx=25，或原极限555522limxxx（4）)(lim2xxxx；【分析】分子有理化 解：原极限=xxxxx2lim=1111limxx=21（5）)214(lim222xxxx【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。解：)214(lim222xxxx=42lim222xxxx=21lim2xxx=43（6）39lim220 xxx【分析】“00”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。解：原极限=222039limxxxx=6（7）).21(lim222nnnnn求 解:是无穷小之和时,n先变形再求极限.【内容小结】一、无穷小（大）的概念 无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.
