高考模拟创新试题分类汇编(数学)1486.pdf

-1-高考模拟创新试题分类汇编（数学）研究高考，最终需要落实到试题的研究上，而试题研究一般为两个方向，一是研究近几年的高考题，二是研究针对相应高考的模拟试题，前者是前奏与方向指导，而后者是综合了前者的具体体现，其中的优秀试题更是如此。基于此点，笔者收录了 2005 年 60 套全国各地的模拟试题，再加上 2004 年 9 月到 2005年 4 月底期刊中的零碎试题共计 2400 道，对其进行了筛选与归类。在此过程中，笔者认识到，优秀试题一般有三个先决条件：一是以能力立意，表现为很难单独地判断考查的是什么知识，而是在边缘知识上命题，是对数个知识的“串门”综合；二是蕴涵了一定的数学思想，不是简单的知识累计，这些常常通过学生易犯的典型错误或一题多解来体现；三是源于教材而又高于教材，其中的“高”不是无休止地向“广”或“深”（俗称“深挖洞”，这是区分高考与竞赛题的重要标志）单方面开拓，而是更加突出“新”意（主要是结构形式新或背景紧跟时代）、“平”意（主要是平常生活中常见、常用及知识上不超纲）。这三个条件中，创新是试题的核心，这也正应了“知识有纲、能力无纲”的“遵循教学大纲又不拘泥于大纲”的近年一再提倡的高考政策，所以以创新为基准对试题进行了说明与分类汇编。一，集合简易逻辑与不等式（复数）一，考纲要求及分析 1，集合与简易逻辑：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.集合是大学当中第一遇到的内容，也是现代数学的基础，因此，中学阶段集合上的能力更重要的是作为一种思想的渗透。而集合的思想方法又主要体现为：一是理论上的思想渗透（这不是高考命题的范畴），二是集合与其他知识如简易逻辑的类比性渗透（这也难于化到高考命题的范围），三是集合本身内含了博大精深的思想，而这又是高中阶段能解决又能反应能力的地方，具体又表现为三点：集合表示方法间的转化蕴涵了数学解题的原则性思想：图示法直观化符号表示法属性描述法文字描述法具体化列举法简单化熟悉化 ;有限集合元素个数确定的容斥原理（该部分在教材中处于阅读内容，它可以用初中及小学的解方程法加以解决，也可以用高中的容斥原理）；集合的运算更多情况下是自定义的；集合与方程或不等式同解性联系（这一部分通常以其他知识的面貌出现，如：“求的解集”等等）。充要条件的题一般有三种类型：一，传统的判断形：“判断 A 是 B 的条件”，它常常以选择题的形式出现；二是“证明 A 的条件是 B”的证明型；三是“找出 A 的条件，并证明”的开放型。后二者在高考中很少见到。2，不等式：理解不等式的性质及其证明掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.掌握简单不等式的解法.理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|。从考题上而言，能力的反应变化为，在解法上由原来的等价转化（穿根法）更推进一步，出现了可以用图象法并结合其他知识的解题这一原来认为是特殊技巧的解法的试题，以此来 -2-体现创新能力。3，复数：这是限于理科的内容，考试要求为：了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.该部分降低要求，重心自然也放在基本的代数运算上。将这几部分结合在一起，是因为集合中的事例常常是通过不等式解集来体现，试题中也最容易体现此点；而复数也可以看作是由于数集的推广得到的。二，例题简析 例 1，不等式 e|lnx|x2-2 的解集为_（数理天地2005年第 4 期 P18）分析：将不等式转化为等价的有理不等式组，为此需要去掉绝对值符号，而lnx0 x1，此时 e|lnx|=elnx=x；同理得出 lnx0的隐含条件。解：原不等式等价于212xxx 或2102xxx,的解为 1 x2;的解为0 xa），第一次、第二次称得的药物分别为 x,y 克，则：10b=xa,yb=10a,从而 m=x+y=ab10+ba102baab1010=20,等号成立当且仅当ab10=ba10当且仅当a=b ab m20 克 填 说明：该题容易看不懂题意，凭感觉“药店不吃亏”而错填2qp,选 D。-3-说明：不等式222qp 2qp 反应了平方和与和的大小关系，是教材中的一个习题，用它可以解决许多问题，该题给我们的启示是，“应将之视作一个基本不等式对待”。例 4，任意两正整数 m、n 之间定义某种运算，mn=异奇偶）与同奇偶）与nmmnnmnm(,则集合M=(a,b)|ab=36,a、bN+中元素的个数是_（金良.考试2004（11）P25）解：a、b 同奇偶时，有 35 个；a、b 异奇偶时，有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、(36,1)6 个，共计 41 个。填 41。说明：定义运算是数学学习到一定程度的抽象产物，它给我们的启示是：集合间的运算并非仅教材上提及的几个简单运算，多数情况下是自定义的。试题汇编 一，单项选择题 1，已知 M=y|y=x2，N=y|x2y2=2，则 MN=()A、(1，1)，(1，1)B、1 C、0，1 D、0，2（湖南示范）2，（理）设复数 z=ii11+(1+i)2,则(1+z)7展开式的第五项是（）A,-21 B,35 C,-21i D,-35i (金榜园模拟 3)（文）不等式|x|x2的解集是（）A,(-，0)B,2 C,(-，0),2 D,20,2 (武汉 4 月调研)3，函数 y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧（如图），则不等式 f(x)f(-x)+x的解集为（）-1-111第3题图yx A,x|-552x0或552x1 B,x|-1x-552或552x1 C,x|-1x-552或552x1 D,x|-552x552且 x 0 -4-（浙江路桥中学.中学教研.2005（4）P47）4，集合 P=1,4,9,16,若 a P，b P，有 a b P，则运算可能是（）A，加法 B，减法 C，除法 D，乘法 （燕园冲刺三）5，设 x、y、a、bR，且 x2+y2=4,a2+b2=1,则 S=ax+by 的最值情况是（）A,最大值为 5/2，无最小值 B,最大值为 2，最小值为-2 C，最大值为 5/2，最小值为-5/2 D，以上都不对 （燕园冲刺二）6（文）小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以可以从以下方案中任选其一：方案一，按使用面积缴纳，4 元/米2；方案二，按建筑面积缴纳，3 元/米2。李明家的使用面积是 60 米2，如果他家选择方案二缴纳费用较少，那么他家的建筑面积最大不超过（）米2 A，70 B，80 C，90 D，100（燕园冲刺三）（理）某商店某种货物的进价下降了 8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率（%100进价进价销售价）由原来的 r%增加到(r+10)%,则 r=()A,12 B,15 C,20 D,25 (名校联考)7，ab,dc 且(c-a)(c-b)0，则 a、b、c、d 的大小关系是（）A,dacb B,acbd C,adbc D,adc1b0),则 f(x)0 的解集为(1,+)的充要条件是（）A,a=b+1 B,ab+1 D,b=a+1 （黄冈模拟）9，设集合 I=1，2，3，AI,若把集合 MA=I 的集合 M 叫做集合 A 的配集，则 A=1，2的配集有（）个 A，1 B，2 C，3 D，4 （黄爱民，胡彬中学生学习报2005模拟一）10（文）设 a1a2a3,b1b2b3为两组实数，c1,c2,c3为 b1,b2,b3的任一排列，设P=a1b1+a2b2+a3b3,Q=a1b3+a2b2+a3b1,R=a1c1+a2c2+a3c3则必有()A,PQR B,RPQ C,PRQ D,QRP (唐山一模)（理）设 2 是第二象限的角，则复数(tan+i)(1+icot)对应的点位于复平面内的第（）象限 A一 B二 C三 D四 （唐山二模）11，有一个面积为 1 米2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是（）米 A,4.7 B,4.8 C,4.9 D,5(石家庄二模)12，（文）设全集UR，集合2|2xxxM，Rx，21|xxN，Rx则NMCU)(等于（）A 2 B 31|xx C x|x2，或 2 x3 D 21|xx或32 x（北京四中模三）-5-（理）不等式组axax2412，有解，则实数a的满足的取值范围集合是（）A （-1，3）B （-3，1）C （-，1）（3，）D （-，-3）（1，）（天星教育）二，填空题 13，（文）不等式xax+23的解集为(4,b),则 a.b=_（胡明显.考试2005（4）P20）（理）已知三角形 ABC中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，满足 an+bn=cn(n2),则三角形 ABC一定是_三角形(按角分类)（全国联考）14（文）已知集合 P（x，y）|ym，Q（x，y）|y1xa，a0，a1，如果 PQ 有且只有一个元素，那么实数 m 的取值范围是_（北京四中模二）（理）定义在-1，1上的奇函数 f(x)单调增，且 f(-1)=-1,若 f(x)t2-2at+1 对一切 x 及 a-1,1恒成立，则 t 的取值集合是_(北京海淀)15，设含有集合A=1,2,4,8,16中三个元素的集合A 的所有子集记为B1,B2,B3,Bn(其中 n N*),又将 Bk(k=1,2,n)的元素之和记为 ak,则nkka1=_（江苏常州模拟）16，下列 4 个命题：命题“若 Q 则 P”与命题“若非 P 则非 Q”互为逆否命题；“am2bm2”是“a1(a0且 a 1)的解集为x|-ax2a;命题 Q：y=lg(ax2-x+a)的定义域为 R。如果 P 或 Q 为真，P 且 Q 为假，求 a 的取值范围（根据吉林质检与邯郸一模改编）18，（文）定义在 D 上的函数 y=f(x)对于 x1,x2D,有|f(x1)-f(x2)|1,则称 y=f(x)是漂亮函数，否则称非漂亮函数。问 f(x)=x3-x+a(x-1,1)是否为漂亮函数，是证明之，否则说明理由。（安振平.数学大世界.2005（4）P9）（理）设 f(x)=ax2+bx+c，若 f(1)=27,那么是否存在 a,b,c，使得不等式 x2+21f(x)-6-2x2+2x+23对一切实数 x都成立，存在求出 f(x)解析式，不存在说明理由（周友良.高中数理化2005年（1）19，从甲到乙的运煤铁路专线，车速由原来的 100km/h提高到 150km/h，相邻两列火车的车距（车头与前一列车尾的距离）由原来的 9 倍车长提高到现在的 11 倍车长，则此次提速运煤效率（单位时间内的运输量）提高了多少？（辛民.数学通讯2004（13）P21）20，已知 a、b 是正常数，ab,x,y(0,+)，求证：xa2+yb2yxba2)(，指出等号成立的条件；利用的结果，求函数 f(x)=x2+x219(x(0,21)的最小值，并求出相应的x 的值。(中学数学教学参考2005（3）P25)21（文）某公司生产的品牌服装年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件，需另投入 1.9万元，设 R（x）（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，R(x)=)10(3200)100(301103xxxx,其中x 是年产量（单位：千件）写出利润 W 与年产量 x 的函数解析式 年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大？（唐山二模）（理）某城市 2001年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（北京四中专题讲座）22，（文）关于 x 的不等式 22x-41时，切线过点)0,(11nnap；即)(011nnknknaakaa得11kkaann，所以数列 na是首项为1kk,公比为1kk的等比数列，nnkka1,*Nn（4 分）(2)nnnkkka)111()1(nnnnnnkckckcc)11()11(112210 111110knkccnn(3)设nnnananaaS121121则1321211nnnananaaSkk两式相减，得nnnnaaaanaaaSkk111111)11(21121，kkSkkkkkkkSknnn2111)1(1 11 说明：该题结合了解析几何、数列、导数、不等式等诸多知识，综合性较强；解答时需要较强的思维能力与坚持不懈的精神，而将数列与导数结合一起是一种创新。例 4，定义在实数集上的偶函数 f(x),满足 f(x+2)=f(x),且 f(x)在-3,-2上单调减，又、是锐角三角形的三个内角，则（）A,f(sin)f(sin)B,f(cos)f(cos)D,f(sin)/2，/2 /2-sin sin(/2-)=cos,于是 f(sin)f(cos),选 C.说明：该题虽小，但综合了三角、函数的有关知识，解法上也用到了转化与数形结合的思想。试题汇编 一，单项选择题 1，函数 y=f(x)是偶函数，当 x0时，f(x)=x+x4,且当 x-3,-1时，n f(x)m,则m-n的最小值为（）A,1/3 B,2/3 C,1 D,4/3(郑州质检)2，设 f(x)=|log3x|,若 f(x)f(27)，则 x 的取值范围是（）A,(0,72)(1,27)B,(27,+)C,(0,72)(27,+)D,(72,27)(湖南示范)3，（文）已知 f(x)=x3+1,则xfxfx)2()32(lim=（）A,4 B,12 C,36 D,39 (邯郸一模)（理）m,n 是正整数，则11lim1nmxxx=（）A,0 B,1 C,nm D,11nm（文谱一模）4,直角梯形 ABCD 中，P 从 B 点出发，由 BCDA 沿边缘运动，设 P 点运动的距离是 x,ABP 的面积为 f(x)，图象如图，则ABC 的面积为()ABCD04914 A,10 B,16 C,18 D,32 (高慧明中学生数理化2005（3）P28)5,平移抛物线 x2=-3y,使其顶点总在抛物线 x2=y 上，这样得到的抛物线所经过的区域为（）A,xOy 平面 B,y21x2 C,y-21x2 D,y-21x2（同一套题一模）6，某大楼有 20 层，有 19 人在第一层上了电梯，他们分别要去第 2 层到 20 层，每层一人，而电梯只允许停一次，可只使一人满意，其余 18 人都要上楼或下楼。假设乘客每向下走一层不满意度为 1，每向上走一层不满意度为 2。所有人不满意之和为 S，为使 S 最小，电梯应停在第（）层。-10-A,15 B,14 C,13 D,12 （燕园冲刺）7（文）函数 f(x)=bbxxa|22(0ab)的图象关于（）对称 A,x 轴 B,y 轴 C,原点 D,直线 y=x (理)函数 f(x)=|22cxbxxa(0ab1,对于实数 x,y 满足:|x|-logay1=0,则 y 关于 x 的函数图象为（）（石家庄一模）9(文)已知函数 f(x)=log2x 的反函数为 f-1(x),若 f-1(a)f-1(b)=4,则 a+b=()A,21 B,1 C,2 D,4(理)已知函数 f(x)=log2x 的反函数为 f-1(x),若 f-1(a)f-1(b)=4,则 a2+b2的最小值为()A,21 B,1 C,2 D,4 （江西吉安二模）10，设 y=f(x)是一次函数，f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列，则nkkf1)2(=（）A,n(2n+3)B,n(n+4)C,2n(2n+3)D,2n(2n+4)(石家庄一模)11，a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列，公比为 q,则 q+q2+q3=()A,1 B,2 C,3 D,4（中国考试.2005高考专刊模二）12（文）数列an前 n 项和为 Sn=3n-2n2，当 n2 时，下列不等式成立的是（）A,na1Snnan B,Snna1nan C,nanSnna1 D,Snnanna1(北京东城练习一)（理）有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量增长率为 150%，以后每年的增长率是前一年的一半；同时，由于设备不断老化，每年将损失年产量的 10%。则年产量最高的是改进设备后的第（）年。A,1 B,3 C,4 D,5 (名校联考)二，填空题 13（文）某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：存期 1 年 2 年 3 年 5 年 年利率（%）2.25 2.4 2.73 2.88 某人在该段时间存入 10000 元，存期两年，利息税为所得利息的 5%。则到期的本利和为_元。（按石家庄质检改编）（理）nlim(112nn+an+b)=3,则 a+b=_（湖南示范）-11-14，设 f(x)=|x|x+bx+c,给出下列命题中，所有正确的命题序号是_ b=0,c0 时，f(x)=0 仅有一个根；c=0 时，y=f(x)为奇函数；y=f(x)的图象关于点(0,1)对称；f(x)=0 至少有两个实数根。（燕园冲刺二）15（文）在等比数列an中，a7a11=6,a4+a14=5,则1020aa=_（黄冈模拟）（理）已知数列an各项为正数，前 n 项和为 Sn,有 Sn=61(an+1)(an+2),若 a2,a4,a9成等比数列，则 an=_ （邯郸一模）16，已知 f(x)=ax(xR),部分对应值如表所示 x-2 0 2 f(x)0.694 1 1.44,则不等式 f-1(|x-1|)0 的解集是_ （湖北八校）三，解答题 17，如图，周长为 16 米的篱笆借助一个墙角围成一个矩形 ABCD，在矩形内的一点 P处是一棵树，树距离两墙分别为 a、4 米(0ax1F(x1+x2),f(x2)x2F(x1+x2),并判断 f(x1)+f(x2)f(x1+x2)是否为 F(x)在正实数集上递减的必要条件；将中的结论推广到任意有限个，写出一个结论，不必证明 （郑州质检）（理）已知函数 f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足 f/(x)=0 的所有正数 x 从小到大排成一个数列xn;证明：数列xn等比；记 Sn为数列xnf(xn)的前 n 项和，求 S=nSnkkn1lim的值 （陈东明.试题与研究2005（14）P17-18）19,已知 f(x)是定义在实数集上恒不为 0 的函数，对任意实数 x,y，f(x)f(y)=f(x+y),当 x0时，有 0f(x)0 且 a1)的图象上（nN*）记 Sn为an的前 n 项和，当 a=3 时，求193limnnS的 -12-值；是否存在正整数 M，使得当 nM 时，an1 恒成立？证明你的结论。（吉安二模）21（文）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款 500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于 2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷建行偿贷款形式（年利率 5，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费 18 万元其余部分全部在年底还建行贷款（1）若公寓收费标准定为每生每年 800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）（参考数据：lg1.73430.2391，lgl.050.0212，81.051.4774）（理）某地区发生流行性病毒传染，居住在该地的居民必须服用一朝药物预防，规定每人每天早晚 8 时各服一片。现知该药片每片含药量为 220毫克，若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药物的 60%，在体内残留量超过 386毫克，就将产生负作用。某人上午 8 时第一次服药，问到第二天上午 8 时，这种药物在体内还残留多少？长期服用这种药的人会不会产生负作用？（中学数学教学参考2005（4）P42）22(文)如图，一个粒子在区域(x,y)|x0,y0上运动，在第一秒内它从原点运动到B1(0,1)点，接着按图中箭头所示方向在 x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒运动一个单位长度。设粒子从原点到达点 An、Bn、Cn时，所经过的时间分别为 an、bn、cn，试写出三者的通项公式；求粒子从原点到点 P(16,44)时所需要的时间；粒子从原点开始运动，求经过 2004秒后，它所处的位置（中学数学教学参考2005（4）P42）（理）设 A(x1,y1),B(x2,y2)是 函 数 f(x)=21+log2xx1图 象 上 任 意 两 点，且OM=21(OA+OB),点M 的横坐标为21 求证M 点的纵坐标为定值；若Sn=)(11ninif,nN*,且 n 2，求 Sn;已知 an=)2()1)(1(1)1(321nSSnnn nN*,Tn为数列an 的前 n 项和，若 Tnf(c.d)(毛仕理.数理天地.2005（4）.P19)解：由已知 f(x)关于 x=1对称，而 a.b=2sin2x+1=2-cos2x1,c.d=cos2x+21,f(a.b)f(c.d),当二次项系数为正时，f(x)在 x 1 上单调增，a.b c.d，cos2x0,x 0,解集为x|4x43;同理，当二次项系数为负时，解集为,434,0 -14-例 3，设两个向量 e1、e2，满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为 60，若向量 2te1+7te2与向量 e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围（邯郸一模）解：由已知得(2te1+7te2).(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1e2+7te22=2t2+15t+7欲使夹角为钝角，需071522tt得 217t又 2te1+7te2与向量 e1+te2不能反向，假设二者反向，设 2te1+7te2=（e1+te2）（0,0)在区间0，/上截直线 y=4与 y=-2所得的弦长相等且不为 0，则下列描述中正确的是（）A,N=1,M3 B,N=1,M3 C,N=2,M3/2 D,N=2,M3/2（吉安一模）5，已知-/2 /2,且 sin+cos=a(0,1),则关于 tan 的值可能正确的是（）A,-3,B,3或 1/3 C，-1/3 D，-3 或-1/3 （燕园冲刺三）-15-6（文）已知 为一个三角形的最小内角，cos=11mm,则 m 的取值范围是（）A,m3 B,3m7+43 C,m-1 D,3m7+43或 m0),AP=tAB(0t 1),O为坐标原点，则|OP|的最大值为（）A,23a B,22a C,21a D,a(黄爱民，胡彬中学生学习报模一)12,ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则 C=（）-16-A,/6 B,5/6 C,/6 或 5 /6 D，/3 或 2 /3（湖北八校）二，填空题 13，有两个向量 e1=(1,0),e2=(0,1),今有点 P，从 P0(-1,2)开始沿着与向量 e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|e1+e2|;另一个动点 Q,从 Q0(-2,-1)开始沿着与向量 3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|。设 P、Q 在时刻 t=0 秒时分别在 P0、Q0处，则当PQ00QP时，t=_秒。（名校原创信息卷）14（文）直角三角形的斜边为 2cm,则其内切圆面积的最大值为_cm2（唐山二模）（理）定点 A(4,0)与圆 x2+y2=4 上动点 B，则满足条件OA+OB=2OP的点 P 的轨迹方程为_（石家庄一模）15，将函数y2x的图像按向量a平移后得到函数y2x6 的图像，给出以下四个命题：a的坐标可以是（-3.0）；a的坐标可以是（0，6）；a的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；a的坐标可以有无数种情况，其中真命题的序号是_（北京四中一模）16（文）ABC中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则 acosC+ccosA=_（杭州质检）（理）x 为实数，f(x)为 sinx与 cosx中的较大者，设 a f(x)b,则 a+b=_(杭州质检)三，解答题 17（文）设三角形 ABC的三个内角 A、B、C 对边分别为 a、b、c，C=600，acosB=bcosA,且AB=4i+43j,其中 i、j 分别为互相垂直的单位向量，求ABC的面积（石家庄一模）（理）ABC中，三个内角 A、B、C 对边分别为 a、b、c，且BCc osc os=bca 3，求 sinB;若 b=42，a=c求ABC的面积（吉林质检）18（文）已知 f(x)=)24sin(cos2xx，求 f(x)的单调减区间 画出 f(x)在-/2,7/2之间的图象（石家庄一模）（理）已知电流 I 与时间 t 的关系式为：I=Asin(t+)（0,|/2）,如图是其在一个周期内的图象 -17-求 I的解析式 若 t在任意一段 1/150秒的时间内,电流 I都能取得最大、最小值，那么 的最小正整数是多少？（中学数学教学参考2005（1 2）期 P48）19,ABC中，若3BCAB=2CABC=ABCA，求 cosA(杭州质检)20，某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形 PQRS为一水池，其余地方种花，若 BC=a,ABC=，ABC 的面积为 S1，正方形 PQRS 的面积为 S2 用 a,表示 S1和 S2 当 a 固定，变化时，求21SS取得最小值时的 （中学数学教学参考2005（1 2）期 P50）BQRCAPS 21，平面直角坐标系中，A(-3,0),B(3,0),动点 P 在曲线 E 上运动，且满足|PA|+|PB|不变，设(PA,PB)=，cos 有最小值-1/2 求 E 的方程 过 A 作斜率为 k 的直线与曲线 E 交于 M、N 两点，求|BM|.|BN|的最小值和相应的 k 值（吉安二模）22（文）已知向量 a=(1+cos,sin),b=(1-cos,sin),c=(1,0),(0,),(,2),(a,c)=1,(b,c)=2,1-2=6,求 sin4的值（杨志文考试2005（3）（理）m=(1,1),(n,m)=43,mn=-1,求 n 若(n,q)=2,q=(1,0),p=(cosA,2cos22C),其中 A、B、C 为ABC 的内角，A、B、C 依次成等差数列，求|n+p|的取值范围（中学数学教学参考2005（1 2）期 P49）计数原理、二项式定理、概率统计 一，考纲要求与分析 1，计数原理、二项式定理、概率考纲多年要求一致：理解排列、组合的意义，掌握分类记数原理、分步记数原理、排列数公式、组合数公式及性质，并能用它们解决一些简单问题;掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题;会计算一些等可能事件、互斥事件、独立事件及独立重复实验发生次数的概率。相应试题以简单、中等题为主，且将保持一定的稳定，创新也与主要在题“活”上下功夫。2，统计，该部分由于教材差异，考纲文理要求也不尽一致：会用样本的频率分布估计总体分布文理科要求一致，抽样方法在分层抽样上也要求会的层次。而简单随机抽样、系统 -18-抽样理科要求会用，文科不作要求；理科要求会求简单的离散型随机变量分布列及期望、方差，文科仅仅要求会用样本估计总体的期望与方差（实质是初中阶段的内容）。体现一定的文理差异，且各种语言都出现是该处创新题立意的基本点。二，例题简析 例 1，设an是等差数列，从a1,a2,a20中任取 3 个不同的数，使这 3 个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）个 A，90 B，120 C，180 D，200 （杭州质检）解方法一分类列举法：3 项相邻的有(a1,a2,a3),(a2,a3,a4),(a18,a19,a20)18 个；相隔一项的有(a1,a3,a5),(a2,a4,a6),(a16,a18,a20)16 个；相隔二项的有(a1,a4,a7),(a2,a5,a8),(a14,a17,a20)14 个；.,相隔八项的有(a1,a10,a19),(a2,a11,a20)2 个，共有 18+16+2=90 个；又由于每个中第一、第三项可以互换，如(a1,a2,a3)变为(a3,a2,a1)也满足要求，故有 902=180个，选 C 方法二分析符号法：三个数 a,b,c 等差，b 是 a,c 的等差中项，只要确定 a,c 后，b 也就确定。a,c 取法必须同为奇数项或同为偶数项，有 A210+A210=180 个，选 C 说明：该题以数列形式出现，方法二分析数列性质再计算比较简单，通过先思后算来体现思维能力，实现了算中有思，思中有算的交融。例 2，由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,定义映射 f:(a1,a2,a3,a4)(b1,b2,b3,b4),则 f(4,3,2,1)=()A,(1,2,3,4)B,(0,3,4,0)C,(-1,0,2,-2)D,(0,-3,4,-1)(胡彬理科考试研究2005.6)解：该题的题意是 a1=4,a2=3,a3=2,a4=1 时，等式为 x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 从而产生两个基本思路 思路一待定系数法 x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)4-3x2-2x=(x+1)4-3(x+1)2+4(x+1)-1,选 D 思路二赋值法为恒等式，x=-1 时成立，-1=b4,对照答案选 D 说明：该题通过不同思路来体现不同的思维品质 例 3，在某次投球游戏中，规定每 10 位选手投球 10 次，记分规则是，投进一球得 3 分，否则得 0 分，并且参赛选手一律加 2 分。某选手投进球的概率为 0.8 求该选手在比赛中得分的分布列 求该选手得分的期望与方差（邯郸一模理科）解：设投进为 k 次，则得分为=3k+2 kB(10,0.8),有 2 5 8 11 32 k 0 1 2 3 10 p C0100.210 C1100.8.0.29 C2100.82.0.28 C3100.83.0.27 C10100.810 Ek=100.8=8 Dk=100.80.2=1.6 E=3Ek+2=26,D=32Dk=14.4 说明：教材中对于变量有线性关系:如果=a+b,则 E=aE+b,D=a2D,但其应用在中学却鲜为人所研究，其实此公式可以简化计算过程，将不熟悉的、复杂的数据转化为熟悉的、简单的数据加以计算。该题的新意正在于此。试题汇编 一，单项选择题 1，从 10 双不同的鞋中，任取 8 只，恰有 2 双成对的鞋的取法有（）种 A,50400 B,3150 C,12600 D,25200（数理天地2005（4）P18）2,（文）(1-3x+2y)n展开式中，不含 y 项的系数和为（）A,2n B,-2n C,(-2)n D,1 (湖南师范)（理）(x2+4x+2)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a12(x+12)12,则 a2+a4+a6+a12=()-19-A,-1 B,0 C,63 D,64 (鲁和平.数理天地2005（4）P18)3,假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1 p，且各引擎是否有故障是独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行，要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全，则 p 的取值范围是()A、)1,32(B、)1,31(C、)32,0(D、)31,0(湖南师范)4,用 1，2，3，4 这四个数字，组成比 2000 大，且无重复数字的四位数的概率是（）A,1/4 B,1/2 C,3/4 D,1/3 (郑州质检)5，通讯中常用重复法信号的办法减少在接收中可能发生的错误。假设发报机只发 0 和1 两种信号，接收时发生错误是 0 收为 1 或 1 收为 0 的概率都是 0.05，为减少错误，采取每种信号连发 3 次，接收时“少数服从多数”原则判断，则判断错一个信号的概率是（）A,0.002375 B,0.007125 C,0.00725 D,0.0025 （北京东城练习一）6（文）从 1,2,3,9 这 9 个数中，随机取 3 个不同的数，则此三个数和为奇数的概率是（）A,4/9 B,5/9 C,11/21 D,10/21(中国考试.2005高考专刊模二)（理）在一次实验中，事件 A 发生的概率为 p（0p1）,设在 k 次独立重复实验中，事件 A 发生 k 次的概率记为 pk,则nkkp1=（）A,1 B,1-(1-p)n C,pppn11 D,np (中国考试.2005高考专刊模二)7,甲、乙、丙、丁与小强一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁只赛了 1 盘，则小强已经赛了（）A4 盘 B3 盘 C2 盘 D1 盘 (北京四中模二)8（文）为估计水库中的鱼的尾数，可以用下列方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如 2000 尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库；经过适当时间再从水库中捕出一定数量的鱼，例如 500 尾，有记号的鱼为 401 尾。根据以上数据，估计水库中的鱼有（）尾 A,2000 B,8000 C,20000 D,25000 （唐山二模）（理）若随机变量 的分布列如下表，则E 的值为（）0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A 181 B 91 C920 D 209 （北京四中模一）9，6 名学生中，3 人会独唱，5 人能跳舞，从 6 名学生中取 3 人，使这三人能排演由 1人独唱，2 人拌舞的概率为（）A,4/5 B,2/5 C,9/10 D,19/20（唐山二模）10,（文）对某新产品有 5 件不同的正品和 4 件不同的次品一一进行检测，直到区分出所有的次品为止；若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有（）种。A,20 B,96 C,480 D,600 （潍坊统考）（理）所有的三位数中，各位数字按严格递增（如 145）或严格递减（如 321）顺序排列的个数为（）A,120 B,168 C,204 D,216 （名校联考）11 甲、乙二人抛掷均匀的硬币，其中甲掷 n+1 次，乙掷 n 次，甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率是（）A,1/3 B,1/4 C,1/2 D,1/5（高中数理化05P23）12,如果(3lnx-1)n(nN*)的展开式中各项系数和为 128，则展开式中 ln2x 项的系数为（）A,189 B,252 C,-189 D,-252 (吉安二模)二，填空题 13（文）两人相约 9 点到 10 点在一个地点会面，早到的人要等到 20 分钟才可以离开，则两人会面的概率为_（屠庆丰中学教研2004(10)P13）-20-（理）A、B 各有 6 个球的箱子，其中 A 有 x 个红球、y 个白球、其余是黄球，B 有 3个红球、2 个白球、1 个黄球，两人各自从自己箱子中任意取一个球比颜色，规定同色时为A 胜，异色时为 B 胜。A 要使自己获胜的概率最大，其箱子内球的颜色情况应该是_（黄冈模拟）14（文）定义“n 的双阶乘 n!”如下：当 n 为偶数时 n!=246(n-2)n;当 n 为奇数时，n!=135(n-4)(n-2)n。现有下列命题：2004!.2003!=2004!;2004!=21002.1002!;2004!个位数字为 0；2003!个位数字是 5。其中真命题的序号是_ （金榜园模三）（理）质点从原点出发，当投下的均匀硬币出现正面时，质点沿