特级教师高考复习方法指导三角函数808.pdf
中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中 第四讲 复习三角函数 一、本讲进度 三角函数复习 二、本讲主要内容 1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。三、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于 3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在 x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边 相同的角，都可以表示成 k 3600+的形式，特例，终边在 x 轴上的角集合|=k1800，k Z，终边在 y 轴上的角集合|=k1800+900，k Z，终边在坐标轴上的角的集合|=k900，k Z。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|R，扇形面积公式|R21R21S2，其中 为弧所对圆心角的弧度数。2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设 P(x，y)是角 终边上任一点（与原点不重合），记22yx|OP|r，则rysin，rxcos，xytan，yxcot。利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即t2k与 之间函数值关系（k Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2=2cos2-1=1-2sin2，变形后得22cos1sin,22cos1cos22，可以作为降幂公式使用。三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设 T 为非零常数，若对 f(x)定义域中的每一个 x，均有 f(x+T)=f(x)，则称 T 为 f(x)的周期。当 T 为 f(x)周期时，kT（k Z，k 0）也为 f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法（1）等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中 （2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；（3）分类讨论。四、典型例题 例1、已知函数 f(x)=)xcosx(sinlog21（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性。解题思路分析：（1）x 必须满足 sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及45k2x4k2，k Z 函数定义域为)45k2,4k2(，k Z )4xsin(2xcosxsin 当 x)45k2,4k2(时，1)4xsin(0 2cosxsin0 212logy21 函数值域为,21）（3）f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性 （4）f(x+2)=f(x)函数 f(x)最小正周期为 2 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分 sinx-cosx的符号；以、象限角平分线为标准，可区分 sinx+cosx的符号，如图。例2、化简)cos1(2sin12，（，2 ）解题思路分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 222)2cos2(sin2cos2sin22cos2sinsin1 2cos4)12cos21(2)cos1(222 原式=|2cos|2|2cos2sin|2 （，2 ）中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中 ),2(2 02cos 当23,4922时，02cos2sin 原式=2sin2 当223,243时，02cos2sin 原式=)2arctan2sin(522cos42sin2 原式=223)2arctan2sin(52232sin2 注：1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化 1为2cos2sin22，是欲擒故纵原则。一般地有|cossin|2sin1，|cos|22cos1，|sin|22cos1。2、三角函数式 asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)xsin(ba22（取abarctan）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的 sincosx，sinx3cosx，要熟练掌握变形结论。例3、求0020210sin21)140cos1140sin3(。解题思路分析：原式=00202020210sin21140cos140sin140sin140cos3 16160sin200sin1680cos80sin200sin810sin2180sin41200sin80sin410sin21)40cos40sin()140sin140cos3)(140sin140cos3(000000020002000000 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例 4、已知 00 900，且 sin，sin 是方程020240cosx)40cos2(x21=0 的两个实数根，求 sin(-5)的值。解题思路分析：中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中 由韦达定理得 sin+sin=2cos400，sin sin=cos2400-21 sin-sin=)40cos1(2sinsin4)sin(sin)sin(sin0222 040sin2 又 sin+sin=2cos400 0000005sin)40sin240cos2(21sin85sin)40sin240cos2(21sin 00 900 00585 sin(-5)=sin600=23 注：利用韦达定理变形寻找与 sin，sin 相关的方程组，在求出 sin，sin 后再利用单调性求，的值。例 5、（1）已知 cos(2+)+5cos=0，求 tan(+)tan 的值；（2）已知5cos3sincossin2，求2sin42cos3的值。解题思路分析：（1）从变换角的差异着手。2+=(+)+，=(+)-8cos(+)+5cos(+)-=0 展开得：13cos(+)cos-3sin(+)sin=0 同除以 cos(+)cos 得：tan(+)tan=313（2）以三角函数结构特点出发 3tan1tan2cos3sincossin2 53tan1tan2 tan=2 57tan1tan8tan33cossincossin8)sin(cos32sin42cos3222222 注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。例 6、已知函数2xsin2xsin24a)x(f（a(0，1)），求 f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。解题思路分析：中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中 对三角函数式降幂 81x2cos2x2cos141xsin41)xsin21(2xcos2xsin)2xsin1(2xsin2xsin2xsin22222224 f(x)=81x2cosa 令 81x2cos81u 则 y=au 0a0，0），在一个周期内，当 x=8时，ymax=2；当 x=85时，ymin=-2，则此函数解析式为 A、)42xsin(2y B、)4x2sin(2y C、)4xsin(2y D、中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中 )8x2sin(2y 4、已知tan11tan=1998，则2tan2sec的值为 A、1997 B、1998 C、1999 D、2000 5、已知 tan，tan 是方程04x33x2两根，且，)2,2(，则+等于 A、32 B、32或3 C、3或32 D、3 6、若3yx，则 sinxsiny的最小值为 A、-1 B、-21 C、43 D、41 7、函数 f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是 A、5.5 B、6.5 C、7 D、8 8、若（0，2 ，则使 sin cos cot ，则 sin sin B、函数 y=sinxcotx的单调区间是)2k2,2k2(，k Z C、函数x2sinx2cos1y的最小正周期是 2 D、函数 y=sinxcos2-cosxsin2x的图象关于 y 轴对称，则42k，k Z 10、函数)x2cosx2(sinlog)x(f31的单调减区间是 A、)8k,4k(B、8k,8k(C.)83k,8k(D、)85k,8k(kZ（二）填空题 11、函数 f(x)=sin(x+)+3cos(x-)的图象关于 y 轴对称，则=_。12、已知+=3，且3(tan tan+c)+tan=0（c 为常数），那么 tan=_。13、函数 y=2sinxcosx-3(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为_。14、已知(x-1)2+(y-1)2=1，则 x+y的最大值为_。15、函数 f(x)=sin3x图象的对称中心是_。（三）解答题 中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中 16、已知 tan(-)=21，tan=71，（-，0），求 2 -的值。17、是否存在实数 a，使得函数 y=sin2x+acosx+23a85在闭区间0，2 上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值。18、已知 f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（x R）（1）求 f(x)的最小正周期；（2）求 f(x)单调区间；（3）求 f(x)图象的对称轴，对称中心。参考答案（一）选择题 1、B 2、B 3、B 4、B 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B（二）填空题 11、6k，k Z 12、)1c(3 13、-4 14、22 15、（3k，0）（三）解答题 16、47 17、23a 18、（1）T=（2）增区间k-12，k +125 ，减区间k+1211k,125 （3）对称中心（62k，0），对称轴1252kx，k Z 中国特级教师高考复习方法指导数学复习版 中
