等差数列综合复习(教案+例题+习题)10607.pdf
一、等差数列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。例 1 根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2）2212，2313，2414，2515；（3）11*2，12*3，13*4，14*5。解析：（1）na=21n；（2）na=2(1)11nn；（3）na=(1)(1)nn n。点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。如（1）已知*2()156nnanNn，则在数列na的最大项为_ ；（2）数列na的通项为1bnanan，其中ba,均为正数，则na与1na的大小关系为_；（3）已知数列na中，2nann，且na是递增数列，求实数的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）或11(2)nnnnaaaan。例 2设 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B；解法一：an=)2(12)1(1)2()1(11nnnanSSnSnnn an=2n1（nN）又 an+1an=2 为常数，12121nnaann常数 an是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式 an=SnSn1的推理能力.但不要忽略 a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。练一练：设na是等差数列，求证：以 bn=naaan21*nN为通项公式的数列 nb为等差数列。3、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanm d。4、等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。例 3：等差数列an的前 n 项和记为 Sn，若 a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是()AS7 BS8 CS13 DS15 解析：设 a2a4a15p(常数)，3a118dp，解 a713p.S1313(a1a13)213a7133p.答案：C 例 4等差数列an中，已知 a113，a2a54，an33，则 n 为()A48 B49 C50 D51 解析：a2a52a15d4，则由 a113得 d23，令 an3313(n1)23，可解得 n50.故选 C.答案：C 如(1)等差数列na中，1030a，2050a，则通项na ；（2）首项为-24的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_ ；例 5：设 Sn是等差数列an的前 n 项和，a128，S99，则 S16_.解析：S99a59，a51，S168(a5a12)72.答案：72 例 6：已知数列an为等差数列，若a11a100 的n 的最大值为()A11 B19 C20 D21 解析：a11a100，a110，且 a10a110，S2020(a1a20)210(a10a11)0 的 n 的最大值为 19，故选 B.答案：B 如（1）数列 na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS ，则1a，n ；（2）已知数列 na的前 n 项和212nSnn，求数列|na的前n项和nT.5、等差中项：若,a A b成等差数列，则 A 叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2,2ad ad a ad ad（公 差 为d）；偶 数 个 数 成 等 差，可 设 为 ，3,3ad ad ad ad,（公差为 2d）6.等差数列的性质：（1）当公差0d 时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（4）若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p是非零常数)、*(,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS，也成等差数列，而naa成等比数列；若na是等比数列，且0na，则lgna是等差数列.练一练：等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。（5）在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na）；:(1):奇偶SSkk。练一练：项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数.（6）若 等 差 数 列na、nb的 前n和 分 别 为nA、nB，且()nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.练一练：设na与nb是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba_；(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？练一练：等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；例 7（1）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值（2）等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 解析：（1）答案：C；由 S5S6得 a1+a2+a3+a50，又 S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由 S7S8，得 a8S5，即 a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设 a7=0，a8a k+1对任意大于等于 k 的自然数都成立,若存在求出最小的 k 值,否则请说明理由.一、选择题：ABCCB DABDA 二、填空题：118；123；1324；1421.三、解答题：15分析：应找到原数列的第n 项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。解：设新数列为,4,)1(,3,2,1512511dbbdnbbababbnn有根据则 即 3=2+4d，14d，172(1)44nnbn 1(43)7(1)114nnaann 又，43nnab 即原数列的第 n 项为新数列的第 4n3 项 （1）当 n=12 时，4n3=4123=45，故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项；（2）由 4n3=29,得 n=8，故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。说明：一般地，在公差为 d 的等差数列每相邻两项之间插入 m 个数,构成一个新的等差数列，则新数列的公差为.1md原数列的第 n 项是新数列的第 n+(n1)m=(m+1)nm 项 16解：（1）231a，06a，07a，115060adad 623523d 为整数，4d .（2）)4(2)1(23nnnsn=23)1(2nnn =2nn252=2625)425(22n 当6n时ns最大=78 （3）02522nnsn时，0225 n，故n最大值为 12.17分析：通过解方程组易求得首项和公差，再求an及 Sn；解答的关键在于判断项的变化趋势。解：设等差数列首项为a1，公差为 d，依题意得75156626411dada 解得：a1=20,d=3。2)23320(2)(,233)1(11nnnaaSndnaannn234322nn；120,3,nadan 的项随着 的增大而增大 1202300,3230,3(1)230,(),7,733kkaakkkkZ k设且得且即第 项之前均为负数 123141278914|()()aaaaaaaaaa 1472147SS.18分析：证nS1为等差数列，即证dSSnn111（d 是常数）。解：由已知当2n 时 111111112()1112:2()(2).1(2)211111,32nnnnnnnnnnnnnnSSaSSSSSSnnS SSSdSSa 得是以为首项公差的等差数列。11111536(1)(1)(),(2)32653nnnndnSnSSn 13(1)118(2)182(35)(38)(2)(35)(38)nnnnnaSSnannnnn从而，因此 112580,(32)(35)(38)03,3333,3kkkkaakkkkkkaa令即，可得或。故只需取则对大于或等于 的一切自然数总有成立 这样的自然数存在最小值。
