浅析微积分在中学数学中的应用.docx29792.pdf

学号编号 研究类型 应用研究 分类号 文理学院 学士学位论文 论文题目 浅析微积分在中学数学中的应用 作者姓名 指导老师 傅朝金 所在院系 数学系 专业名称 数学与应用数学 完成时间 年月 湖北师范学院文理学院学士学位论文诚信承诺书 中文题目：浅析微积分在中学数学中的应用 外文题目：学生姓名 学生学号 数学系 院系专业 学生班级 班数学与应用数学 学生承诺 我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人 毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭 他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况 如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理 学生（签名）：年 月 日 指导教师承诺 我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生 本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象 指导教师（签名）：年 月 日 目 录 引言 中学微积分的基本数学思想方法 “极限”思想 化归思想 微积分中的哲学与辩证的思想 函数思想 数形结合思想 微积分在中学数学中的应用 关于函数的单调性 求函数的极值、最大值与最小值 函数的变化性态及作图 微积分在解方程中的应用 不等式的证明 恒等式的证明 曲线的切线及求法 结语 参考文献 浅析微积分在中学数学中的应用 罗（导师：傅朝金 教授）（湖北师范学院文理学院数学系 中国 黄石）摘 要：微积分是大学数学必修的基础课程，它的基本理论对中学数学有着重要的指导作用微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用，与中学数学联系非常紧 密对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度的涉及在讨论在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法时，使用微积分的方法，能起到以简驭繁的作用，以进一步体现微积分与中学数学的联系 关键词：微积分；函数性态；思想方法 中国图书分类号：浅析微积分在中学数学中的应用 罗（导师傅朝金 教授）（湖北师范学院文理学院数学系 中国 黄石）引言 世纪高科技高速发展，数学是高科技发展的基础，世界各国都非常重视数学在各个领域的运用我们广大教师，无论从事初等教育还是高等教育，一个重要目标就是培养满足社会需要的人才相应地，数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与技巧，更加重视发展学生的能力因此，如何培养学生数学的思维能力和思想方法，做到学数学、用数学，养成勤于思考，用“数学思维”去分析问题、解决问题的良好习惯，全面提高学生的数学素养，是摆在数学教育工作者面前一项既迫切又艰巨的任务 在我国新制定的数学课程标准中写道：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的所在 数学思想方法是形成学生良好认识结构的纽带，是有知识转化为能力的桥梁 在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技 研究型人才、迎接新世纪高科技挑战的必由之路作为一名中学数学教师，了解微积分与中学数学的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，用较高的观点分析与处理中学教材，这对提高中学数学教学是十分重要的 微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度涉及本文同时举例说明微积分在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变 化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法方面的应用 中学微积分的基本数学思想方法所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容本质的认识，它直接支配着数学的 时间活动，是解决数学问题的根本策略 所谓数学方法，是指某一数学活动过程的 途径、程序、手段，它具有 程性、次性和可操作性等特点数学方法是解决数学 的手段和工具数学思想方法是数学思想和教学方法的 称数学思想是 数学知 与方法形成的 律性的理 知 是数学方法的灵魂数学方法是数学思想的表 形式和得以 的手段数学思想是 数学知 和方法的 ，数学方法是解决数学 、体 数学思想的手段和工具 微 分如今既是大学的重要基 ，也是高中新增加的数学 程的内容 微 分的 展是很有趣的，其中思 方法极 重要，引起我 在教学中的重 微 分中 涵的主要数学思想，如极限的思想、化 思想、的哲学思想、函数的思想、数形 合思想等从不同 面都有不同程度的研究 “极限”思想 所 极限的思想是用无限的 化 程来研究有限的思想它是用有限描述无限、由近似 渡到精确，更是一种工具、一种 程，特 是 于 化 的“无 小”程，是高等数学的中心思想“极限”思想方法揭示了常量与 量、有限与 无限、直 与曲 等一系列 立 一及矛盾相互 化的 关系其极限思想的本 是人 通 化 程量的分析来把握 化 程 的 果 是一种极有价 的思 方式 种思 也是非常重要的，有利于学生形成 思，到数学知 的 一性 例如在求曲 梯形的面 ，了四个 程：化“整”“零”，以“直”代“曲”，“零”“整”，取极限四个 程首先将曲 梯形任意分割成若干个小曲 梯形，每个小曲 梯形的面 用 接近的小矩形的面 作 近似替代，分割得越，近似程度越精确，最后以小矩形面 之和得极限 作 曲 梯形面 即：化“整”“零”：分曲 梯形 个小曲 梯形 在区 中任意插入若干个分点 ，把 分成 个小区 度依次：，作 ，它 的 ，经过每一个分点作平行于 轴的直线段，把曲边梯形 分成 个窄曲边梯形，第 个小曲边梯形的面积记作，以“直”代“曲”：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 在每个小区间 上任取一点 ，以 为底，为高的小矩形近 似替代第 个小曲边梯形 ，则有 ，积“零”为“整”：求 个小矩形面积之和 把这样得到的 个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积 的近似值，即 取极限：由近似值过渡到精确值，时，可得曲边梯形的面积 ，求得曲边梯形的面积 通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学的思想方法是从现实生活生产中产生的，并可以应用到现实生活中去 化归思想 化归思想是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某个或某些己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题 的解答的思想，其核心就是简化与转化化归思想有三要素：化归对象 要化什 么，化归目标化成什么形式，化归途径怎么化在化归思想中，“转化”是关键认知心理学认为新知识的获得，新概念的形成，总要以旧知识为基础进行组织和构造的即把新旧知识建立起联系，而这种联系常常用到化归思想可见，化归思想贯穿于数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想化归思想实际上是我们在研究问题时通过“去伪存真”，改“正面进攻”为“迂回侧攻”来简化问题的一种手段，以此来认清问题的数学本源，达到顺利解决问题的目的 例如在高等数学中常常利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；根据复合函数求导法则，把普通初等函数求导及参数方程求导转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求 导公式；将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其二阶 导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；也常将实际问题通过建立数学模型后转化为定积分运算来求解像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”一般说来，可以按下面的几种方式实施问题的转化：陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；抽象问题形象化；命题形式 的转化；引入辅助元素的转化化归原则在解决问题时的一般模式为 还原 图 求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解 决问题的矛盾的所在然而，将 进行任意分割 个小区间后，得到了 个小曲 边梯形通过“以直代曲”，即对每个小曲边梯形面积近似替代，则“曲”变 “直”，问题迎刃而解 还原 图 可见，化归思想在解决应用问题和数学建模过程中应用非常广泛 微积分中的哲学与辩证的思想 微积分中的哲学思想、辩证的思想是微积分中的又一主要数学思想微积分学是变量数学的主要组成部分，它本身就包含着唯物辩证法的丰富内容，如：量变到质变、特殊到一般、具体到抽象、近似到精确 在它的每一个定义、公式和法则中无不闪烁着唯物辩证法的光芒微积分学中，通过曲线的切线研究曲线的性质，就是将曲线线性化，即以直代曲又如微分与积分作为微积分的核心内容，微分是由整体研究局部性问题，而积分是由局部来研究整体问题它们是两个互逆的过程，也是对立统一的 函数思想 函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法，是由研究状态过渡到研究变化过程的思想辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，静止是相对的函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的对应以这种观点去分析函数的思想，不难看出，函数是自变量与函数值的“绝对运动”，才换 来了等式的“相对静止”从而将两种方式对函数的定义统一于运动静止的体系中要想辩证的理解好这两种“运动”形式，就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学 微积分就是以极限的思想研究函数的特性的学科，经常要用到函数思想方法去分析处理问题如导函数导数就是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想：一个函数在某区间内的每一点都有导数，则该区间内每一个确定的值都 对应一个确定的导数，即在该区间内构成一个新的函数导函数 由定积分知 道，原来的函数称为原函数这里建立两个函数之间的联系，在解决其中一个函数 的问题时，可转化为另一个函数问题来解决 化归思想；函数的单调性、凹凸性、函数的极值，最值尤其在经济问题中函数的最值应用题经常要考虑到函数思想方法；拉格朗日中值定理证明及其运用均需构造合适的函数 函数是微积分研究的主要对象，函数思想方法是学习微积分的基础，其在微积分的学习过程中得到升华和内化函数与方程有非常密切的关系，方程的根可视为其相应函数在某种特定状态数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究下的值因此当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性及个数时，我们可以采用函数 的思想，这样往往可以起到化难为易、化繁为简的效果，大大简化解题的步骤 数形结合思想 微积分的许多概念都来源于实际，都有其几何或物理意义，不少结论也反映了某种几何关系或性质如导数与曲线的切线密切相关、定积分表示曲边梯形的面 积、积分中值定理反映了图形的面积之间的关系等这就决定了数形结合法成为微积分中的一个重要思想方法因此，在微积分的教学中，对某些知识，应从思想方法角度去分析，把握其本质联系，使一些看似静止孤立的知识成为有机联系的动态的知识，使学生逐步掌握系统、完整的知识结构 例说微积分在中学数学中的应用 关于函数的单调性 中学数学中讨论函数 的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上 任取，若，则 在该区间单调递增，若 ，则 在该区间单调递减该方法的优点是直观易懂，其缺 点是函数表达式复杂时判断 的正负比较困难，往往运用较高技巧，且 适用面也较窄 运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出，再考虑 的正负即可该方法简单易行，不需太多技巧，且适用面也宽 例 已知函数，讨论 的单调性 解 的定义域为，令，得，当 时，的变化情况如下：极小值 所以，在 上的最小值是 当，单调递减且 的取值范围是；当，单调递增且 的取值范围是 求函数的极值、最大值与最小值 设 在点 连续，在点 的某一空心领域内可导，当 由小增大经过 时，如果：（）（）由正变负，那么由负变正，那么 是极大值点；是极小值点；（）不变号，那么 不是极值点 特别说明：驻点使 的点 叫做函数 的驻点 不一定是 点 是函数 的驻点，但不是其极值点 极值点还可能是使导数不存在的点如函数，在 在，但是 是它的极小值点 的极值 处导数不存 例 已知函数 在 取得极小 值，其导函数的图象经过点，如图 所示，求：的值；，的值；的极大值 解 观察图象，我们可发现：当 时，此时 为增函数；当 ，此时 为减函数；当 时，因此在 处函数取得极小值结合已知，可得 ，此时 时，图 为增函数 由知，即，再结合 的图象可知，方程 的两根分别是 那么，即 联立 由 知 ，得 在 ，处函数取得极大值，所以 函数的变化性态及作图 中学数学教材中在介绍了二次函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像，这种图像不一定能反应曲线在一些点和区间上的性 态学习了导数及其应用后，就可以利用函数的导数并结合函数的某些性质，有效地对函数的增减性、极致点、凹凸性等重要性态和关键点做出准确的判断，从而较为准确的描绘出函数的图像对于一些非初等函数，采用这一方法冒险而冗长，有许多不足之处，点取得不够多，也许就会得到一个错误的图象；而如果取得点太 多，那将花费过多的精力，且仍会担心是否忽略了一些重要的点例如函数与的正确图形应为图所示，而用描点法很可能画出图的错误图形 图图 利用导数作为工具，就可以有效地对函数的增减性、极值点等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象 一般来说描绘函数的图像可以按以下步骤进行：（）求出函数 的定义域确定图像范围 （）判别函数 是否具有奇偶性或周期性缩小描绘图像的范围 （）求函数 的不连续点，并讨论函数在不连续点的左、右变化情况，可 能在极限，也可能趋向无穷此时有垂直渐近线，如果函数定义域是无限区间，则要讨论当 无限增加时 的变化趋势若存在极限，则有水平渐近线；若趋于 无穷，应考虑是否有斜渐近线 （）计算函数 的一、二阶导数 并求解 和 讨论 的单 调性、局部极值、凹凸性与拐点，列表 （）计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标 （）在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐近线，再按讨论的性态逐段描绘 例作函数 解 定义域为 令，得驻点 的图形 ，曲线与 轴的交点为 ，；令，得 利用连续函数 列表如下 极大值 拐点 极小值 作图像如下：图 微积分在解方程中的应用 在超越方程中判别根的情况大多是采用图像法，但是采用图像法对作图要求较 高，往往会由于作图误差而出错 例 试证明方程 在 内只有 个实根，并求出它的近 似值使误差不超过 本题首先要用到函数的零点存在定理和函数的单调性证明，接着用切线法求出近似值 解 设 ，则 ，容易验 证在区间 上，因为 在 内连续，且是单调递增，两端点处的函数值异号，所以此方 程在 内只有个实根 可以看出在 内，曲线是单调递增、下凹并从 轴的下方穿过 轴到上方 的，曲线与 轴交点的横坐标 就是方程在 内的根，现在用切线法求根的近 似值 在端点 处作切线来求方程的近似实根，现在 ，所以 它比 更接近于根，继续施行这样的方法，得：因为 ，而 ，所以取 为根的近似值，它的误差就不超 过 不等式的证明 不等式的证明方法多种多样，但没有较为统一的方法，初等数学通过恒等变形、数学归纳法等方法解决，或应用已有的基本不等式来证明，为此往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性 例 证明不等式，证明 设 ，则 ，所以 递增，又 例 ，故，即 设 是自然对数的底，是圆周率，求证 证明 因为函数 单调递增，故 等价于，即 ，即 令，则 因此，当 时，于是 在 内单调递减，从而 ，即，原命题得证 恒等式的证明 例求证：本题不能用求和公式证明，但可以用二项式定理求导得证 证明 因为，对等式两边求导得：，令 即得：曲线的切线及求法 例（全国卷理）已知，函数 （）设曲线 在点 处的切线为，若 与圆 相 切，求 的值；（）求函数 的单调区间；（）求函数 在 上的最小值 解（）依题意有，过点 的直线斜率为，所以过点 的直线方程为 又已知圆的圆心为，半径为所以，解得 ，当 时，令，解得；令，解得 所以 的增区间为，减区间是 （）当，即 时，在 上是减函数，所以 的最小 值为 当，即 时，在 上是增函数，在 是减 函数 所以需要比较 和 两个值的大小 因为 ，所以 所以，当 时最小 值为；当 时，最小值为 当 ，即 时，在 上是增函 数 所以最小值为 综上，当 时，为最小值为 ；当 时，的最小值为 结语 微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富凝聚了一代又一代数学家的心血，它那闪烁着人类理性思维的光辉，将永远鼓舞着后来人因此，在中学数学教 学中，向学生介绍微积分的思想，激发他们献身科学事业的热情是很有必要的 因 此，微积分的学习将有助于学生动态思维以及唯物主义思想的培养 不仅如此，教 师应向学生弘扬数学文化，使学生体会到数学荡漾着浓郁的人文气息 激发学生的创造热情，是每个中学教师义不容辞的责任 用微积分处理中学数学中的问题，具有居临下的作用，对于沟通初等数学与高 等数学的联系，提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路都很有帮助 而且对中学数学中较难的题型通过用高等数学的理论与方法较易解决，充分体现了高等数学 的优越性，从而使学生感到高等数学与初等数学的联系，增加学习数学的兴趣另外，还可扩展中学数学的应用范围微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这 些，在其它如因式分解、化简代数式、求值与求和等方面也有广泛的运用 随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型 的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题 参考文献 丁向前微积分思想在中学数学中的渗透数学教学研究，俞宏毓例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用高等函授学报（自然科学版），贤锋浅析微积分理论在中学数学的简单应用 引进与咨询，：魏本成，吴中林微积分在中学数学中的应用天中学刊，：吴向群，庄认训微积分在中学数学中的应用青海师专学报（自然学科），徐岳灿探索微积分在中学数学中的必要性上海中学数学，（）：包建廷微积分在不等式中的应用承德民族师专学报，肖新义，肖尧微积分方法在初等数学中的应用研究和田师范专科学校学报，（）：王昆扬给中学生讲好微积分基本知识数学通报，李霞浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用 牡丹江教育学院学报，（）：致 谢大学生活转眼就要结束了，这几年是我人生中最重要的学习时间 在大学校园 里，我不仅学到了丰富的专业知识，更学到了终身受用的学习方法和积极的生活态度，通过对各门课程的学习和与相关专业老师的沟通，使我深感机会难得，获益匪浅，母校严谨的学风和老师的广博丰富的知识令我敬佩，各位老师的悉心授课使我 对数学有了更多、更深层的认识，为以后的学习和工作打下坚实的基础四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又 一次征程的开始四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊 本学位论文是在我的导师傅朝金教授的亲切关怀和悉心指导下完成的的选择到项目的最终完成，傅老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持 从课题 在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的 室友们，正是由于你们的帮助和支 持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完 成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢 意 最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢 湖北师范学院文理学院学士学位论文评审表 系部 数学系 学生 罗 芳 班级 班 评阅人 傅朝金 名称 姓名 姓名 名称 专业 数学与应用数 学生 提交 评阅人 教 授 方向 学 学号 时间 职称 论文题 浅析微积分在中学数学中的应用 目 用微积分处理中学数学中的问题，具有居临下的作用，对于沟通初等数学与高 等数学的联系，提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路都很有帮助而且对中学论 数学中较难的题型通过用高等数学的理论与方法较易解决，充分体现了高等数学的 文 优越性，从而使学生感到高等数学与初等数学的联系，增加学习数学的兴趣 或 设本论文研究的主要内容是第一部分引言主要介绍研究的背景、目的、意义及计 思路方法等。第二部分叙述了微积分在中学数学中的思想方法，主要有五个方面，的 即函数思想、“极限”思想、化归思想、微积分中的哲学与辨证的思想、数形结合 主 思想。第三部分例举微积分在中学数学中的具体应用举例，更好地说明微积分在中 要 内 学数学中是如何应用的。主要从七个方面了解，分别是微积分关于函数的单调性、容 求函数的极值、最大值与最小值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式的证明、恒等式的证明、曲线的切线及求法。第四部分，研究结论。名）：年 评阅人（签 月 日 评 阅 人 评 语 系 部 章）：系部学术委员会主席（签 年 月 日 评 审 意 见 备 注