设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成5621.pdf

1设a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A(a 3)22a2 6a 11 B a21a2 a1a C|a b|1a b 2 D.a 3a 1 a 2a 答案 C 解析(a3)2(2a26a11)a22b 时，恒成立，当 ab 时，不恒成立；由不等式2a3 a10，y0，a R，b R.求证：(ax byx y)2a2x b2yx y.答案 略 证明 因为 x0，y0，所以 xy0.所以要证(axbyxy)2a2xb2yxy，即证(axby)2(xy)(a2xb2y)，即证 xy(a22abb2)0，即证(ab)2 0，而(ab)2 0 显然成立故(axbyxy)2a2xb2yxy.7(2014江苏)已知x0，y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9xy.答案 略 证明 因为 x0，y0，所以 1xy2 33xy20，1x2y 33x2y0.故(1xy2)(1x2y)33xy233x2y9xy.8(2018福建质量检查)若 a，b，c R，且满足a b c 2.(1)求 abc 的最大值；(2)证明：1a1b1c92.答案(1)827(2)略 解析(1)因为 a，b，cR，所以 2abc 33abc，故 abc827.当且仅当 abc23时等号成立 所以 abc 的最大值为827.(2)证明：因为 a，b，cR，且 abc2，所以根据柯西不等式，可得1a1b1c12(abc)(1a1b1c)12(a)2(b)2(c)2(1a)2(1b)2(1c)212(a1a b1b c1c)292.所以1a1b1c92.9(2016课标全国，理)已知函数f(x)|x12|x12|，M 为不等式f(x)2 的解集(1)求 M；(2)证明：当a，b M 时，|a b|1 ab|.答案(1)x|1x1(2)略 解析(1)f(x)2x，x 12，1，12x12，2x，x12.当 x 12时，由 f(x)2 得2x1；当12x12时，f(x)2；当 x12时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1.所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1(2)由(1)知，当 a，bM 时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0，b0，且a b1a1b.证明：(1)a b 2；(2)a2 a2 与 b2 b0，b0，得 ab1.(1)由基本不等式及 ab1，有 ab 2 ab2，即 ab 2.(2)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a0 得 0a1；同理，0b1，从而ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立 11(2018广州综合测试)已知函数f(x)|x a 1|x 2a|.(1)若 f(1)3，求实数a 的取值范围；(2)若 a 1，x R，求证：f(x)2.答案(1)(23，43)(2)见解析 解析(1)因为 f(1)3，所以|a|12a|3.当 a 0 时，得a(12a)23，所以23a 0；当 0a12时，得 a(12a)2，所以 0a12；当 a12时，得 a(12a)3，解得 a43，所以12 a0，n0，且m n 1，求证：2m 12n 1 2 f（x）.答案(1)1，3(2)略 解析(1)方法一：依题意，f(x)4x，x12，2，12 x12，4x，x12 f(x)min2.不等式 f(x)a22a1 恒成立，a22a3 0，解得1 a 3，实数 a 的取值范围是1，3 方法二：f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，f(x)min2.不等式 f(x)a22a1 恒成立，a22a3 0，解得1 a 3，实数 a 的取值范围是1，3(2)由(1)知 f(x)2，2 f（x）2 2.(2m1 2n1)22(mn)22（2m1）（2n1）4(2m1)(2n1)8，当且仅当 mn12时等号成立 2m1 2n1 2 2，2m1 2n1 2 f（x）.1(2017武汉 4 月调研)(1)求不等式|x 5|2x 3|1 的解集；(2)若正实数a，b 满足a b12，求证：ab 1.答案(1)x|7 x13(2)略 解析(1)当 x 32时，x52x3 1，解得 x 7，7 x 32；当32x5 时，x52x3 1，解得 x13，32x13；当 x 5 时，x5(2x3)1，解得 x 9，舍去 综上，7 x13.故原不等式的解集为x|7 x13(2)要证 a b 1，只需证 ab2 ab 1，即证 2 ab12，即证 ab14.而 ab12 2 ab，ab14成立，原不等式成立 2已知函数f(x)m|x 2|，m R，且f(x 2)0 的解集为 1，1 (1)求 m 的值；(2)若 a，b，c R，且1a12b13c m，求证：a 2b 3c 9.答案(1)1(2)略 解析(1)因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m，由|x|m 有解，得 m 0，且其解集为x|m x m 又 f(x2)0 的解集为1，1，故 m1.(2)证明：由(1)知1a12b13c1，又 a，b，cR，由柯西不等式，得 a2b3c(a2b3c)(1a12b13c)(a1a 2b12b 3c13c)29.