高中数学常用公式及结论11983.pdf

1 高中数学常用公式及结论 必修 1 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素|元素的特征，例如,5|Nxxx且 2、常用数集及其表示方法（1）自然数集 N（又称非负整数集）：0、1、2、3、（2）正整数集 N*或 N+：1、2、3、（3）整数集 Z：-2、-1、0、1、（4）有理数集 Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集 R：全体实数的集合（6）空集：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于，不属于 例如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 aA 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（1）子集的概念 如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如图 1)，记作BA 或AB.若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，记作QP （2）真子集的概念 若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集(如图 2).AB或BA.（3）集合相等：若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B.BAABBA,5、重要结论（1）传递性：若BA，CB，则CA （2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个(即不计空集)；非空的真子集有2n2 个.7、集合的运算：交集、并集、补集（1）一般地，由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集 记作 AB（读作A 交 B），即 AB=x|xA，且 xB B A A,(图 1)或 B A(图 2)AB 2（2）一般地，对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作 AB（读作A 并 B），即 AB=x|xA，或 xB （3）若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不属于 A 的元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作ACU,A,U|ACUxxx且 注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。8、映射观点下的函数概念 如果 A，B 都是非空的数集，那么 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做 A 到 B 的函数，记作 y=f(x)，其中 xA，yB.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域，象的集合 C（CB）叫做函数 y=f(x)的值域.函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数”，有时简记作函数 f(x).9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如3122xxy 00 xx 10、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）分式的分母不为零；01,11:xxy则如 偶次方根的被开方数大于或等于零；05,5:xxy则如 对数的底数大于且不等于；10),2(log:aaxya且则如 对数的真数大于；02),2(log:xxya则如 指数为的底不能为零；xmy)1(:如,则01m 11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足)()(xfxf，奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满足)()(xfxf，偶函数的图象关于 y 轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;若奇函数在原点有定义,则0)0(f 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当21xx 时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是增函数，图象从左到右上升；当21xx 时，都有)()(21xfxf，则)(xf在该区间上是减函数，图象从左到右下降。函数)(xf在某区间上是增函数或减函数，那么说)(xf在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间 13、一元二次方程20axbxc(0)a （1）求根公式:aacbbx2422,1 （2）判别式：acb42（3）0时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。（4）根与系数的关系韦达定理:abxx21，acxx21 14、二次函数：一般式cbxaxy2(0)a；两根式)(21xxxxay(0)a AB A 3（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）对称轴方程为：x=ab2；（3）当0a时，图象是开口向上的抛物线，在 x=ab2处取得最小值abac442 当0a时，图象是开口向下的抛物线，在 x=ab2处取得最大值abac442（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。15、函数的零点 使0)(xf的实数0 x叫做函数的零点。例如10 x是函数1)(2 xxf的一个零点。注：函数 xfy 有零点 函数 xfy 的图象与x轴有交点 方程 0 xf有实根 16、函数零点的判定：如果函数 xfy 在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf。那么，函数 xfy 在区间ba,内有零点，即存在 0,cfbac使得。17、分数指数幂（0,am nN，且1n）（1）nmnmaa.如233xx；(2)nmnmnmaaa11.如2331 xx；（3）()nnaa；（4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.18、有理指数幂的运算性质（Qsra,0）（1）srsraaa；（2）rssraa)(；（3）rrrbaab)(19、指数函数xay（0a且1a），其中x是自变量，a叫做底数，定义域是 R 1a 10 a 图 象 性 质（1）定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1（4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数 x y 0 x y 0 1 x y 0 1 4 20、若Nab，则 叫做以 为底N的对数。记作：bNalog（1,0aa，0N）其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。注：指数式与对数式的互化公式：logbaNbaN(0,1,0)aaN 21、对数的性质（1）零和负数没有对数，即Nalog中0N；（2）1 的对数等于 0，即 01loga；底数的对数等于 1，即1logaa 22、常用对数Nlg：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：NNlglog10 自然对数Nln：以 e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记为：NNelnlog 23、对数恒等式：NaNalog 24、对数的运算性质（a0，a1，M0，N0）(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR （注意公式的逆用）25、对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论或1loglogabba；loglogmnaanbbm.26、对数函数xyalog（0a，且1a）：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是),0(1a 10 a 图像 性质 定义域：(0,)值域：R 过定点（1，0）增函数 减函数 取值范围 0 x1 时，y1 时，y0 0 x0 x1 时，y 0 时，有22xaxaaxa.小于取中间 22xaxaxa或xa.大于取两边(2)、解一元二次不等式)0(,02acbxax的步骤：求判别式 acb42 0 0 0 求一元二次方程的解：两相异实根 一个实根 没有实根 画二次函数cbxaxy2的图象 结合图象写出解集 02cbxax解集 12xxxxx或 abxx2 R 02cbxax解集 21xxxx 注：02cbxax)0(a解集为 R 02cbxax对Rx恒成立 0（3）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)（4）分式不等式：先移项通分，化一边为 0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。如解分式不等式11xx：先移项;011xx 通分;0)1(xxx 再除变乘0)12(xx，解出。87、线性规划：（1）一条直线将平面分为三部分（如图）：（2）不等式0CByAx表示直线0CByAx 某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不 等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如 直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1，0）。（3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数z，最大的为最大值。直线 14 选修 1-1 88、充要条件 （1）若pq，则p是q充分条件，q是p必要条件.（2）若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.89、逻辑联结词。“p 或 q”记作：pq;“p 且 q”记作：pq;非 p 记作：p 90、四种命题：原命题：若 p，则 q 逆命题：若 q，则 p 否命题：若p，则q 逆否命题：若q，则p 注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系；（2）p 是指命题 P 的否定，注意区别“否命题”。例如命题 P：“若0a，则0b”，那么 P 的“否命题”是：“若0a，则0b”，而p 是：“若0a，则0b”。91、全称命题：含有“任意”、“所有”等全称量词（记为）的命题，如 P：0)1(,2xRx 特称命题：含有“存在”、“有些”等存在量词（记为）的命题，如 q：1,2xRx 注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如上述命题 p 和 q 的否定：p：0)1(,2mRm，q：1,2xRx 92、椭圆 定义：若 F1，F2是两定点，P 为动点，且aPFPF221(a为常数)则 P 点的轨迹是椭圆。标准方程：焦点在 x 轴:12222byax)0(ba；焦点在 y 轴:12222bxay)0(ba；长轴长=a2，短轴长=2b 焦距：2c 恒等式：a2-b2=c2 离心率：ace 93、双曲线 定义：若 F1，F2是两定点，aPFPF221（a为常数），则动点 P 的轨迹是双曲线。图形：如图 标准方程：焦点在 x 轴:12222byax)0,0(ba 焦点在 y 轴:12222bxay)0,0(ba 实轴长=a2，虚轴长=2b，焦距：2c 恒等式：a2+b2=c2 离心率：ace 15 渐近线方程：当焦点在 x 轴时，渐近线方程为xaby；当焦点在 y 轴时，渐近线方程为xbay 等轴双曲线：当ba 时，双曲线称为等轴双曲线，可设为22yx。94、抛物线 定义：到定点 F 距离与到定直线l的距离相等的点 M 的轨迹是抛物线（如左下图 MF=MH）。图形：方程 )0(,22ppxy 22,(0)ypx p 22,(0)xpy p 22,(0)xpy p 焦点：F)0,2(p F(,0)2p F(0,)2p F(0,)2p 准线方程：2px 2px 2py 2py 注意：几何特征：焦点到顶点的距离=2p；焦点到准线的距离=p；95导数的几何意义：)(0/xf表示曲线)(xf在0 xx 处的切线的斜率k；导数的物理意义：)(0/xf表示运动物体在时刻0 x处的瞬时速度。96、几种常见函数的导数(1)0C（C 为常数）.(2)()(1Qnnxxnn.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(cos.(5)xx1)(ln；aaaxxln)(.(6)xxee)(;.（7）21)1(xx 97、导数的运算法则（1）()uvuv.（2）()uvuvuv.（3）2()(0)uuvuvvvv.98函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间（a,b）内，如果0)(xf，那么函数)(xfy 在这个区间内单调递增；如果0)(xf，那么函数)(xfy 在这个区间内单调递减。注：若函数)(xfy 在这个区间内单调递增，则0)(xf 若函数)(xfy 在这个区间内单调递减，则0)(xf F 准线 F M H 16 99、判别)(0 xf是极大（小）值的方法(1)求导)(xf；（2）令)(xf=0，解方程，求出所有实根0 x（3）列表，判断每一个根0 x左右两侧)(xf的正负情况：如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值.100、求函数在闭区间a,b上的最值的步骤：（1）求函数)(xf的所有极值；（2）求闭区间端点函数值)(),(bfaf；（3）将各极值与)(),(bfaf比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即)(0 xf，千万不能写成导数值)(0/xf。（2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。选修 1-2 101、复数zabi，其中a叫做实部，b叫做虚部(1)复数的相等 ,abicdiac bd.（,a b c dR）(2)当 a=0,b0 时,z=bi 为纯虚数;(3)当 b=0 时,z=a 为实数;(4)复数 z 的共轭复数是biaz(5)复数zabi的模|z=22ab.(6)i2=-1,（-i）2=-1.(7)复数zabi对应复平面上的点(,)a b，102、复数的四则运算法则 (1)加：()()()()abicdiacbd i;(2)减：()()()()abicdiacbd i;(3)乘：()()()()abi cdiacbdbcad i;类似多项式相乘(4)除：)()(dicdicdicbiadicbia（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”）103、常用不等式：（1）重要不等式:若,a bR，则222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）基本不等式:若0,0ba，则abba2(当且仅当 ab 时取“=”号)基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等 当ab为定值时，ba 有最小值，简称“积定和最小”极大值 极小值 17 当ba 为定值时，ab有最大值，简称“和定积最大”104、推理：（1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊）（2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断）105、证明：（1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法）（2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。坐标系与参数方程 106、极坐标系：其中|OM （1）如图，点 M 的极坐标为),(（2）极坐标与直角坐标的互化公式：sin,cosyx;222yx，xytan 107、参数方程形如)(,)()(为参数ttgytfx（*）参数方程是借助参数t，间接给出yx,之间的关系,而普通方程是直接给出x与y的关系，如01 yx（1）圆222ryx的参数方程是)(,sincos为参数ryrx（2）椭圆12222byax的参数方程)0,(,sincosbabyax为参数（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。消去参数的方法有：公式法：用公式1cossin22等 代入法：方程（*）中，由)(tfx 解出)(xht，代入)(tgy 加减消元法：方程（*）中，两式相加（减）消去参数t 请 同 学 们 试 着 将 圆 的参 数 方 程)(,sincos为参数rbyrax，化 为 圆 的标 准 方 程_，说说你用的是什么方法？提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解.极点 O 极径 点 M)极角 极轴 y x 18 几何证明选讲 108平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一腰 109平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 110判定两个三角形相似的方法：预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似 判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似 引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边 111相似三角形的性质定理：1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比 2）相似三角形周长的比等于相似比 3）相似三角形面积的比等于相似比的平方 112直角三角形的射影定理 如图RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则（1）BDADCD2 （2）CDABBCAC（3）ABADAC2；ABBDBC2 113圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角 114圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 115弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 如图：21 116与圆有关的定理：（1）相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。1（2 C A B D 19