等差数列及其前n项和教学设计43369.pdf

课题 等差数列及其前n 项和 科目 数学 教学对象 高三学生 提供者 课时 1 课时 一、教学内容分析 等差数列是高考考察的重点内容，主要考察等差数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式、等差中项等相关内容。对等差数列的定义、性质及等差中项的考察以填空题为主，难度较小。通项公式与前 n 项和公式相结合的题目多出现在解答题中，难度中等。二、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度、价值观）1.知识与技能目标：1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式。2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。3.了解等差数列与一次函数的关系。2.过程与方法目标：经历等差数列的概念的归纳过程，会应用等差数列的基本知识解决问题。通过等差数列通项公式、前 n 项和公式的运用，渗透方程思想。引导学生通过观察、类比等方法，理解等差数列的性质。3.情感态度、价值观目标：在等差数列的学习过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。三、学习者特征分析 1、学生已学习过等差数列及其前n 项和。2、学生的知识经验较为丰富，具备了抽象思维能力和演绎推理能力。3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。4、学生层次参次不齐，个体差异比较明显。四、教学策略选择与设计 1、启发引导策略：提出有启发性的问题，激发学生的学习兴趣，积极地参与到探究规律的学习当中；2、探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导。五、教学环境及资源准备 专门为本课设计的多媒体课件 六、教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图及资源准备 导课 前面学习了数列的基本概念，本节课复习等差数列及其前 n 项和。等差数列是一种特殊的数列，是本章的重点内容，复习时要重点把握等差数列的定义、通项公式、前 n 项和、性质、最值等方面的问题，在高考中本节内容可能出现在选择题、填空题、综合题中，以考察等差数列的性质为主，在与函数、不等式等知识综合考察多为中档题，复习中一定要注重基础，认真备考。回忆等差数列及其前n项和的相关知识 从已有的知识出发，激发学生的探究热情和学习兴趣。知识梳理 一、等差数列的有关概念 1、定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，其符号语言为：(n2，d 为常数).2.等差中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 A，使 a，A，b成 ，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项，则A .二、等差数列的有关公式 1.通项公式：ana1(n1)d.2.前 n 项和公式：Sn .三、等差数列的性质 1.通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*).2.若an为等差数列，m，n，p，qN*，若 mnpq，则 ；若 mn2p，则 .3.在等差数列an中，an，an+m，an+2m，仍成等差数列，公差为 .由学生回忆已学知识师生共同总结 通过学生探索交流、总结已学知识，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。知识梳理 4.若an是等差数列，则 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，仍是等差数列，公差为 .5.等差数列的增减性：d0 时为 数列，且当a10 时前 n 项和 Sn有最_值；d0 时前 n 项和 Sn有最_值；d=0 时为 数列。由学生回忆已学知识师生共同总结 通过学生探索交流、总结已学知识，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d 决定的.()(4)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列.()(5)在等差数列的前n项和公式dnnnaSn211中，Sn一定是关于 n 的二次函数.()(6)若数列an和bn都是等差数列，则数列pan-qbn（p，q 为常数），也是等差数列.()由 问 题启发学生进行思考讨论，学生完成并回答。通过师生探索交流、讨论解决问题方法，揭示知识间的内在联系，对学生的思维进行启迪，方法及时的点拨，培养学生的语言表达能力，思维的严谨性，让学生在交流中学习数学。例题讲解 教师点拨、讲解例题 考点一、等差数列的基本运算 例 1：在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值.分析：(1)设出等差数列的公差为 d，然后根据首项为1 和第 3 项等于-3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差 d 的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；(2)根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k 项和的公式，当其等于-35 得到关于k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值，根据 k 为正整数得到满足题意的k 的值 学生思考 通过例题讲解，使学生加深对等差数列概念、通项、前 n项的理解，完善知识结构，提高学生分析、解决问题的能力。考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和。此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题。练习 1 观察学生的完成情况，引导、提示、帮助学生完成。(1)an 为 等 差 数 列，且a7-2a4=-1，则 a30，则公差 d等于（）12 C.12 (2)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a112，S420，则S6等于()学 生 思考、完成并回答 使学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。例题讲解 教师点拨、讲解例题 考点二、等差数列的性质及应用 例 2：等差数列an的前 m 项和为30，前 2m项和为100，则它的前 3m项和为()分析：根据等差数列的性质可知 Sm，S2m-Sm，S3m-S2m是等差数列，由 2（S2m-Sm）=S3m-S2m+（S3m-S2m）可解得 S3m的值.学生思考 考点：等差数列性质及应用。此题考查学生灵活运用等差数列的性质求值。通过例题讲解，使学生加深对等差数列性质的理解，完善知识结构，提高学生分析、解决问题的能力。为今后的学习打好基础。练习 2 观察学生的完成情况，引导、提示、帮助学生完成。(1)已知等差数列an的前 n项和为Sn，且 S1010，S2030，则 S30_.(2)已知正项等差数列an的前 20项和为100，那么a6 a15的最大值为（）D.不存在 学 生 思考、完成并回答 使学生巩固等的性质。例题讲解 教师点拨、讲解例题 考点三、等差数列的前n 项和及其最值 例 3：在等差数列an中，已知 a120，前 n 项和为 Sn，且S10S15，求当 n 取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.分析：设等差数列的公差为 d，由首项a1的值和S10=S15即可求出公差d的值即可写出等差数列an的通项公式；可知 a13=0，然后由等差数列的特点可知当 n12 时，an0，n14，an0 即可得结论 学生思考 考点：等差数列的前 n 项和及其最值。此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和及性质化简求值，是一道中档题。引导利用所学性质求解，这样有助于简化运算。是学生灵活运用了所学知识，培养了学生思维的灵活性和深刻性。练习 3 观察学生的完成情况，引导、提示、帮助学生完成。(1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 a111，a4a66，则当 Sn取最小值时，n等于()(2)等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和.若 aka40，则 k_.学 生 思考、完成并回答 使学生巩固等差数列相关知识。小结 通过本节课的学习，你最大的体验是什么 回顾本节课内容 通过小结，有利于学生构建完整的知识体系，养成良好学习的习惯。课后思考(1)已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和，若 a1=12，S2=a3，则 a2=；Sn=.(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为 _.(3)设数列an是公差 d0 的等差数列，Sn为前 n 项和，若S65a110d，则 Sn取最大值时，n 的值为()或 6 使学生巩固当天所学知识。