椭圆经典例题分类汇总10549.pdf

1 椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用 例 1 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解：（1）当02，A为长轴端点时，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况 例 2 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值 分析：分两种情况进行讨论 解：当椭圆的焦点在x轴上时，82 ka，92b，得12 kc由21e，得4k 当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82 kb，得kc12 由21e，得4191k，即45k 满足条件的4k或45k 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为8k与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上故必须进行讨论 例3 已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围 解：由,35,03,05kkkk得53 k，且4k 满足条件的k的取值范围是53 k，且4k 说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53 k，故k的取值范围是53 k 2 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba 时，并不表示椭圆 例4 已知1c o ss in22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围 分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系 再根据三角函数的单调性，求出的取值范围 解：方程可化为1cos1sin122yx因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1 因此0sin且1tan从而)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0 例 5 已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程 分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法 2.焦半径及焦三角的应用 例 1 已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 解：假设M存在，设11yxM，由已知条件得，3b，1c，21e 左准线l的方程是4x，14xMN 又由焦半径公式知：3 111212xexaMF，112212xexaMF 212MFMFMN，11212122124xxx 整理得048325121xx 解之得41x或5121x 另一方面221x 则与矛盾，所以满足条件的点M不存在 例 2 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积 解：如图，设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF 由椭圆定义知：aPFPF221 ，则2得 cos12221bPFPF 故sin212121PFPFSPFF sincos12212b 2tan2b 3.第二定义应用 例 1 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标 分析：本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得最小值 一般地，求MFeAM1均可用此法 解：由已知：4a，2c所以21e，右准线8xl：过A作lAQ，垂足 为Q，交椭圆 于M，故 4 MFMQ2显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上故32Mx所以332，M 说明：本题关键在于未知式MFAM2中的“2”的处理事实上，如图，21e，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值 例 2 已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b，求P到左准线的距离 分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解 解法一：由142222bybx，得ba2，bc3，23e 由椭圆定义，baPFPF4221，得 bbbPFbPF34421 由椭圆第二定义，edPF11，1d为P到左准线的距离，bePFd3211，即P到左准线的距离为b32 解法二：edPF22，2d为P到右准线的距离，23ace，bePFd33222又椭圆两准线的距离为bca33822 P到左准线的距离为bbb32332338 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义 例 3 已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一 5 点(1)求1PFPA 的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求223PFPA 的最小值及对应的点P的坐标 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解 解：(1)如上图，62 a，)0,2(2F，22AF，设P是椭圆上任一点，由6221aPFPF，22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA，等 号 仅 当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线 由22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线 建立A、2F的直线方程02 yx，解方程组4595,0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P 综上所述，P点与1P重合时，1PFPA 取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA 取最大值26(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由3a，2c，32e由椭圆第二定义知322 ePQPF，223PFPQ，PQPAPFPA223，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离右准线方程为29x 6 A到右准线距离为27此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为 1，代入椭圆得满足条件的点P坐标)1,556(说明：求21PFePA 的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段巧用焦点半径2PF与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段 4.参数方程应用 例 1 求椭圆1322 yx上的点到直线06 yx的距离的最小值 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值 解：椭圆的参数方程为.sincos3yx，设椭圆上的点的坐标为sincos3，则点到直线的距离为 263sin226sincos3d 当13sin时，22最小值d 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程 例 2 (1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题 解：(1)sin2cos3yx)(R 7(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设)sin2,cos3(为矩形在第一象限的顶点，)20(，则122sin12sin2cos34S 故椭圆内接矩形的最大面积为 12 说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便 例 3 椭圆12222byax)0(ba与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使APOP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围 分析：O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把APOP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程 解：设椭圆的参数方程是sincosbyax)0(ba，则椭圆上的点)sin,cos(baP，)0,(aA，APOP，1cossincossinaabab，即0coscos)(22222baba，解得1cos或222cosbab，1cos1 1cos（舍去），11222bab，又222cab 2022ca，22e，又10 e，122 e 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P使APOP 如何证明？5.相交情况下-弦长公式的应用 例 1 已知椭圆1422 yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程 8 解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422 yx得 1422mxx，即012522mmxx020161542222mmm，解得2525m （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx 根据弦长公式得 ：51025145211222mm解得0m方程为xy 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程 例 2 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 分析：可以利用弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求 解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 2121xxkAB4)(1(212212xxxxk因为6a，3b，所以33c因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93 xy 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB (法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解 由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF 1，nBF 1，则mAF122，nBF122 9 在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB (法 3)利用焦半径求解 先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标 再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB 6.相交情况下点差法的应用 例 1 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01 yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程 解：由题意，设椭圆方程为1222 yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422 yx为所求 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题 例 2 已知椭圆1222 yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得 10 0232122212222kkxkkxk 由韦达定理得22212122kkkxx P是弦中点，121 xx故得21k 所以所求直线方程为0342 yx 分析二：设弦两端坐标为11yx，、22yx，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy 解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得 1.11212212122222121yyxxyxyx，得0222212221yyxx 将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21 所求直线方程为0342 yx 说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用 例 3 已知椭圆1222 yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；11（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法 解：设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121 得0221212121yyyyxxxx 由 题 意 知21xx，则 上 式 两 端 同 除 以21xx，有 0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx （1）将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342 yx 将 代 入 椭 圆 方 程2222yx得041662 yy，0416436符 合 题 意，0342 yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx（椭圆内部分）（4）由得 ：2222212221yyxx，将平方并整理得 212222124xxxxx，212222124yyyyy，将代入得：224424212212yyyxxx，再 将212121xxyy代 入 式 得：221242212212xxyxxx，即 12 12122yx 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 例 4 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl 4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称 分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上 利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围 解：(法 1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点 l的斜率4lk，设直线AB的方程为nxy41由方程组,134,4122yxnxy消去y得 0481681322nnxx 。13821nxx 于 是1342210nxxx，13124100nnxy，即 点M的 坐 标 为)1312,134(nn 点M在 直 线mxy 4上，mnn1344 解 得mn413 将式代入式得048169261322mmxx A，B是椭圆上的两点，0)48169(134)26(22mm解得1313213132m (法 2)同解法 1 得出mn413，mmx)413(1340，mmmmxy3413)(414134100，即M点坐标为)3,(mm A，B为 椭 圆 上 的 两 点，M点 在 椭 圆 的 内 部，13)3(4)(22mm 解 得1313213132m(法 3)设),(11yxA，),(22yxB是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为),(00yx 13 A，B在 椭 圆 上，1342121yx，1342222yx 两 式 相 减 得0)(4)(321212121yyyyxxxx，即0)(24)(23210210yyyxxx)(4321002121xxyxxxyy 又直线lAB，1lABkk，144300yx，即003xy 。又M点在直线l上，mxy004 。由，得M点的坐标为)3,(mm 以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程(2)利用弦AB的中点),(00yxM在椭圆内部，满足12020byax，将0 x，0y利用参数表示，建立参数不等式 例 5 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy)的值代入计算即得 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的 解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得 036)24(4)24(8)14(222kxkkxk 设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是的两根，14)24(8221kkkxx)2,4(P为AB中点，14)24(424221kkkxx，21k所求直线方程为082yx 方法二：设直线与椭圆交点),(11yxA，),(22yxB)2,4(P为AB中点，821 xx，421 yy 14 又A，B在椭圆上，3642121yx，3642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx，即0)(4)(21212121yyyyxxxx21)(4)(21212121yyxxxxyy直线方程为082yx 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxB A、B在椭圆上，36422yx 。36)4(4)8(22yx 从而A，B在方程的图形082yx上，而过A、B的直线只有一条，直线方程为082yx 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法 若已知焦点是)0,33(、)0,33(的椭圆截直线082yx所得弦中点的横坐标是 4，则如何求椭圆方程？