高中数学复习：基本不等式12143.pdf

高中数学复习：基本不等式 知 识 题 型 重 要 度 难 度 不等式 利用不等式求最值 恒成立问题 不等式的实际应用 柯西不等式 柯西不等式的应用 一不等式 不等式 条件 取等号的条件 重要不等式 abba222 Rba、当且仅当ba 时取等号 基本不等式 baba2 0ba，0 当且仅当ba 时取等号 使用基本不等式baba2需注意：1.ba、均大于 0；2.若)(为定值PPxy，则当yx 时，则yx有最小值P2；若)(为定值SSyx，则当yx 时，则yx有最大值241S；3.注意等号成立的条件是否满足.二常用结论（1）若0 x，则21xx（当且仅当1x时取“=”）；（2）若0 x，则21xx（当且仅当1x时取“=”）；（3）若0ab，则2abba（当且仅当ba 时取“=”）；（4）若Rba，则2)2(222babaab（当且仅当ba 时取“=”）；（5）若 Rba，则2211122babaabba（当且仅当ba 时取“=”）.三柯西不等式（补充）1.二维柯西不等式 若Rdcba，则22222)()(bdacdcba（当且仅当dbca，即bcad 时取等号）.2.二维形式的柯西不等式的变式 （1）2)()(bdacdcba（0dcba，当且仅当dbca，即bcad 时取等号）；（2）bdacdcba2222，（Rdcba，当且仅当dbca，即bcad 时取等号）；（3）bdacdcba2222（Rdcba，当且仅当dbca，即bcad 时取等号）.下列推导过程，正确的为（）A因为ba、为正实数，所以22baabbaab B因为Rx，所以2111x C0a，所以4424aaaa D因为Ryx、，0 xy，所以22xyxyxyyxyxyx 【答案】D 下列不等式恒成立的是（）A222abab B222abab C2abab D2abab【答案】B （多选）已知dcba、是实数，则下列一定正确的有（）A2222abab B21aa C若11ab，则ab D若0ab，0cd，则acbd【答案】AD 下列不等式一定成立的是（）A1362xx B221362xx 题型一 基本不等式【易错警示】1.注意等号成立的条件是否满足；2.对于不等式baba2，ba、均需满足R.例 1 例 2 变 1 变 2 C22131621xx D22131621xx【答案】C 若,a bR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（）A222abab B2abab C112abab D2baab【答案】D 若正实数 x，y 满足 2x+y=1.则 xy 的最大值为（）A41 B81 C91 D161【答案】B 已知00ba，且42ba，则ab的最大值为（）A41 B4 C21 D2【答案】D 已知11ba，且满足114ab，则下列说法正确的是（）Aab有最小值 Bab有最大值 Cab有最小值 Dab有最大值【答案】C 已知0yx，182yx，求xy的最小值.【答案】64 若正实数yx，满足12 yx，则xy2的最大值为_【答案】41 已知正数yx，满足143yx，则xy的最大值为_【答案】481 已知yx，为正实数，且4xy，则yx4的最小值是_【答案】8 变 3 题型二 利用基本不等式求最值 类型一 直接利用基本不等式求最值 例 1 例 2 例 3 例 4 变 1 变 2 变 3 若00yx，10 xy，则yx52的最小值为_【答案】2 若ba、都是正数，且1ba，则(1)(1)ab的最大值是_【答案】49 若310 x，则)31(xx取最大值时x的值是_，最大值为_【答案】12161；已知 0 x1，则 x(43x)取得最大值时 x 的值为_，最大值为_【答案】3432；若20 x，求)36(xxy的最大值.【答案】3 若40 x，求)28(xxy的最大值.【答案】22 已知1x，求函数11xxy的最小值是 .【答案】1 已知)3(，x，函数34xxy的最小值为（）A4 B7 C2 D8【答案】B 19xx取得最小值时，x_.【答案】4 若1x，则函数2()1f xxx的最小值为（）A22 B122 C4 D5【答案】B 变 4 变 5 类型二 拼凑法求最值 例 1 变 1 例 2 变 2 例 3 例 4 变 3 变 4 已知0a，0b，1ba，则ba11的最小值是（）A3 B4 C5 D6【答案】B 已知0a，0b，221ba，则ba的最小值为（）A2223 B2223 C223 D223【答案】B 已知0yx，且911yx，求yx42 的最小值.【答案】92432 已知正数 x，y 满足3141yx，则 x+y 的最小值为（）A35 B2 C37 D6【答案】B 已知0ba，则babaa142的最小值为（）A444 B6 C32283baa D23【答案】B 若 a，b，c 都是正数，且 abc2，则4a11bc的最小值是_.【答案】3 设m，n为正数，且2nm，则2311nnm的最小值为（）A59 B47 C35 D23【答案】A 已知 0a1，则aa141的最小值是（）A4 B8 C9 D10【答案】C 类型三 多项式相乘构造倒数型【方法点睛】此类题型也可用柯西不等式求解（可直接利用柯西不等式口算出答案）.例 1 例 2 变 1 例 3 例 4 例 5 例 6 变 2 已知1a，0b，2ba，则ba2111的最小值为_.【答案】B 已知正实数yx，满足234 yx，则231121yx的最小值为（）A221 B3231 C3221 D2221【答案】C 已知正数ba，满足2ba，则141bbaa的最大值是（）A29 B411 C1 D37【答案】C 已知1a，0b，且abba22，则ba2的最小值为（）A9 B5 C29 D4【答案】C 若正实数a，b满足abba，则baab的最小值为（）A2 B4 C8 D16【答案】C 若正实数x，y满足xyyx124，则xy的最小值为（）A4 B6 C18 D36【答案】B 若正实数x，y满足xyyx222，则12312yx的最小值为_.【答案】22 已知0 x，0y，且053xyyx，则yx43 的最小值是（）A4 B5 C6 D9【答案】B 若正数x，y满足xyyx3，则xy的最小值是_.【答案】3 若0a，0b，且baab，则ba94 的最小值为（）A25 B5 C26 D13【答案】25 若正实数x，y满足xyyx2，则1512yx的最小值为_.变 3 变 4 变 5 例 6 例 7 例 8 例 9 变 6 变 7 变 8 变 9 【答案】3102 已知0a，0b，且3baab，则ba的最小值为（）A4 B8 C7 D6【答案】D 已知)310(，x，则xx3111的最小值是_.【答案】324 已知)430(，x，则xx43121的最小值是_.【答案】3221 若27x，则31062xxxy有（）A最大值25 B最小值25 C最大值 2 D最小值 2【答案】C 已知)0(1632xxxxy，则函数的最小值是_.【答案】5 函数4522xxy的最小值为（）A2 B25 C1 D不存在【答案】B 函数)1(112xxxxy的最小值为（）A32 B323 C222 D5【答案】B 函数1422xxy的最小值是_.【答案】32 变10 例10 变11 类型四 二次比一次型【方法点睛】1.二次比一次型：分子部分构造分母，再将分子分离；2.一次比二次型：分母部分构造分子，再将分子分母同时除以分子.例 1 例 2 例 3 变 1 变 2 已知1a，则11312aaa的最大值为_.【答案】51 若1x ，则44212xxx的最大值为_.【答案】41 已知00ba，若不等式bamba221恒成立，则实数m的最大值为（）A10 B9 C8 D7【答案】C 若不等式mxx4111对)410(，x恒成立，则实数 m 的最大值为_.【答案】9 对于正数a，b，且4ba，若43 ababm恒成立，则m可以为（）A3 B25 C2 D1【答案】A 已知不等式9)1)(yaxyx对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为（）A2 B4 C6 D8【答案】B 已知2x，若mmxx2292恒成立，则实数m的取值范围是（）A2m或4m B4m或2m C42m D24m【答案】C 已知x，)0(，y，且1 yx，若不等式mmxyyx4121222恒成立，则实数m的取值范围是（）A)123(，B 123，例 4 变 3 题型三 恒成立问题【方法点睛】1.若 af(x)恒成立，则 af(x)恒成立，则 af(x)的最大值.例 1 例 2 例 3 变 1 变 2 变 3 C)12(，D)1()23(，【答案】A 数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A)00(2baabba，B)00(2baabbaab，C)00(2222bababa，D)00(222baabba，几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为（）题型四 不等式的实际应用 例 1 变 1 A)00(2baabba，B)00(222baabba，C)00(112babaab，D)00(2222bababa，今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（）AGba2 BGba2 CGba2 DGab 某工厂的产值第二年比第一年的增长率是 P1，第三年比第二年的增长率是 P2，而这两年的平均增长率为 P，在 P1+P2为定值的情况下，P 的最大值为（）A221PP B21PP C221PP D)1)(1(21PP 例 2 变 2 建造一个容积是8m3，深2m的无盖长方体水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为（）A1760 元 B1860 元 C1960 元 D1260 元 4cmOABCDABCDABCD_.cm2 例 3 变 3 ABCDAMPNMABNADMNCAB=4AD=3ANxx3 1AMPN54AN 2AMANAMPN 例 4 某中学60000cm210cm5cm 1 22 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园设菜园的长为 xm，宽为 ym（1）若菜园面积为 72m2，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为 30m，求yx21的最小值 变 4 变 5 1.已知0 x，则xx4的（）A最大值为 2 B最小值为 2 C最大值为 4 D最小值为 4【答案】D 2.已知222ba，那么ba的最大值为（）A1 B2 C2 D22【答案】C 3.已知0 x，0y，若1 yx，则xy1的最小值为（）A4 B41 C2 D21【答案】A 4.已知)0(，yx，42 yx，则xy的最大值为_【答案】2 5.已知点)(ba，在直线44yx上，当0a，0b，时，ba94的最小值为_【答案】16 6.已知正数a，b满足12 ba，则ba21的最小值为_【答案】9 专练一 利用基本不等式求最值 7.正实数x，y满足：12 yx，则当yx12取最小值时需满足的条件是_；最小值为_【答案】x=y=31；9 8.设x，y均为正实数，且12323yx，则yx的最小值为（）A8 B16 C9 D6【答案】A 9.若正数x，y满足xyyx53，当yx43 取得最小值时，yx4的值为（）A2 B3 C44 D5【答案】B 10.已知x，y为正实数，满足624xyyx，则yx2的最小值为_.【答案】2 11.已知0a，0b，11121bba，则ba的最小值为_【答案】21 12.已知0a，0b，4ba，则114ba的最小值为_【答案】54 13.已知210 a，则aa2111的最小值是（）A6 B4 C223 D243【答案】C 14.若正数ba，满足abba2，则1713ba的最小值是_ 【答案】72 1.对任意的正实数yx，不等式xymyx 4恒成立，则实数m的取值范围是（）A40(，B20(，C4(，D2(，【答案】C 2.已知0 x，0y，且112yx，若mmyx222恒成立，则实数m的取值范围_ 【答案】-4，2 3.已知0a，0b，若不等式babam133恒成立，则m的最大值为_【答案】16 专练二 恒成立问题 4.已知x、y为两个正实数，且yxyxm11恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】4 5.若对任意0 x，axxx132恒成立，则a的取值范围是_【答案】51a 6.已知对任意)0(，yx，且32yx，12121yxt恒成立，则t的取值范围_【答案】32t 7.对任意满足8ba的正数a，b都有xxba11411成立，则实数x的取值范围是_ 【答案】10 xx或 1.南京第二十七高级中学为了宣传秦淮特色和风土人情，由同学设计一幅秦淮特色矩形宣传画，要求画面面 积为 4000cm2，画面的上、下各留 8cm 空白，左、右各留 5cm 空白如何设计画面的高与宽的尺寸，才能 使宣传画所用纸张面积最小？2.若某居民小区欲在一块空地上建一面积为 1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行专练三 不等式的实际应用 通道，设计要求 停车场外侧南北的人行通道宽 3m，东西的人行通道宽 4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场 的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？